自动控制原理_于希宁_课后习题答案

第二部分 古典控制理论基础习题详解 一 概述 第二部分 古典控制理论基础习题详解 1 概述 2-1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点。 【解】： 控制系统 优点 缺点 开环控制 简单、造价低、调节速度快 调节精度差、无抗多因素干扰能力 闭环控制 抗多因素干扰能力强、调节精度高 结构较复杂、造价较高 2-1-2 试列举几个日常生活中的开环和闭环控制系统的例子，并说明其工作原理。 【解】： 开环控制——半自动、全自动洗衣机的洗衣过程。 工作原理：被控制量为衣服的干净度。洗衣人先观察衣服的脏污程度，根据自己的经验，设定洗涤、漂洗时间，洗衣机按照设定程序完成洗涤漂洗任务。系统输出量（即衣服的干净度）的信息没有通过任何装置反馈到输入端，对系统的控制不起作用，因此为开环控制。 闭环控制——卫生间蓄水箱的蓄水量控制系统和空调、冰箱的温度控制系统。 工作原理：以卫生间蓄水箱蓄水量控制为例，系统的被控制量（输出量）为蓄水箱水位（反应蓄水量）。水位由浮子测量，并通过杠杆作用于供水阀门（即反馈至输入端），控制供水量，形成闭环控制。当水位达到蓄水量上限高度时，阀门全关（按要求事先设计好杠杆比例），系统处于平衡状态。一旦用水，水位降低，浮子随之下沉，通过杠杆打开供水阀门，下沉越深，阀门开度越大，供水量越大，直到水位升至蓄水量上限高度，阀门全关，系统再次处于平衡状态。 2-1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属何种类型（线性、非线性；定常、时变）。 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 【解】： （1）线性定常系统；（2）线性时变系统；（3）非线性定常系统；（4）线性定常系统。 2-1-4 根据题2-1-1图所示的电动机速度控制系统工作原理图： （1）将a，b与c，d用线连接成负反馈系统； （2）画出系统方框图。 【解】： （1）a-d连接，b-c连接。 （2）系统方框图 题2-1-4解图 2-1-5 下图是水位控制系统的示意图，图中 , 分别为进水流量和出水流量。控制的目的是保持水位为一定的高度。试说明该系统的工作原理并画出其方框图。 【解】：当输入流量与输出流量相等时，水位的测量值和给定值相等，系统处于相对平衡状态，电动机无输出，阀门位置不变。当输出流量增加时，系统水位下降，通过浮子检测后带动电位器抽头移动，电动机获得一个正电压，通过齿轮减速器传递，使阀门打开，从而增加入水流量使水位上升，当水位回到给定值时，电动机的输入电压又会回到零，系统重新达到平衡状态。反之易然。 题2-1-5解图 2-1-6 仓库大门自动控制系统如图所示，试分析系统的工作原理，绘制系统的方框图，指出各实际元件的功能及输入、输出量。 【解】： 当给定电位器和测量电位器输出相等时，放大器无输出，门的位置不变。假设门的原始平衡位置在关状态，门要打开时，“关门”开关打开，“开门”开关闭合。给定电位器与测量电位器输出不相等，其电信号经放大器比较放大，再经伺服电机和绞盘带动门改变位置，直到门完全打开，其测量电位器输出与给定电位器输出相等，放大器无输出，门的位置停止改变，系统处于新的平衡状态。系统方框图如解图所示。 元件功能 电位器组——将给定“开”、“关”信号和门的位置信号变成电信号。为给定、测量元件。 放大器、伺服电机——将给定信号和测量信号进行比较、放大。为比较、放大元件。 绞盘——改变门的位置。为执行元件。 门——被控对象。 系统的输入量为“开”、“关”信号；输出量为门的位置。 二 控制系统的数学模型 2-2-1 试建立下图所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压 和位移 为输入量；电压 和位移 为输出量； 和 为弹簧弹性系数； 为阻尼系数。 【解】： 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一：设回路电流为 ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组： 削去中间变量，整理得： 方法二： 由于无质量，各受力点任何时刻均满足 ，则有： EMBED Equation.3 设阻尼器输入位移为 ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程 结论： 、 互为相似系统， 、 互为相似系统。四个系统均为一阶系统。 2-2-2 试求题2-2-2图所示各电路的传递函数。 【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。 (a) 9 (b) (c) (d) 2-2-3 工业上常用孔板和差压变送器测量流体的流量。通过孔板的流量 与孔板前后的差压 的平方根成正比，即 ，式中 为常数，设系统在流量值 附近作微小变化，试将流量方程线性化。 【解】：取静态工作点 ，将函数在静态工作点附近展开成泰勒级数，并近似取前两项 设 （R为流动阻力），并简化增量方程为 2-2-4 系统的微分方程组为： 式中 均为正的常数，系统的输入为 ，输出为 ，试画出动态结构图，并求出传递函数 。 