高中数学竞赛专题讲座——解析几何(共10页)

PAGE 蓝天家教网 http://www.ltjiajiao.com 伴您快乐成长 高中数学竞赛专题讲座——解析几何 一、选择题部分 1．(集训试题)过椭圆C： 上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 解：设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH，所以 ，所以由定比分点公式，可得： ，代入椭圆方程，得Q点轨迹为 ，所以离心率e= . 故选C. 2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y＝12上,则抛物线方程为(D) A． B． C． D． 3．（2006年江苏）已知抛物线 ， 是坐标原点， 是焦点， 是抛物线上的点，使得△ 是直角三角形，则这样的点 共有（B） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 4．（200 6天津）已知一条直线 与双曲线 （ ）的两支分别相交于 、 两点， 为原点，当 时，双曲线的中心到直线 的距离 等于（A） A． 　 B． 　 C． 　　 D． 5．(2005全国)方程 表示的曲线是 （ 　 ） A．焦点在 轴上的椭圆　　　　　 B．焦点在 轴上的双曲线 C．焦点在 轴上的椭圆　　　　　　 D．焦点在 轴上的双曲线 解： 即 又 方程表示的曲线是椭圆. EMBED Equation.3 即 曲线表示焦点在 轴上的椭圆，选C。 6．（2006年浙江省预赛）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是 ，则满足条件的直线L共有 条.（C ） A．1 B．2 C．3 D．4 解: 由 分别以A，B为圆心， ， 为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 为C。 7．（2006年浙江省预赛）设在 平面上， ， 所围成图形的面积为 ，则集合 EMBED Equation.3 的交集 所表示的图形面积为 （B） A． B． C． D． 解： 在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得， 的图形在第一象限的面积为A＝ . 因此 的图形面积为 . 所以选（B）。 二、填空题部分 1．（200 6天津）已知椭圆 （ ），长轴的两个端点为 、 ，若椭圆上存在点 ，使 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是 ． 2．（2006年江苏）已知 ，则 的最大值是 9 ． 3．（2006吉林预赛）椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，左焦点为F，若∠ABF是直角，则这个椭圆的离心率为_________。 4．（2006陕西赛区预赛）若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆 截得线段的中点的轨迹方程为 5．(2005年浙江)根据指令，机器人在平面上能完成下列动作： 先从原点O沿正东偏北 （ ）方向行走一段时 间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定. 假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟 时的可能落点区域的面积是 . 【解】：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P . 设机器人改 变方向的点为A， ， 。则由已知条件有 ，以及 .所以有 即所求平面图形为弓形，其面积为 平方米. 6．（2006年浙江省预赛）已知 , 。若 为单元素集，则 . 解 由 为单元素集，即直线 与 相切，则 . 7．(2005全国)若正方形ABCD的一条边在直线 上，另外两个顶点在抛物线 上.则该正方形面积的最小值为　　80　　. 解：设正方形的边AB在直线 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为 、 ，则CD所在直线 的方程 将直线 的方程与抛物线方程联立，得 令正方形边长为 则 ① 在 上任取一点（6，,5），它到直线 的距离为 ②. ①、②联立解得 或 8．（2004 全国）在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当 取最大值时，点P的横坐标为_______________. 解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为： .对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当 取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足 解得 a=1或a=－7。即对应的切点分别为 ，而过点M，N， 的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以 ，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。 三、解答题部分 1．(集训试题)已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线 的距离为2，Q是 上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交 于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。 解：以 为x轴，点P到 的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= =1+r。所以x=± , ∴tan∠MAN= ， 令2m=h2+k2-3，tan∠MAN= ，所以m+r k =nhr， ∴m+(1-nh)r= ，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2， 因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以 ，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n= .由2m=h2+k2-3得h=± ，所以tan∠MAN= =h=± 。所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°. 2．（2006吉林预赛）已知抛物线C：x2=2py(p>0)，O是坐标原点，M(0，b)(b>0)为y轴上一动点，过M作直线交C于A、B两点，设S△ABC =mtan∠AOB，求m的最小值。（ －0.5p2 ） 3．（2006年南昌市）(高二)给定圆P: 及抛物线S: ,过圆心 作直线 ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 ,如果线段 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程. 