石墨烯能带结构的紧束缚近似计算

第32卷 第 1期 广西物理 GUANGXI PHYSICS V_0l-32 No．1 2011 石墨烯能带结构的紧束缚近似计算术 梁先庆 (广西大学物理科学与工程技术学院，广西 南宁 530004) 摘 要：固体能带理论是固体物理学的一个重要理论基础，被广泛应用于材料电学性质的研究。为结合科学前 沿教学，以当前热门材料石墨烯为例，介绍紧束缚近似法在石墨烯能带结构计算上的详细过程，并借助Matlab 软件展示了其能带结构，进而从理论上解释石墨烯所具有的独特电学性质。 关键词：紧束缚近似；石墨烯；能带结构 中图分类号：0481．1 文献标识码：A 文章编号：1003—7551(2011)01-0007—04 1 引言 固体物理是研究固态物质的微观结构以及组成固体的粒子一原予、离子和电子等之间的相互作用与运动 规律，揭示固体宏观物性与其粒子结构和运动之间关系的一门学科，是物理学的一个重要分支，已经成为许 多现代科学和高新技术发展的基础【】】。正是由于它的重要应用，固体物理学已经成为大学物理专业、材料物 理专业以及电子科学与技术专业一门重要的基础理论和应用课程，它与当今最活跃的凝聚态物理和新型材料 科学紧密联系在一起【2J。所以，选择性的将这些领域的最新研究进展和应用成果引入课堂，将有助于提高学 生对该门课程的学习积极性，明确努力方向，让学生感觉到所接受的知识能学以致用，使自己融入现代科学 的发展中。这样不仅能极大的拓展学生的视野，同时还能激发起学生运用基础科学理论研究现代科学创新的 勇气和欲望。 能带理论是固体物理学中的一个重要理论基础部分，对微电子技术的发展起了重要的作用。在能带的计 算 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 中，紧束缚近似方法的理论形式相对比较简结，解决问题的思路也非常明确，有利于加深对本征方程 求解、基矢选择、倒空间以及能带图的理解，是一个重要的知识点。2010年的诺贝尔物理学奖授予了两位发 现石墨烯的科学家，主要是由于这种材料具有特殊的结构和电学性质，在未来具有巨大的潜在应用前景【3】。 自从被发现以来，石墨烯就已成为备受瞩 目的国际前沿和研究热点[4】。因此，在这我们将展示固体物理学中 的紧束缚近似方法在石墨烯能带结构研究上的应用，这样既加深了对所学知识的理解，同时还展示了所学知 识在前沿科学上的应用，进而激发学生学习和探索的积极性。 2 石墨烯能带结构的紧束缚近似计算 石墨烯是由碳六元环组成的二维周期蜂窝状点阵结构，如图 1左边所示。每个碳原子都具有四个价电子， 并按平面正三角形等距离的和 3个碳原子相连，每个碳原子以印 杂化和周围的 3个碳原子形成 3个 盯键。 它们的波函数形式为： 1 r ÷ [ (2 )+√2 (6 i2p)] (i=1，2，3) j 式中 。(2s)、 f2p)分别为2s、 方向上2p轨道的波函数。在垂直于石墨层的方向上还剩余的一个 ： 轨道和一个价电子与近邻原子相互作用形成贯穿于整个石墨层的离域 71：键。由于位于平面内盯键的3个电子 并不参与导电，因此我们在计算石墨烯的能带结构时只考虑位于7c键上的那一个电子。 石墨烯的每个原胞包含两个不等价的碳原子A和B，它们之间的键长a=1．42 A。如图1左边所示，取晶 格的基矢为： 收稿 日期：201卜03—10 半基金项 目：， ‘西大学科研基金资助项 目(XBZ100787) 十通讯作者：lxq@gxu．edu．cn 7 石墨烯能带结构的紧束缚近似计算 图1石墨烯的晶格结构及相对应的倒空间和布里渊区 以计算出石墨烯倒空间中第一布里渊区六个顶点的坐标位置，分别为： ，譬 警)，(一 ，簪 ．_3a，一百2V／Sn ㈣右 相对应，倒空间的每个原胞也只包含两个不等价的点，即图 1右边所标示的 和 ，点 。 每个碳原子A有 3个最近邻的碳原子B，它们之间的连接矢量分别为： 仍 尺 ) (3) (4) (’ 2 口 n , 2"~f 口 3n 3 9 ．)， 、 口 口 ，’ 边所示。与晶格 (8) (9) ， )个原胞的位矢， 在紧束缚近似下，石墨烯体系的波函数可由原子轨道线性组合得到，这种组合通常可以表示为： 8 ) ) ． ． ．--、 ．， 百 ．十 ．+ = = 各 = = 一2 一2 —c5{ ～fi{ 的 问 空 格 目阴 烯 墨 石 的 应 对 么 那 可 一口 ， ； 由 一， 兀 一a 2 —3 ： ) ) ) 5 6 7 ( ( ( 粤卑 ．Z ．1 ’1 2 2 ． ll = I1 矢 基 化 一 的 F 缚 柬 紧 鲑 一 择 选 们 我 量 ， 矢 0 矢 ：‘： 矢 口J ～ ．