【解】：对微分方程组进行零初始条件下的Laplace变换得： 绘制方框图 题2-2-4图 传递函数为 2-2-5 用运算放大器组成的有源电网络如题2-2-5图所示，试采用复阻抗法写出它们的传递函数。 【解】：利用理想运算放大器及其复阻抗的特性求解。 2-2-6 系统方框图如题2-2-6图所示，试简化方框图，并求出它们的传递函数 。 (a) (b) (c) (d) 题2-2-6图 【解】： (1) (2) (3) (4) （b） (1) (2) (3) (4) （c） (1) (2) (3) (4) (d) (1) (2) (3) (4) 2-2-7 系统方框图如题2-2-7图所示，试用梅逊 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 求出它们的传递函数 。 【解】：（a） （1）该图有一个回路 （2）该图有三条前向通路 所有前向通路均与 回路相接触，故 。 （3）系统的传递函数为 （b） （1）为简化计算，先求局部传递函数 。该局部没有回路，即 ， 有四条前向通路： 所以 （2） 2-2-8 设线性系统结构图如题2-2-8图所示，试 （1） 画出系统的信号流图； （2） 求传递函数 及 。 【解】： （1） 系统信号流图如图： （2） 1 求传递函数 。令 。 有三个回路： 和 互不接触： 因此 有三条前向通路： 2 求传递函数 。令 。 求解过程同①， 不变。 2-2-9 系统的动态结构图如图所示，试求 （1）求传递函数 和 ； （2）若要求消除干扰对输出的影响，求 【解】：（1）根据梅森增益公式得 （2）根据题意 2-2-10 某复合控制系统的结构图如图所示，试求系统的传递函数 。 题2-2-10图 【解】：根据梅森增益公式得： 2-2-11 系统微分方程如下： 试求系统的传递函数 及 。其中r，n为输入，c为输出。 均为常数。 【解】：（1）对微分方程组进行零初始条件下的Laplace变换,并加以整理得 （2）画出系统结构图 题2-2-11解图 （3）求传递函数 ，令 （4）求传递函数 ，令 2-2-12 已知系统方框图如图所示，试求各典型传递函数 EMBED Equation.3 。 题2-2-12图 【解】：（1）求 。令 （2）求 。令 （3）求 。令 三 时域分析法 2-3-1 若某系统，当零初始条件下的单位阶跃响应为 试求系统的传递函数和脉冲响应。 【解】 传递函数： 单位脉冲响应： 2-3-2 二阶系统单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统开环传递函数。设系统为单位负反馈式。 题2-3-2图 【解】 系统的开环传递函数为： 2-2-3 已知系统的结构图如图所示 （1）当 时，求系统的阻尼比 ，无阻尼振荡频率 和单位斜坡输入时的稳态误差； （2）确定 以使 ，并求此时当输入为单位斜坡函数时系统的稳态误差。 【解】（1） 时 系统为Ⅰ型 （2） 时 Ⅰ型系统， 3-4 若温度计的特性用传递函数 描述，现用温度计测量盛在容器内的水温，发现需30s时间指出实际水温的95%的数值。试求： （1）把容器的水温加热到100°C，温度计的温度指示误差 ； （2）给容器加热，使水温依6°C/min的速度线性变化时，温度计的稳态指示误差 。 【解】： 根据题意得 单位反馈系统的开环传函数为 （1） 阶跃输入时系统稳态无差。 （2） 斜坡输入时，输入信号速率为 （注：也可以用给定输入下输出响应的终值与给定值之间的偏差计算。） 2-3-5 闭环传递函数 ，试在S平面绘出满足下列要求的闭环特征方程根的区域： （1） （2） （3） 【解】：根据阻尼比和无阻尼自然振荡角频率与特征根在平面上位置的关系可知 （1） 。满足要求的闭环特征根的区域如解图（1）所示。 （2） 。满足要求的闭环特征根的区域如解图（2）所示。 （3） 。满足要求的闭环特征根的区域如解图（3）所示。 2-3-6 单位负反馈系统的开环传递函数 ，试求： （1）系统的单位阶跃响应和单位斜坡响应； （2）峰值时间 、调节时间 和超调量 。 【解】：（1） 典型二阶系统欠阻尼情况，可以利用公式直接计算。 单位阶跃响应为： 单位斜坡响应为： （2）系统性能指标为： 2-3-7 系统方框图如题2-3-7图所示，若系统的 EMBED Equation.3 。试求： （1） 、 值； （2） 时：调节时间 、上升时间 。 【解】：（1）利用方框图等效变换化系统为单位反馈的典型结构形式后得开环传递函数为 根据题意： （2） 2-3-8 已知闭环系统特征方程式如下，试用劳斯判据判定系统的稳定性及根的分布情况。 （1） （2） （3） （4） 【解】：（1）劳斯 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 为 劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统三个特征根均位于s的左半平面。 （2）劳斯表为 劳斯表第一列符号改变二次，该系统特征方程二个根位于右半平面，一个根位于左半平面，系统不稳定。 （3） 劳斯表为 劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统四个特征根均位于s的左半平面。 （4） 劳斯表为 劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统五个特征根均位于s的左半平面。 