null第二章 连续系统的时域分析第二章 连续系统的时域分析2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
二、关于0-和0+初始值
三、零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应
二、阶跃响应2.3 卷积积分
一、信号时域分解与卷积
二、卷积的图解
2.4 卷积积分的性质
一、卷积代数
二、奇异函数的卷积特性
三、卷积的微积分性质
四、卷积的时移特性
点击目录 ，进入相关章节2.1 LTI连续系统的响应 LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。 第二章 连续系统的时域分析2.1 LTI连续系统的响应2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t)
= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t)2.1 LTI连续系统的响应2.1 LTI连续系统的响应微分方程的经典解：
y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）齐次解是齐次微分方程
y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。例 描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；
特解的函数形式与激励函数的形式有关。P43表2-1、2-2齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；
特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。2.1 LTI连续系统的响应2.1 LTI连续系统的响应解: 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。齐次解为
yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t
由表2-2可知，当f(t) = 2e – t时，其特解可设为
yp(t) = Pe – t
将其代入微分方程得
Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1
于是特解为 yp(t) = e – t
全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t
其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。
y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1
解得 C1 = 3 ，C2 = – 2
最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0 2.1 LTI连续系统的响应2.1 LTI连续系统的响应二、关于0-和0+初始值 若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2…，n-1)。
而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。
在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。
通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。 2.1 LTI连续系统的响应例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。 解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1）
利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0- 0 2.1 LTI连续系统的响应2.1 LTI连续系统的响应（2）零状态响应yf(t) 满足
yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有
yf(0-) = yf’(0-) = 0
由于上式等号右端含有δ(t)，故yf”(t)含有δ(t)，从而yf’(t)跃变，即yf’(0+)≠yf’(0-)，而yf(t)在t = 0连续，即yf(0+) = yf(0-) = 0，积分得
[yf’(0+)- yf’(0-)]+ 3[yf(0+)- yf(0-)]+2 因此，yf’(0+)= 2 – yf’(0-)=2 对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得 yf(t)= – 4e-t + e-2t + 3 ，t≥0 2.2 冲激响应和阶跃响应2.2 冲激响应和阶跃响应2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应 由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)] 例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)
求其冲激响应h(t)。 解 根据h(t)的定义 有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h(0+)。 2.2 冲激响应和阶跃响应2.2 冲激响应和阶跃响应考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得
h(0+)=h(0-)=0 , h’(0+) =1 + h’(0-) = 1
对t>0时，有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0
故系统的冲激响应为一齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为
h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)ε(t)
代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以
h(t)=( e-2t - e-3t)ε(t) 2.2 冲激响应和阶跃响应2.2 冲激响应和阶跃响应 例2 描述某系统的微分方程为
y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)
求其冲激响应h(t)。 解 根据h(t)的定义 有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h(0+)。
由方程可知， h(t) 中含δ(t)
故令 h(t) = aδ(t) + p1(t) [pi(t) 为不含δ(t) 的某函数]
h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + p2(t)
h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ p3(t)
代入式(1)，有2.2 冲激响应和阶跃响应2.2 冲激响应和阶跃响应aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + p3(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + p2(t) ]
+ 6[aδ(t) + p1(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t)整理得
aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t) 利用δ(t) 系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12
所以 h(t) = δ(t) + p1(t) （2）
h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + p2(t) （3）
h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)+ p3(t) （4）对式(3)从0-到0+积分得 h(0+) – h(0-) = – 3
对式(4)从0-到0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12
故 h(0+) = – 3， h’(0+) =122.2 冲激响应和阶跃响应2.2 冲激响应和阶跃响应微分方程的特征根为– 2， – 3。故系统的冲激响应为
