静止土压力计算
静止土压力强度（p0）可按半空间直线变形体在土的自重作用下无侧向变形时的水平侧向应力σh来计算。
图6-3（a）
表
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示半无限土体中深度为z处土单元的应力状态，设想用一挡土墙代替单元体左侧的土体，挡土墙墙背光滑，则墙后土体的应力状态并没有变化，仍处于侧限应力状态。
竖向应力为自重应力：
水平向应力为原来土体内部应力变成土对墙的应力，即为静止土压力强度p0：
式中K0称为静止土压力系数，静止土压力强度p0的单位为kPa。
静止土压力沿墙高呈三角形分布，作用于墙背面单位长度上的总静止土压力（P0）：
P0的作用点位于墙底面往上1/3H处，单位[kN/m]。
（d）图是处在静止土压力状态下的土单元的应力摩尔圆，可以看出，这种应力状态离破坏包线很远，属于弹性平衡应力状态。
朗肯土压力理论
基本原理
朗肯理论的基本假设：
1.墙本身是刚性的，不考虑墙身的变形；
2.墙后填土延伸到无限远处，填土表面水平（β=0）；
3.墙背垂直光滑（墙与垂向夹角ε=0，墙与土的摩擦角δ=0）。
考察挡土墙后土体表面下深度z处的微小单元体的应力状态变化过程：
（1）当用挡土墙代替半空间的土体，且不发生位移时，作用在微分土体上的应力为自重应力，此时，挡土墙土压力即为静止土压力，大小等于水平向自重应力σh。
（2）当挡土墙在土压力的作用下向远离土体的方向位移时，作用在微分土体上的竖向应力σv保持不变，而水平向应力σh逐渐减小，直至达到土体处于极限平衡状态，此时水平向应力（σ3）即为主动土压力强度pa 。
（3）当挡土墙在土压力的作用下向着土体方向位移时，作用在微分土体上的竖向应力σv保持不变，而水平向应力σh逐渐增大，由小主应力变为大主应力，直至达到土体处于极限平衡状态，此时水平向应力（σ1）即为被动土压力强度pp。
主动土压力计算
根据土的极限平衡理论。当土内某点达到主动极限平衡状态时，该点的主动土压力强度pa的表达式如下：
无粘性土：
粘性土：
式中：Ka为主动土压力系数，有
对于无粘性土，主动土压力强度与深度z成正比，土压力分布图呈三角形（图6－5b）。据此可以求出墙单位长度总主动土压力为
作用点位置在墙高的H/3处。
粘性土的土压力强度由二部分组成，一部分为由土的自重引起的土压力γzKa ，随深度z呈三角形变化；另一部分为由粘聚力c引起的土压力 ，为一负值，不随深度变化。叠加的结果如图6－5c所示。图中ade部分为负侧压力。由于墙面光滑，土对墙面产生的拉力会使土脱离墙，出现深度为z0的裂隙。因此，略去这部分土压力后，实际土压力分布为abc部分。
a点至填土表面的高度z0称为临界深度，可由pa=0求得，
则总主动土压为：
作用点位置在墙底往上(H-z0)/3 处。
朗肯主动土压力的计算方法可参阅例
题
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6-1。
【例题6－1】有一高7m的挡土墙，墙背直立光滑、填土表面水平。填土的物理力学性质指标为：c=12kPa，φ＝15°，γ＝18kN/m3，试求主动土压力及作用点位置，并绘出主动土压力分布图。
解：(1)总主动土压力为
(2)临界深度z0为
(3)主动土压力Pa作用点距墙底的距离为
(4)在墙底处的主动土压力强度为
(5)主动土压力分布曲线如下图所示。
例题6－1图
被动土压力计算
计算被动土压力时可取σh为最大主应力 ，σv为最小主应力 。根据极限平衡理论，当墙移向土体的位移达到朗肯被动土压力状态时，在深度z处任意一点的被动土压力强度pp的表达式为：
无粘性土：
粘性土：
式中：Kp为被动土压力系数，有
由式（6-9）和（6-10）可知，无粘性土被动土压力分布呈三角形（图6－6b），粘性土的土压力的分布为梯形（图6－6c）。单位墙长度总被动土压力为
无粘性土：
作用点位置在墙高的H/3处。
粘性土：
作用位置通过梯形面积重心。