2-3-9 已知闭环系统特征方程式如下 （1） （2） 试确定参数K的取值范围确保闭环系统稳定。 【解】：（1）根据特征方程列写出劳斯表为： 系统稳定的充分必要条件为 （2）由三阶系统稳定的充分必要条件得 2-3-10 具有速度反馈的电动控制系统如题2-3-10图所示，试确定系统稳定的 的取值范围。 【解】：系统的特征方程为 系统稳定的条件是 。 2-3-11 已知系统的结构图如图所示，分别求该系统的静态位置误差系数、速度误差系数和加速度误差系数。当系统的输入分别为（1） ，（2） ，（3） 时，求每种情况下系统的稳态误差。 【解】：系统的开环传递函数为 为开环增益。在系统稳定的前提条件下有 （1） ； （2） ； （3） 2-3-12 已知系统的结构图如图所示。 （1）确定 和 满足闭环系统稳定的条件； （2）求当 和 时，系统的稳态误差 ； （3）求当 和 时，系统的稳态误差 。 【解】：（1）系统的特征方程为 系统稳定时 （2）方法一 系统开环传递函数为 为开环增益。 Ⅰ型系统， ，根据题意 方法二 （3）方法一 。由 得 方法二 2-3-13 控制系统如图所示，输入信号 和扰动信号 均为单位斜坡输入。试计算 时的稳态误差 ，并选择适当的 使 。（e=r-c） 【解】：特征方程为 均大于0时系统稳定。 题2-3-14图 2-3-14 具有扰动输入的控制系统如图所示，求：当 时系统的稳态误差。 【解】：系统特征方程为 该系统不稳定，所以稳态误差没有意义。 题2-3-15图 2-3-15 系统如图所示，已知 试求： （1）系统的稳态误差。 （2）要想减小扰动 产生的误差，应提高哪一个比例系数？ （3）若将积分因子移到扰动作用点之前，系统的稳态误差如何变化？ 【解】：系统稳定的充分必要条件是K1，K2>0。 （1） 方法一 开环传递函数为 Ⅰ型系统 方法二 （2）由 可知，若要减小 则应增大K1。 （3）扰动输入时，系统型别为1，所以阶跃扰动时静态无差。 2-3-16 单位负反馈系统的开环传递函数为 ，若系统单位阶跃响应的超调量 ； 若误差 ，当输入 时其稳态误差 。试求： （1）K值； （2）单位阶跃响应的调节时间 ； （3）当 时的稳态误差 。 【解】：（1） 又 ∴ 时符合题意 （2） （3） 时 题2-3-17图 2-3-17 已知系统结构如图所示： （1）确定当 和 满足什么条件时，闭环系统是稳定的。 （2）求当 时系统的稳态误差 。 【解】：（1） 系统稳定的充分必要条件是 （2）方法一 输入时， Ⅰ型系统： 输入时， 方法二 2-3-18 设控制系统结构图如图所示，要求： （1）计算当测速反馈校正（ ）时，系统的动态性能指标（ ）和单位斜坡输入作用下的稳态误差 ； （2）计算当比例-微分校正（ ）时，系统的动态性能指标（ ）和单位斜坡输入作用下的稳态误差 。 【解】：（1） （2）根据题意，系统的闭环传递函数为 根据题意 2-3-19 系统结构如图3-46所示，试求当 同时作用下的稳态误差（ ）。 题2-3-19图 【解】： 单独作用时， 单独作用时 2-3-20 已知闭环系统的传递函数为 近似分析系统的动态响应性能指标：超调量 和调节时间 。 【解】：零点 和极点 可视为一对偶极子，对系统动态性能的影响可以抵消；极点 远离原点，其作用也可以忽略。为化简后不改变系统的开环增益得 四 根轨迹分析法 2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。 题2-4-1图 【解】： 题2-4-1解图 2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： （1） （2） （3） （4） 试绘制 由 变化的闭环根轨迹图。 【解】：（1）系统有三个开环极点 。 ① ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。 ② 实轴上的根轨迹在区间 。 ③ 渐近线 ④ 分离点。 方法一 由 得 不在根轨迹上，舍去。分离点为 。 分离点处K值为 方法二 特征方程为： 重合点处特征方程： 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。 ⑤ 根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为 方法一 令 ，得 方法二 将特征方程列劳斯表为 令 行等于0，得 。代入 行，得辅助方程 ⑥ 系统根轨迹如题2-4-2（1）解图所示。 （2） ① 根轨迹方程 开环零点 ，开环极点 。 ② 实轴上的根轨迹区间 。 ③ 分离会合点 方法一 均在根轨迹上， 为分离点， 为会合点。 方法二 系统特征方程： 重合点处特征方程： 联立求解重合点坐标： ④ 可以证明复平面上的根轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆（教材已证明）。根轨迹如题2-4-1（2）解图所示。 （3） ① 开环零点 开环极点 。 ② 实轴上的根轨迹区间为 ③ 分离点 题2-4-2（3）解图 为分离点， 不在根轨迹上，舍去。 分离点K值 ④ 出射角 ⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于 、半径为 的圆周的一部分，如题2-4-1（3）解图所示。 （4） 1 四个极点 。 2 渐近线 3 实轴上的根轨迹区间为 。 4 分离点 得 ，均为分离点， 。 分离角 正好与渐近线重合。 5 出射角 6 根轨迹与虚轴的交点 7 系统根轨迹如题2-4-1（4）解图所示。 2-4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ： 试绘制 由 变化的闭环根轨迹图，并求出使系统闭环稳定的 值范围。 【解】：系统有两对重极点 。 ① 渐近线 ② 实轴上的根轨迹为两点 ，也为分离点。分离角均为 。 ③ 根轨迹与虚轴的交点坐标 系统特征方程 即 令 代入特征方程，得 令上式实部虚部分别等于0，则有 ④ 该系统根轨迹如题2-4-3解图所示。由图可知，当 时，闭环系统稳定。 2-4-4 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （1）试绘制 由 变化的闭环根轨迹图； （2）用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调时的 值范围； （3）为使系统的根轨迹通过 两点，拟加入串联微分校正装置 ，试确定 的取值。 【解】：（1） ，根据一般根轨迹绘制法则求得 1 渐近线与实轴的交点： 渐近线倾角： 。 2 实轴上的根轨迹在区间 。 3 分离点： 。 4 根轨迹与虚轴的交点坐标： 。 ⑤ 该系统根轨迹如题2-4-4解图所示。 （2）系统的阶跃响应不出现超调的条件是特征根在左半平面的实轴上。根轨迹在实轴上的分离点的K值已由（1）求得，所以在 时系统不产生超调。 （3）串联微分校正环节 后系统的开环传递函数变为 系统特征方程为 若 是根轨迹上的点，则必满足特征方程。代入特征方程，得： 2-4-5 已知单位负反馈系统的闭环传递函数为 （1）试绘制参数 由 变化的闭环根轨迹图； （2）判断 点是否在根轨迹上； （3）由根轨迹求出使闭环系统阻尼比 时a的值。 【解】：（1）系统的特征方程为 等效开环传递函数为： ，a由 变化为一般根轨迹。 1 开环零点 ，开环极点 。 2 实轴上的根轨迹在区间 。 3 分离点 由 得 解得 为分离点， 不在根轨迹上，舍去。 。 4 共轭复根的出射角 EMBED Equation.3 5 复平面的根轨迹是圆心位于 、半径为 的圆周的一部分，如题2-4-5解图所示。 （2）把 代入相角条件中，若满足则是根轨迹上的点，反之则不是。 点 不在根轨迹上。 （3）求 等超调线与根轨迹的交点 方法一 ，设等超调线与根轨迹交点 坐标实部为 ，则 ，有 令等式两边s各次项系数分别相等，得 方法二 由特征方程 ，按照典型二阶系统近似计算得： 另外，把 代入特征方程也可求得同样结果。 2-4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （1）试绘制参数 由 变化的闭环根轨迹图； （2）求出临界阻尼比 时的闭环传递函数。 【解】：（1）系统特征方程为 等效开环传递函数为： a由 变化为一般根轨迹。 1 开环极点 。 2 渐近线与实轴的交点： ，渐近线倾角： 。 3 实轴上的根轨迹在区间 。 4 分离点 由 得 解得 为起点， 为分离点。 。 5 根轨迹与虚轴的交点 令 ，代入特征方程得 ⑥ 该系统根轨迹如题2-4-6解图所示。 （2） 时，对应实轴上根轨迹的分离点， 。因为 ，可由开环极点之和等于闭环极点之和求得另一实轴上的极点坐标 系统闭环传递函数为 2-4-7 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ： （1）试绘制 由 变化的闭环根轨迹图； （2）求出使系统产生相重实根和纯虚根时的 值。 【解】：（1）根轨迹方程为 由 变化，为 根轨迹。 1 开环零点 ，开环极点 。 2 实轴上的根轨迹在区间 。 3 分离点和会合点 解得 为会合点， 为分离点。 ④ 根轨迹与虚轴的交点 特征方程为 令 ，代入特征方程得 ⑤ 该系统根轨迹如题2-4-7解图所示。 （2）实轴上根轨迹的分离点和会合点即为相重实根，其K值分别为 纯虚根时的K值即为根轨迹与虚轴交点的K值，由（1）所求得之 。 2-4-8 系统方框图如题2-4-8图所示，试绘制 由 变化的闭环根轨迹图。 【解】：（1）根轨迹方程为 由 变化为零度根轨迹。 1 开环极点 。 2 实轴上的根轨迹在区间 。 3 该系统根轨迹如题2-4-8解（1）图所示。 （2）根轨迹方程为 由 变化为一般根轨迹。 1 开环极点 。 2 渐近线与实轴的交点： ， 渐近线倾角： 。 3 实轴上的根轨迹在区间 。题2-4-8解图 4 分离点 5 复平面上的根轨迹与渐近线重合，如题2-4-8解图（2）所示。 2-4-9 单位负反馈系统开环传递函数为 ，绘制 由 变化的闭环根轨迹图。 【解】：等效根轨迹方程为 当 由 时为零度根轨迹。 1 开环零点 ，开环极点 。 ，有一个无穷远的极点。 2 实轴上的根轨迹在区间 。 3 分离点和会合点 解得 为分离点， 为会合点。 。 4 根轨迹与虚轴的交点 特征方程为 令 ，代入特征方程得 5 复平面上的根轨迹是圆，如题2-4-9解图所示。 2-4-10 系统方框图如题2-4-10图所示，试求： （1）当闭环极点为 时的 值； （2）在上面所确定的 值下，当 由 变化的闭环根轨迹图。 