h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0
代入初始条件h(0+) = – 3， h’(0+) =12
求得C1=3，C2= – 6, 所以
h(t)= 3e–2t – 6e–3t , t > 0
结合式(2)得
h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t)ε(t)对t>0时，有 h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0二、阶跃响应g(t)= T [ε(t) ，{0}]由于δ(t) 与ε(t) 为微积分关系，故2.3 卷积积分2.3 卷积积分2.3 卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1 .信号的时域分解(1) 预备知识问 f1(t) = ? p(t)直观看出2.3 卷积积分2.3 卷积积分(2) 任意信号分解“0”号脉冲高度f(0) ,宽度为△，用p(t)表示为：f(0) △ p(t)“1”号脉冲高度f(△) ,宽度为△，用p(t - △)表示为：
f(△) △ p(t - △)“-1”号脉冲高度f(-△) 、宽度为△，用p(t +△)表示为： f ( - △) △ p(t + △)2.3 卷积积分2.3 卷积积分2 .任意信号作用下的零状态响应根据h(t)的定义：δ(t) h(t) 由时不变性：δ(t -τ)h(t -τ)f (τ)δ(t -τ)由齐次性：f (τ) h(t -τ)由叠加性：‖f (t)‖yzs(t)卷积积分2.3 卷积积分2.3 卷积积分3 .卷积积分的定义已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分 为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为
f(t)= f1(t)*f2(t)
注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。 2.3 卷积积分2.3 卷积积分例：f (t) = e t,（-∞ t时，ε(t -τ) = 02.3 卷积积分2.3 卷积积分二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ)
（2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t → f2(t-τ)
（3）乘积： f1(τ) f2(t-τ)
（4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。
注意：t为参变量。
下面举例说明。2.3 卷积积分2.3 卷积积分例f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。[解] 采用图形卷积 。 f ( t -τ)f (τ)反折f (-τ)平移t① t < 0时 , f ( t -τ)向左移f ( t -τ) h(τ) = 0，故 yf(t) = 0② 0≤t ≤1 时, f ( t -τ)向右移③ 1≤t ≤2时⑤ 3≤t 时f ( t -τ) h(τ) = 0，故 yf(t) = 0④ 2≤t ≤3 时02.3 卷积积分2.3 卷积积分图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？解：（1）换元（2） f1(τ)得f1(–τ)（3） f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4） f1(2–τ)乘f2(τ)（5）积分，得f(2) = 0（面积为0）2.4 卷积积分的性质2.4 卷积积分的性质2.4 卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 一、卷积代数满足乘法的三律：
交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)
2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)
3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)]2.4 卷积积分的性质2.4 卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) 证：f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0)2. f(t)*δ’(t) = f’(t) 证：f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*ε(t)ε(t) *ε(t) = tε(t)2.4 卷积积分的性质2.4 卷积积分的性质三、卷积的微积分性质证：上式= δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)]
= [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 证：上式= ε(t) *[f1(t)* f2(t)]
= [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t) 3. 在f1(– ∞) = 0或f2(–1)(∞) = 0的前提下，
f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) 2.4 卷积积分的性质2.4 卷积积分的性质例1： f1(t) = 1， f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) 解：通常复杂函数放前面，代入定义式得
f2(t)* f1(t)=注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
= 0* f2(–1)(t) = 0 显然是错误的。例2：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) 解法一： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)f1’(t) =δ (t) –δ (t –2) f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2) 2.4 卷积积分的性质2.4 卷积积分的性质解：f1(t) =ε (t) –ε (t –2) f1(t)* f2(t)= ε (t) * f2(t) –ε (t –2) * f2(t) ε (t) * f2(t)= f2 (-1)(t)四、卷积的时移特性若 f(t) = f1(t)* f2(t)，
则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t)
= f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2) 前例：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) 利用时移特性，有ε (t –2) * f2(t)= f2 (-1)(t –2)f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2) 2.4 卷积积分的性质2.4 卷积积分的性质例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1)
f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1) f1(t)* f2(t)
= 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1)
–2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1) 由于ε (t)* ε (t) = tε (t)
据时移特性，有
f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1)
–2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)2.4 卷积积分的性质2.4 卷积积分的性质求卷积是本章的重点与难点。
求解卷积的方法可归纳为：
（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。
（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。
（3）利用性质。比较灵活。
三者常常结合起来使用。2.4 卷积积分的性质2.4 卷积积分的性质
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