，一 猷 函 芝自 ∑．、眦 蠡 一 lI 一 为 原 撕 体盼 第32卷 第 1期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vo1 ．32 N0．1 201 1 (，) c1 +c2 [g c ，一 )+e请 c： 一 )】 其中el和C2为组合系数。系统波函数满足薛定谔方程 (，)= (，)，故将 (10)式代入有： H c1 +c2 )=Elc1 1+c2 2) 用( J左乘(11)式，可得： ( I I c1仍+C2(ff2)=C1( 』日I )+c2( f l ) = ( I Iq +C2~02)= (c1(仍I )+c2(仍J )) 同理，用( }左乘(11)式，可得： (10) (11) (12) E]Cl q~l- [-C2 c2 q92 。 +c2( ⋯ =( I )= (c 1(仍I )+c2( I )) ⋯ 通常情况下认为不同碳原子间的 轨道是不会发生交叠的，即( I )= 。为方便描述，分别将(12)、 (13)式简写为： c】爿】l+c2 】2=qE clH2l+C2H22 c2E 其中 ·=(仍f I )， = 。=( f j )， ：=(仍f f )。 方程 (14)和 (15)组成系数cl、C2的线性齐次方程组。根据线性代数理论， 零的解，则需满足： } r--E l：o I 。 一Ef (14) (15) 要使这个方程组有～组非 (1 6) E= +H ：+[(Hl1一 ) +4 H 1 ⋯ ) 再回过头来看看 、 ：、 ：： - f f仍) < P 一 ) f (，一 ))= c z8， z ( fHf )=<‘ e (，一 ) f 已海 (，一 ))= c·9 酬 ㈦ ＼ 1 X -, ~,．R／ ) > ㈣ ： ( (，一RJ)IHI~b(，一 )) 在紧束缚近似下，只考虑最近邻原子间的相互作用。而对于每一个碳原子来说，它有3个最近邻原子 ， 因此将 (5)、(6)、(7)式代入 (20)式，有 ：= +g +e ) (，一足 )f f (，一 )) = [e-ik,~a+2c。s (4~a／2) ]( (，．一 ) (，一 )) (21) =e(k)t 石墨烯能带结构的紧束缚近似计算 其中占( )=[P一 +2coskr(．qr3a／2)· —ikx‘ ]， 式代入 (17)式中有： E =sp z ±t ( (，一 )IHl (，一 ))， 将(18)、(19)和(21) 由于能带的值是相对的，所以可令 =0，则石墨烯的能量本征值表达式为： 两 式中的正负号分别对应导带和价带， 和 是倒格矢 在 上的分量。根据石墨烯的能量本征值表达式， 利用Matlab程序可画出石墨烯的能带结构 ，如图2右边所示。从能带结构图可以发现，石墨烯的能带在 E=0的六个点上连续，这六个点就是石墨烯第一布里渊区的六个顶点 (图 1右边)，这些点亦称为 Dirac点。 图2右边就是其中一个 Dirac点附近的能带放大图。 图2石墨烯的能带结构图 将第一布里渊区六个顶点的数值代入石墨烯的能量本征值表达式中，可以计算出这些点处的能量 0， 这也证明了石墨烯的能带相交于石墨烯第一布里渊区的六个顶点处。由于每个碳原子贡献一个7g电子，因此 石墨烯的价带恰好填满，而导带全空，这样费米面就刚好处于价带和导带相交的顶点处，由此可知石墨烯是 一 带隙为零的半导体。 3 结论 本文介绍了紧束缚近似方法在石墨烯能带结构计算上的详细过程，通过分析可知石墨烯的价带与导带相 交于第一布里渊区的六个顶点上，说明石墨烯是一种零带隙的半导体，为石墨烯具有独特的电学性质提供了 理论上的解释，同时也为石墨烯性能的进一步研究提供理论基础。此外，本文还展示了现代化数学软件Matlab 的作图，将数学公式图形化，可以更好的激发学生学习固体物理理论的兴趣。 参 考 文 献 [1] 黄昆，韩汝琦．固体物理学[M]．北京：高等教育出版社，1997． [2] 冯端，金国钧．凝聚态物理学[M]．北京：高等教育出版社，2003． [3] Novoselov K S，Geiin A K，Morozov S V，et a1．ElectriC field effect in atomical 1Y thin carbon fi lms[J]．Science 2004，306：666—669． [4] Geim A K，Novoselov K S．The rise of graphene[J]．Nature MaterialS，2007，6：183—191． [5] 王永龙，张兆忠，张桂红．Mat1ab语言基础与应用[M]．北京：电子工业出版社，2010． 10