【解】：（1）特征方程为 闭环极点为 时的系统特征方程为 两方程联立求解得： （2）系统开环传递函数为 等效根轨迹方程为： 当 由 时为一般根轨迹。 1 开环零点 ，开环极点 。 2 实轴上的根轨迹在区间 。 3 会合点 解得 为起点， 为会合点， 。 4 复平面上的根轨迹是圆，如题2-4-10解图所示。 2-4-11 系统闭环特征方程分别如下，试概略绘制 由 变化的闭环根轨迹图。 （1） （2） 【解】：（1）由系统闭环特征方程得 等效根轨迹方程为 由 变化为一般根轨迹。 1 开环零点 ， 开环极点 。 2 实轴上的根轨迹在区间 。 3 分离点和会合点 解得 （起点）， （分离点）， （会合点）， （舍去）。 4 根轨迹与虚轴的交点 根据特征方程列劳斯表 令 行等于零，得 ，代入 行辅助方程，得 5 该系统根轨迹如题2-4-11（1）解图所示。 （2）由系统闭环特征方程得 等效根轨迹方程为 由 变化为一般根轨迹。 1 开环零点 ，开环极点 。 2 渐近线与实轴的交点 渐近线倾角 3 实轴上的根轨迹在区间 。 4 分离点 解得 （分离点）， （舍去）， （舍去）。 5 根轨迹与虚轴的交点 根据特征方程列劳斯表 令 行等于零，得 ，代入 行辅助方程，得 6 该系统根轨迹如题2-4-11（2）解图所示。 2-4-12 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （1）试概略绘制 由 和 变化的闭环根轨迹图； （2）求出其单位阶跃响应为单调衰减、振荡衰减、等幅振荡、增幅振荡、单调增幅时的 值。 【解】：（1）特征方程为 ，等效根轨迹方程为： （a） 由 变化时为一般根轨迹。 1 开环零点 ，开环极点 2 实轴上的根轨迹在区间 。 3 会合点 解得 （舍去）， （会合点）。 。 4 出射角 ⑤ 复平面的根轨迹是圆心位于 、半径为 的圆周的一部分，如题2-4-12解图实线部分所示。 （b） 由 变化为零度根轨迹。 1 实轴上的根轨迹在区间 。 2 会合点计算同上。会合点为 ， 。 3 复平面的根轨迹是圆心位于 、半径为 的圆周的另一部分，如题2-4-12解图虚线部分所示。 （2）由根轨迹看出，根轨迹与虚轴的交点在原点， 。根轨迹在实轴上重合时， 。根轨迹在复平面上时 。 结论：系统无等幅和增幅振荡。在 取值时,为衰减振荡； 时为单调衰减； 时为单调增幅。 2-4-13 系统方框图如题2-3-13图所示，绘制 由 的闭环根轨迹图，并要求： （1）求无局部反馈时系统单位斜坡响应的稳态误差、阻尼比及调节时间； （2）讨论 时局部反馈对系统性能的影响； （3）求临界阻尼时的 值。 题2-4-13图 【解】： 系统开环传递函数为 系统特征方程为 等效根轨迹方程为 由 变化为一般根轨迹。 1 开环零点 ，开环极点 。 2 实轴上的根轨迹在区间 。 3 会合点 解得 （舍去）， （会合点）。会合点时的a值 ④ 复平面的根轨迹是圆心位于 、半径为 的圆周的一部分，如题2-4-13解图所示。 （1） 稳态误差 系统开环传递函数为 ，Ⅰ型系统， 。 阻尼比和调节时间 方法一：根据题意 ，对应根轨迹起点 方法二： 对应开环传递函数有 （2）由根轨迹看出，此时系统特征根为两个不相等的实根， ，系统无超调，稳定性变好。但由于其中一个实根更靠近虚轴，使调节时间增长。系统仍为Ⅰ型，开环增益减小，斜坡信号输入时稳态误差增大。 （3）系统闭环根轨迹在实轴上出现会合点时为临界阻尼情况，此时 。从特征方程上也可以直接看出。 2-4-14 设单位负反馈系统的开环传递函数为 确定 值，使根轨迹分别具有：0，1，2个分离点，画出这三种情况的根轨迹。 【解】：根轨迹分离点由下式确定 ， 为原点处重极点的分离点， 实轴上其他的分离点和汇合点。 （1） 0个分离点 只要原点处有两个极点，无论何种情况，至少有一个分离点，所以令 ，则开环传递函数为 当 由 变化，即零度根轨迹时没有分离点。其根轨迹如题2-2-14解图（1）所示。 （2） 1个分离点 对于一般根轨迹， 是一个分离点。所以当 不存在，即 ， 时，根轨迹具有一个分离点。 设 渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为 实轴上的根轨迹在区间 。 其根轨迹如题2-2-14解图（2）所示。 （3） 2个分离点 当 或 时，有两个分离点。其中 对应零度根轨迹的情况。设 渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为 实轴上的根轨迹在区间 。 分离点 会合点 其根轨迹如题2-2-14解图（3）所示。 五 频域分析法 2-5-1 系统单位阶跃输入下的输出 ,求系统的频率特性表达式。 【解】： 闭环传递函数 2-5-2 单位负反馈系统的开环传递函数为 ,试求当下列输入信号作用于闭环系统时，系统的稳态输出 （1） ； （2） ； （3） 。 【解】：求系统闭环传递函数 根据频率特性的定义，以及线性系统的迭加性求解如下： （1） （2） （3） 2-5-3 试求图2-5-3所示网络的频率特性，并绘制其幅相频率特性曲线。 【解】：（1）网络的频率特性 （2）绘制频率特性曲线 其中 。 起始段， 。 中间段，由于 ， 减小， 先减小后增加，即曲线先顺时针变化，再逆时针变化。 终止段， 。 网络幅相频率特性曲线如题2-5-3解图所示。 