朗肯被动土压力的计算方法可参阅例题6-2。
【例题6－2】有一重力式挡土墙高5m，墙背垂直光滑，墙后填土水平。填土的性质指标为：c=0，φ＝40°，γ＝18kN/m3，试求出作用于墙上的静止、主动及被动土压力的大小和分布。
解：(1)计算土压力系数
静止土压力系数
主动土压力系数
被动土压力系数
(2)计算墙底处土压力强度
静止土压力
主动土压力
被动土压力
(3)计算单位墙长度上的总土压力
总静止土压力
总主动土压力
总被动土压力
三者比较可以看出Pa
工程
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中朗肯理论的应用
（一）填土表面倾斜时土压力计算
当填土表面与水平面夹角β≠0时，如果假设土压力作用方向与填土倾斜表面平行，则也符合朗肯土压力条件（图6－7），应用朗肯理论和莫尔应力圆可导出土压力计算公式，又称为应力圆法，其无粘性土主动、被动土压力强度计算公式如下：
总主动、被动土压力计算公式为：
图6－7 填土表面倾斜时朗肯土压力计算图式
（二）墙后填土表面上有无限均布荷载作用时的土压力计算
当墙背垂直，墙后填土表面水平并有无限均布荷载q作用时（图6－8），深度z处微分体的水平面上受有垂直应力
垂直墙面上的土压力强度为
总主动土压力为
土压力分布如图6－8所示，合力作用方向通过梯形形心。
图6－8 填土表面有无限均布荷载作用时的朗肯土压力计算图式
（三）墙后填土成层时的土压力计算
当墙后填土由几层不同物理力学性质的水平土层组成时，应先求出计算点的垂直应力σz，然后用该点所处土层的φ值求出土压力系数，并用土压力公式计算土压力强度和总土压力。计算时可能出现以下三种情况：
图6－9 成层填土土压力计算
此时在土层的分界面处将出现一转折点，土压力强度沿墙高的分布如图6－9a所示。
此时在土层的分界面处出现一突变点。该计算点之上采用进行计算，计算点之下采用 计算，土压力强度沿墙高的分布如图6－9b所示。
此时在土层分界面处也将出现突变点。计算方法与第二种情况相同。土压力的分布如图6－9c所示。
（四）墙后填土中有地下水时的土压力计算
当填土中有地下水时，计算挡土墙的土压力应考虑水位及其变化的影响。此时作用于墙背的土压力由土的自重压力和静水压力两者叠加而成。计算由自重应力产生的土压力时，水下土层的容重用浮容重γ′，φ值取水下值。水压力按静水压力计算。土压力和水压力的矢量和为作用于墙背上的侧压力。地下水位对土压力的影响见图6－10。
库仑土压力理论
基本原理
库伦研究了回填砂土挡土墙的土压力，把挡土墙后的土体看成是夹在两个滑动面（一个面是墙背，另一个面在土中，如图6－12中的AB和BC面）之间的土楔。根据土楔的静平衡条件，可以求解出挡土墙对滑动土楔的支撑反力，从而可求解出作用于墙背的总土压力。这种计算方法又称为滑动土楔平衡法。应该指出，应用库伦土压力理论时，要试算不同的滑动面，只有最危险滑动面AB对应的土压力才是土楔作用于墙背的Pa或Pp。
库伦理论的基本假设：
1.墙后填土为均匀的无粘性土（c=0），填土表面倾斜（β＞0）；
2.挡土墙是刚性的，墙背倾斜，倾角为ε；
3.墙面粗糙，墙背与土本之间存在摩擦力（δ＞0）；
4.滑动破裂面为通过墙踵的平面。
（a） （b） （c）
图6－11 库伦主动土压力计算图式
主动土压力计算
如图6－11所示，墙背与垂直线的夹角为ε，填土表面倾角为β，墙高为H，填土与墙背之间的摩擦角为δ，土的内摩擦角为φ，土的凝聚力c=0，假定滑动面BC通过墙踵。滑裂面与水平面的夹角为α，取滑动土楔ABC作为隔离体进行受力
分析
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（图6－11b）。土楔是作用有以下三个力：
1．土楔ABC自重W，由几何关系可计算土楔自重，方向向下；
2．破裂滑动面BC上的反力R，大小未知，作用方向与BC面的法线的夹角等于土的内摩擦角φ，在法线的下侧；
