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2-17牛顿迭代法.doc

2-17牛顿迭代法

万子
2012-05-31 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2-17牛顿迭代法doc》,可适用于高等教育领域

实验十七 牛顿迭代法【实验目的】.了解牛顿迭代法的基本概念。.了解牛顿迭代法的收敛性和收敛速度。.学习掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】用牛顿迭代法求方程的近似根误差不超过。【实验准备】.牛顿迭代法原理设已知方程的近似根,则在附近可用一阶泰勒多项式近似代替因此,方程可近似地表示为用表示的根,它与的根差异不大设,由于满足解得重复这一过程,得到迭代格式这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为牛顿迭代法的几何解析在处作曲线的切线切线方程为。令可得切线与轴的交点坐标这就是牛顿法的迭代公式。因此牛顿法又称“切线法”。图牛顿迭代法.牛顿迭代法的收敛性计算可得,设是的单根,有,则,故在附近,有根据不动点原理知牛顿迭代法收敛.牛顿迭代法的收敛速度定理(牛顿法收敛定理)设在区间上有二阶连续导数,且满足,在上不变号,在上不等于,令有则对任意,牛顿迭代格式收敛于在中的唯一实根,并且:()()(),牛顿迭代法为阶收敛.迭代过程的加速对不动点方程,它导出的迭代过程有可能发散,也可能收敛得非常缓慢这时,我们有没有办法改进不动点方程,让迭代过程收敛得快一些呢()一个简单办法注意到和都是不动点方程,他们的加权平均也是不动点方程,而且与有完全相同的不动点适当选取的值,可以使发散的迭代过程变得收敛,使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速()加速的原因在下面的实验中我们可以看到,在不动点附近的导数值在很大程度上决定了迭代过程的收敛性的绝对值越小,收敛性越好因此,选择使得计算得到理想的值为,相应可计算出()的选取由于理想的值为,当变换不大时可以取近似计算()回到牛顿迭代法的讨论为求解方程,可以使用不动点方程,相应的迭代函数为对进行加速,所以,牛顿迭代法是对基本迭代格式进行加速的结果.迭代的MATLAB命令MATLAB中主要用for,while等控制流命令实现迭代【实验方法与步骤】练习用牛顿迭代法求方程在附近的近似根误差不超过牛顿迭代法的迭代函数为,相应的MATLAB代码为:>>clear>>x=>>fori=:>>x=x(x^x^x)(*x^*x)>>end可算得迭代数列的前项,,近三次迭代,就大大超过了精度要求练习2用牛顿迭代法求方程的近似正实根,由此建立一种求平方根的计算方法由计算可知,迭代格式为,在实验的练习种已经进行了讨论练习用牛顿迭代法求方程的正根牛顿迭代法的迭代函数为如果取初值为,相应的MATLAB代码为:>>clear>>x=>>fori=:>>x=x(x*exp(x))((x)*exp(x))>>end可算得迭代数列的前项,,,,,,说明迭代是收敛的如果取初值为,相应的MATLAB代码为:>>clear>>x=>>fori=:>>x=x(x*exp(x))((x)*exp(x))>>end可算得迭代数列的前项为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,说明迭代是收敛的如果取初值为,或,可算得(MATLAB代码略去)迭代数列是发散的请根据函数图形分析原因,练习求方程在附近的根,精确到先直接使用的迭代格式,相应的MATLAB代码为:>>n=eps=ex=>>whileabs(xexp(x))>eps>>p(x)n=n>>end>>x,n结果为x=,n=,说明迭代次后达到精度要求为加快收敛速度,用构造迭代格式,由实验的预备知识中可知取,相应的MATLAB代码为:>>n=eps=ex=>>whileabs(x*exp(x)*x)>eps>>x=*exp(x)*xn=n>>end>>x,n结果为x=,n=,说明迭代次后达到精度要求练习对练习中方程,用加快后的迭代格式求在附近的根,精确到计算可得,相应的MATLAB代码为:>>n=eps=ex=>>whileabs(x(x)*exp(x)(exp(x)))>eps>>x=(x)*exp(x)(exp(x))n=n>>end>>x,n结果为x=,n=,说明迭代次后达到精度要求【练习与思考】用牛顿迭代法求方程的近似根为求出方程的根,在区间内使用迭代函数进行迭代,记录迭代数据,问迭代是否收敛对迭代进行加速,对比加速前的数据,比较加速效果使用在不动点的泰勒公式,证明牛顿迭代法收敛定理PAGEunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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