2-5-4 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 ，在正弦信号 作用下，闭环系统的稳态响应 ，试计算 的值。 【解】：系统闭环传递函数为 时系统频率特性为 由已知条件得 ，则有 2-5-5 已知系统传递函数如下，试分别概略绘制各系统的幅相频率特性曲线。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【解】：对于开环增益为K的系统，其幅相频率特性曲线有两种情况： 和 。下面只讨论 的情况。 时，比例环节的相角恒为 ，故相应的幅相频率特性曲线可由其 的曲线绕原点顺时针旋转 得到。 （1） 时， ； 时， 。 特性曲线与虚轴的交点：令 ，即 代入 中， 该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（1）解图所示。 （2） 时， ； 求渐近线 时， 。 该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（2）解图所示。 （3） 时， ； 求渐近线 时， 。 该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（3）解图所示。 （4） 时， ；（ 时，曲线始于负实轴之上； 时，曲线始于负实轴之下。） 时， 。 该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（4）解图所示。 （5） 时， 。 求渐近线 时， ，曲线顺时 针穿过负实轴。 求曲线与负实轴的交点 令 ，得 。 该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（5）解图所示。 （6） 时， ； 求渐近线 该系统传递函数分母上有一个振荡环节，其 ， 。所以当 时有最大值。 频率特性的最大值 时， ，曲线顺时针穿过负实轴。 求曲线与负实轴的交点 令 ，得 。 该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（6）解图所示。 （7） 时， ； 求渐近线 时， ，传递函数分母上有一个不稳定环节，曲线逆时针变化，不穿越负实轴。 该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（7）解图所示。 （8） 时， ； 随着 的增加，分子上的不稳定环节先起作用，幅值增大，相角减小。之后，分母上的稳定环节再起作用，幅值增加速度减慢，相角继续减小。 时， 。 特性曲线与虚轴的交点：令 ，即 代入 中 题2-5-5（8）解图 该系统幅相频率特性曲线如题2-5-5（8）解图所示。 2-5-6 系统开环传递函数如下，试分别绘制各系统的对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线。 （1） （2） （3） （4） 【解】：（1） ① ， 。 ②转折频率 ，一阶惯性环节； ，一阶惯性环节。 ③ ，低频渐近线斜率为0。 ④ 系统相频特性按下式计算 得  0.01 0.05 0.1 0.2 0.5 1 10  -5.7° -27.5° -50.0° -79.8° -121.0° -146.3° -176.4° 系统的对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线如题2-5-6解图（1）所示。 （2） ① ， 。 ② 转折频率 ，一阶微分环节。 ③ ，低频渐近线斜率为 ，且过（1，20dB）点。 ④ 系统相频特性按下式计算 得  0.1 0.2 0.5 1 2 5 10  -174.3° -168.7° -153.4° -135° -116.6° -101.3° -95.7° 系统的对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线如题2-5-6解图（2）所示。 （3） 1 典型环节的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式 ② ， 。 ③ 转折频率 ，一阶惯性环节； ，一阶微分环节。 ④ ，低频渐近线斜率为 ，且其延长线过（1，26dB）点。 ⑤ 系统相频特性按下式计算 得  0.01 0.05 0.1 0.125 0.2 0.5 1  -182.8° -192.5° -198.4° -199.3° -198.4° -190.5° -185.6° 系统的对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线如题2-5-6解图（3）所示。 （4） ① 典型环节的标准形式 ② ， 。 ③ 转折频率 ，一阶惯性环节； ，不稳定的一阶微分环节。 ④ ，低频渐近线斜率为 ，且过（1，34dB）点。 ⑤ 系统相频特性按下式计算 得  1 2 5 10 20 50 100 200  83.1° 76.4° 57.7° 33.7° 4.8° -33.7° -57.7 -73.1 系统的对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线如题2-5-6解图（4）所示。 2-5-7 试概略绘制下列传递函数相应的对数幅频特性的渐近线。 （1） （2） （3） （4） 【解】： （1） ① 典型环节的标准形式 ② ， 。 