3．墙背AB对土楔体的反力P（挡土墙土压力的反力），该力大小未知，作用方向与墙面AB的法线的夹角δ，在法线的下侧。
土楔体ABC在以上三个力的作用下处于极限平衡状态，则由该三力构成的力的矢量三角形必然闭合。已知W的大小和方向，以及R、P的方向，可给出如图6－11c所示的力三角形。按正弦定理可求得：
求其最大值（即取dP/dα=0），可得主动土压力
式中Ka为库伦主动土压力系数，可按下式计算确定
沿墙高度分布的主动土压力强度pa可通过对式（6－21）微分求得：
由此可知，主动土压力强度沿墙高呈三角形分布，主动土压力沿墙高的分布图形如图6－12所示。主动土压力合力作用点在离墙底的H/3高度处，作用方向与墙面的法线成δ角，与水平面成δ＋ε角。
库伦主动土压力的具体计算过程可参阅例题6-3。
【例题6－3】有一重力式挡土墙高4.0m，ε=10°，β=5°，墙后填砂土，其性质指标为：c=0，φ＝30°，γ＝18kN/m3。试分别求出当δ=φ/2和δ=0时，作用于墙背上的总的主动土压力Pa的大小、方向和作用点。
解：(1)求δ=φ/2时的主动土压力Pa1
根据ε=10°，β=5°，δ=φ/2=15°和φ＝30°，查表7-1，得Ka1=0.405，则
Pa1的作用点位置在距墙底H/3处，即
Pa1作用方向与墙背法线的夹角成δ=15°，如下图所示。
例题6－3土压力强度分布图
(2)求δ=0时的主动土压力Pa2
根据ε=10°，β=5°，δ=0和φ＝30°，查表7-1，得Ka2=0.431，则
Pa2作用点与Pa1相同，Pa2作用方向与墙背垂直。
比较上述计算结果可知，当墙背与土之间的摩擦角δ减小时，作用于墙背上的总主动力压力将增大。
被动土压力计算
分析方法类似于库伦主动土压力，不同之处在于P、R的作用方向都在法线的上侧。同样可求得总被动土压力
式中:Kp为库伦被动土压力系数，有
被动土压力强度pp沿竖直高度H的分布，可以通过对Pp微分求得，即
被动土压力强度沿墙高也呈三角形线性分布。
库尔曼图解法
上述库伦土压力计算公式只适用于c=0且填土表面为平面的情况。对于墙后填土为曲线斜面或不规则形状表面的情况，或填土表面有局部荷载作用及填土为粘性土的情况，则前述的库伦公式不能适用，这种情况下可用库尔曼（C.Culmann）图解法求土压力。
（一）基本原理
如图6－13a所示，假定滑动楔体ABCi上作用的反力Pi、Ri仍符合库伦规则，根据力的平衡条件，绘出矢量三角形（图6－13b），并将矢量三角形顺时针旋转90°－φ，使Ri的作用方向与滑面重合。
旋转后的重力Wi作用方向与水平线的夹角为φ角。根据Wi的大小和Pi的方向，则可由矢量三角形而求得Pi的大小。假定多个不同的破裂滑动面，求出各土楔对应的土压力Pi值。
对应于楔体下滑，求出的各Pi值中的最大值Pmax，即主动土压力Pa，在楔体向上滑动条件下，求出的各Pi值中的最小值Pmin，即被动土压力Pp。
（二）基本方法
1．如图6－14所示的挡土墙和土坡，过B点作BL线，使BL与水平面成φ角，BL线为重力W顺时针旋转90°－φ后的方向；
2．以BL为基线顺时针方向旋转ψ＝90°－δ－ε，作BF线，BF即旋转变化后的土压力P的方向；
3．任意假定一个破裂面AC1，计算滑动土楔的重量W1，按一定比例在BL线上标定BD1＝W1；
4．过D1点作BF的平行线E1D1，按与BD1＝W1同样的比例可以确定E1D1＝P1的大小；
5．重复3和4的步骤可以确定。E2D2＝P2，E3D3＝P3，……；
6．连接E1、E2、E3……，可得一曲线，称为库尔曼土压力轨迹线，它表示在各不同假想滑裂面的情况下，墙背AB上受到的土压力大小的变化情况；
7．在土压力轨迹线上作一条平行于BL的切线，切点为E，过切点E作BF的平行线ED，按同一比例尺确定Pa＝ED。
8．连接BE，并延长至坡面C，则BC就是实际破裂面；
9．求ABC土楔的形心点m，过m点作与BC平行的直线交墙背于n点，则n点可近似作为总主动土压力Pa的作用点。
浙公网安备 33021202002483