解:圆 的方程为 ,则其直径长 ,圆心为 ,设l的方程为 ,即 ,代入抛物线方程得: ,设 有 ,则 故 ,因此 据等差, , 所以 即 , , 则l方程为 或 . 4．（2006年上海）已知抛物线 ，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为 EMBED Equation.DSMT4 的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点 ，连接BO，交准线于点 ，求四边形 的面积． 解:当 时， ． …………………（4分） 当 时，令 ．设 ，则由 ，① ， ② 消去x得， ，所以 ， ． ③ 又直线AO的方程为： ，即为 ， 所以，AO与准线的交点的坐标为 ， 而由③知， ，所以B和 的纵坐标相等，从而 轴．同理 轴，故四边形 是直角梯形．………………（9分） 所以，它的面积为 EMBED Equation.DSMT4 ．………………（14分） 5． (2005年浙江)（20分）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若 的顶点P在第一象限的双曲线上移动, 求 的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边 上的切点轨迹。 【解】 如图，记双曲线在 轴上的两顶点为A(1, 0)， B(-1, 0)，G为 的内切圆 在边 上的切点，H为 的内切圆在边 上的切点，K为 的内切圆 在边 上的切点。则有 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ----5分 由双曲线的定义知，G必在双曲线上，于是G与A(1, 0)重合，是定点。 而 。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等， 所以 的内切圆在边 上的切点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆弧。------- 10分 因为 是在 第一象限的曲线上移动，当 沿双曲线趋于无穷时，与 轴正向的交角 的正切的极限是 即 。 故点H的轨迹方程为 (极坐标形式) ，（ ）-- 15分 也可以用直角坐标形式。由于G与A(1, 0)重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为 （ ）。 -------------------------------- 20分 6．（2006浙江省）在 轴同侧的两个圆：动圆 和圆 外切（ ），且动圆 与 轴相切，求 （1）动圆 的圆心轨迹方程L; （2）若直线 与曲线L有且仅有一个公共点，求 之值。 解：（1）由 可得 由 N，以及两圆在 轴同侧，可知动圆圆心在 轴上方，设动圆圆心坐标为 , 则有 整理得到动圆圆心轨迹方程 .……（5分） 另解 由已知可得，动圆圆心的轨迹是以 为焦点， 为准线，且顶点在 点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程 ，即 …………………（5分） （2）联立方程组 EMBED Equation.3 ① ② 消去 得 ， 由 EMBED Equation.3 整理得 ③ 从③可知 。 故令 ，代入③可得 EMBED Equation.3 再令 ，代入上式得 …………………（10分） 同理可得， 。可令 代入③可得 ④ 对④进行配方，得 对此式进行奇偶 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，可知 均为偶数，所以 为8的倍数， 所以 EMBED Equation.3 。令 ，则 . 所以 …………………………………（15分） 仅当 时， 为完全平方数。于是解得 EMBED Equation.3 . …………………（20分） 10．（2004 全国）设p是给定的奇质数，正整数k使得 也是一个正整数，则k=____________. 解：设 ， 从而 是平方数，设为 . （负值舍去） � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� O P(x,y) x y A � EMBED Equation.3 ��� 1,3,5 1,3,5 1,3,5 1,3,5 PAGE _1213219763.unknown _1220011633.unknown _1236332261.unknown _1236332340.unknown _1236332367.unknown _1236332435.unknown _1236332439.unknown _1236332442.unknown _1236332431.unknown _1236332356.unknown _1236332361.unknown _1236332352.unknown _1236332345.unknown _1236332296.unknown _1236332325.unknown _1236332287.unknown _1234568020.unknown _1236332096.unknown _1236332152.unknown _1236332174.unknown _1236332099.unknown _1236332112.unknown _1234568022.unknown _1234568024.unknown _1236332091.unknown _1234568023.unknown _1234568021.unknown _1220011661.unknown _1220012858.unknown _1234568019.unknown _1220011694.unknown _1220011649.unknown _1220011657.unknown _1220011647.unknown _1220011304.unknown _1220011352.unknown _1220011380.unknown _1220011627.unknown _1220011365.unknown _1220011320.unknown _1220011332.unknown _1220011316.unknown _1213552041.unknown _1220011242.unknown _1220011258.unknown _1220011295.unknown _1220011255.unknown _1220011226.unknown _1220011229.unknown _1213552172.unknown _1213552271.unknown _1213290192.unknown _1213356382.unknown _1213551916.unknown _1213551965.unknown _1213356394.unknown _1213356355.unknown 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