题2-5-7（1）解图 ③ 转折频率 ，一阶微分环节； ，二阶振荡环节； 二阶振荡环节。 ④ ，低频渐近线斜率为 ，且过 点。 该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题2-5-7（1）解图所示。 （2） ① ， 。 ② 转折频率 ，不稳定的一阶惯性环节； ，一阶惯性环节。 ③ ，低频渐近线斜率为 ，且过 点。 该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题2-5-7（2）解图所示。 （3） ① ， 。 ② 转折频率 ，一阶惯性环节； ，一阶惯性环节。 ③ ，低频渐近线斜率为 ，且其延长线过（1，46dB）点。 该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题2-5-7（3）解图所示。 （4） ① 典型环节的标准形式 ② ， 。 题2-5-7（4）解图 ③ 转折频率 ，一阶微分环节； ，二阶振荡环节。 ④ ，低频渐近线斜率为 ，且过（1，14dB）点。 该传递函数相应的对数幅频特性的渐近线如题2-5-7（4）解图所示。 2-5-8 已知系统的传递函数为 试绘制系统的开环幅相频率特性曲线并求闭环系统稳定的临界增益K值。 【解】： 时， 。 求 时的渐近线 时， ，曲线顺时针穿过负实轴。 题2-5-8解图 求曲线与负实轴的交点 令 ，得 。 该系统幅相频率特性曲线如图所示。 当 即 时，闭环系统临界稳定。 2-5-9 已知系统开环幅相频率特性如图5-66所示，试根据奈氏判据判别系统的稳定性,并说明闭环右半平面的极点个数。其中 为开环传递函数在s右半平面极点数， 为开环积分环节的个数。 【解】： （a） ， ， 系统不稳定，s右半平面有2个闭环极点。 （b）作辅助线如解图（1）所示，曲线经过（-1，j0）点一次，虚轴上有2个闭环极点，s右半平面没有闭环极点。系统临界稳定。 （c）作辅助线如解图（2）所示， ， ， 系统稳定，s右半平面没有闭环极点。 （2） （3） （4） （5） 题2-5-9解图 （d）作辅助线如解图（3）所示， ， ， 系统不稳定，s右半平面有2个闭环极点。 （e）作辅助线如解图（4）所示， ， ， 系统稳定，s右半平面没有闭环极点。 （f）作辅助线如解图（5）所示， ， ， 系统不稳定，s右半平面有2个闭环极点。 （g） ， ， 系统稳定，s右半平面没有闭环极点。 （h） ， ， 系统稳定，s右半平面没有闭环极点。 （i） ， ， 系统稳定，s右半平面没有闭环极点。 2-5-10 设单位负反馈系统开环传递函数 （1） ，试确定使相角裕量等于 的a值。 （2） ，试确定使相角裕量等于 的K值。 （3） ，试确定使幅值裕量等于20dB的K值。 【解】：（1） 令 由 （2） 令 由 （3） 令 2-5-11 已知最小相位系统的开环对数幅频特性渐近线如图5-67所示，试求相应的开环传递函数。 【解】：（a） ① ② ③ ， ， ④ （b） ① ② ③ ， ④ （c） ① ② ③ ④ （d） ① ② ③ ④ （e） ① ② ③ ④ 2-5-12 已知系统的传递函数为 （1）绘制系统的伯德图，并求系统的相位裕量； （2）在系统中串联一个比例微分环节（s+1），绘制系统的伯德图，并求系统的相位裕量； （3）说明比例微分环节对系统稳定性的影响； （4）说明相对稳定性较好的系统，中频段对数幅频应具有的形状。 【解】： （1） 其伯德图如解图（1）所示。 剪切频率 相角裕量 系统不稳定（特征方程漏项），相角裕量为负数。 （2）系统传递函数为 其伯德图如解图（2）所示。 剪切频率 相角裕量 系统稳定。 （3）一阶微分环节的介入，增加了剪切频率附近的相位，即增加了相位裕量，提高了系统的稳定性。 （4）希望中频段折线斜率为-20db/十倍频程，且该斜线的频宽越大越好。 2-5-13 某系统，其结构图和开环幅相曲线如图（a）、（b）所示，图中 ，K、T为给定正数 试判定系统闭环稳定性，并求在复平面左半平面、右半平面、虚轴上的闭环极点数。 题2-5-13图 【解】：方法一 二阶系统，有一个右半平面的开环极点， 。由开环幅相曲线可知 。 系统稳定，复平面左半平面有两个闭环极点，右半平面、虚轴上均无闭环极点数。 方法二 利用动态结构图等效变换方法，将第二个比较点移至 的输入端，有 结论同方法一。 2-5-14 单位反馈系统的开环传递函数为 期望对数幅频特性如图所示，试求串联环节的传递函数 ，并比较串联 前后系统的相位裕量。 【解】：期望传递函数 串联环节的传递函数 串联 前 系统不稳定。 串联 后 系统稳定。 2-5-15 某控制系统方框图如图所示 （1）绘制系统的奈氏曲线； （2）用奈氏判据判断闭环系统的稳定性，并说明在s平面右半面的闭环极点数。 【解】：（1） 时， ； 时， 。曲线逆时针穿过负实轴。 求曲线与负实轴的交点 令 ，得 奈氏曲线如解图所示。 （2）做辅助线如解图所示， ， ， 。s平面右半面的闭环极点数 系统不稳定。（可以用时域分析法验证） 2-5-16 已知三个最小相位系统(1)、(2)、(3)开环传递函数的对数幅频特性的渐近线如图所示。 （1）定性分析比较这三个系统对单位阶跃输入响应的上升时间和超调量； （2）计算并比较这三个系统对斜坡输入的稳态误差； 题2-5-16图 （3）分析并比较系统(1)、(2)相位裕量和增益裕量。 【解】：（1） 对于系统（1）（2）， 。一般情况 。系统（3）不稳定。 （2）因为 ，且（1）（2）均为Ⅰ型系统，所以 。系统（3）不稳定，稳态误差无意义。 （3）因为系统（1）的中频（-20db/十倍频程）带宽于系统（2），所以 。但增益裕量均为无穷。 2-5-17 设单位负反馈系统的开环传递函数为 （1）求系统相角裕量为 时的K值； （2）求系统幅值裕量为20dB时的K值； （3）估算谐振峰值 时的K值。 【解】：（1） （2） （3） 2-5-18 小功率随动系统动态结构图如题2-5-18图所示，试用两种方法判别其闭环稳定性。 【解】： 方法一：时域分析法得特征方程为 系统不稳定。 方法二：采用频域分析法计算。开环传递函数为 计算幅值穿越频率 计算相角裕量 结论：系统不稳定。 2-5-19 设最小相位系统开环对数幅频特性如图所示 （1）写出系统开环传递函数 ； （2）计算开环截止频率 ； （3）计算系统的相角裕量； （4）若给定输入信号 时，系统的稳态误差为多少？ 【解】：（1） （2）方法一，利用开环对数幅频特性近似计算穿越频率 方法二，根据定义计算穿越频率 （3）计算相角裕量 或 （4）系统稳态误差。 ，Ⅰ型系统， 。 2-5-20 设单位负反馈系统的开环传递函数为 ，若要求开环截止频率提高a倍，相角裕量保持不变，问K、T应如何变化？ 【解】： 设穿越频率在 频段，则 ，若使 扩大a倍，则K扩大a倍，且 保持不变，显然T需要缩小a倍。 设穿越频率在 频段，则 ，若使 扩大a倍，且同时保持 不变，则T 应缩小a倍，只有当K扩大a倍才能满足要求，即变化后的开环截止频率为 两种情况的讨论结论一致，即K扩大a倍，T缩小a倍。 2-5-21 设单位反馈系统开环传递函数为 依据下述两种曲线判断闭环系统的稳定性： （1）概略幅相频率特性曲线； （2）对数频率特性曲线。 【解】：（1） 开环传递函数各环节的相位变化规律如下  0（起点） ∞（终点） △ 两个积分环节相位 -180° -180° 0° 一阶微分环节 0° 90° 90° 一个不稳定的惯性环节 -180° -90° 90° 开环系统相位变化 -360° -180° 180° Nyquist曲线起点在第一象限，终点在第二象限，全频程幅值衰减，相位增加。曲线逆时针变化，如题2-5-21解图（1）所示。 由开环传递函数可知，有一个右半平面的开环极点，即 。做辅助线得 ， 。闭环系统在右半平面的极点数 闭环系统不稳定。 （2） ① 对数幅频特性 ， 。对数幅频特性低频渐近线斜率为 ，且经过点（20，1）。 对应一阶微分环节的转折频率 ，斜率变化为 。对应不稳定惯性环节的转折频率 ，斜率变化为 。所以数幅频特性渐近线斜率不变。 ② 对数相频特性 将开环传递函数各环节相频特性叠加得： 时， ， 时， 。开环对数相频特性以 的点斜对称。 对数频率特性曲线如题2-5-21解图（2）所示。 从对数相频特性左端向上 开始向下做辅助线，与 特性曲线相连，在 的频率范围内， ， 。已知 。闭环系统在右半平面的极点数 闭环系统不稳定。 2-5-22 已知带有比例—积分调节器的控制系统，其结构图如图5-74所示，图中，参数 为定值，且 。试证明该系统的相位裕量 有最大值 ，并计算当相位裕量为最大值 时，系统的开环截止频率 和增益 。 【解】： 绘制Bode草图如解图所示，由相频特性曲线可以看出相角裕量有极大值。 相位裕量为最大值 时，系统的开环截止频率 代入相角裕量计算公式得最大相位裕量 代入对数幅频渐近线幅值计算公式得 或由幅值定义得 2-5-23 设单位反馈系统开环传递函数为 ,试求： （1）根据相位裕量和幅值裕量分析闭环系统的稳定性； （2）应用经验公式估算系统的时域指标：超调量 和调节时间 。 【解】：（1） 计算相角裕量 方法一，由对数幅频渐近线近似计算穿越频率 相角裕量 方法二，按定义计算穿越频率 相角裕量 计算幅值裕量： 令 方法一，由对数幅频渐近线近似得 得 方法二，由定义得 ∴ 系统闭环稳定。 （2） 注：由于所用经验公式的适用范围为 ，显然本题不在适用范围内，所得误差可能较大。 题2-1-3图 � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 题2-1-5图 � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 题2-1-6解图 � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 题2-1-1图 � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 题2-2-2图 � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 题2-2-5图 � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 题2-2-7图 � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 题2-2-8图 � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 题2-2-9图 � EMBED \* MERGEFORMAT ���