有限元建模方法

第9章 有限元建模方法 9.1 有限元建模概述 9.1.1 有限元分析的三个阶段 第8章介绍了平面问题的有限元法，尽管不同问题的分析内容不一样，相应的有限元方 程也不相同，但分析过程很相似。图9-1回顾了平面问题的有限元分析过程。 图 9-1 有限元分析的一般步骤 在上述过程中，从单元分析到求出单元应力和应变的所有环节，都涉及大量的数值计算， 这些计算都是由有限元分析软件自动完成的，一般不需要人工干预。因此从应用角度来看， 上述过程可划分为三个阶段 —— 前处理、求解和后处理。 一、前处理 在分析软件进行计算之前完成的工作称为前处理（Pre-processing）。前处理的任务就是 建立有限元模型（Finite Element Model），故又称建模（modeling）。它是将分析问题抽象 为能为数值计算提供所有输入数据的计算模型，该模型定量反映了分析对象的几何、 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 、 载荷、约束等各个方面的特性。建模的中心任务是离散，但围绕离散还需要完成很多与之相 关的工作，如结构形式处理、几何模型建立、单元类型和数量选择、单元特性定义、单元质 量检查等。 二、求解 求解（solving）的任务是基于有限元模型完成有关的数值计算，并输出需要的计算结果。 其主要工作包括单元和总体矩阵的形成、边界条件的处理和特性方程的求解，即图9-1中从 前处理（建模） {σ } {ε } {R} 结 构 离 散 [k]e 求 解 后处理 单 元 分 析 单 元 集 成 [K] 载 荷 移 置 约 束 处 理 解线性方程组 {q} 求应力和应变 结 果 显 示 单元分析到计算出需要的物理量等步骤。由于求解的运算量非常大，所以这部分工作由计算 机自动批处理完成。除计算前需要对计算方法、计算内容、计算参数和工况条件等进行必要 的设置和选择外，一般不需要人的干预。 三、后处理 求解完成后所做的工作称为后处理（Post-processing），其任务是对计算结果进行必要 的处理，并按一定方式显示出来，以便对分析对象的性能进行分析和评估，以做出相应的改 进或优化，这是进行有限元分析的目的所在。 因此，整个有限元分析过程也可以用图9-2 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。 图 9-2 有限元分析的一般过程 9.1.2 有限元建模的重要性 对分析人员而言，在整个有限元分析过程中，建模是最重要、最关键的环节，这是因为： 一、影响结果精度 有限元模型要为计算提供所有原始数据，这些输入数据的误差将直接决定计算结果的精 度。如果模型本身不合理，即使计算算法再精确，也不可能得到高精度的分析结果。因此， 模型形式是决定结果精度的主要因素。 二、影响计算过程 模型的形式不仅决定计算精度，还影响计算的过程。对于同一分析对象，不同的模型所 需要的计算时间和存储容量可能相差很大，不合理的模型还可能导致计算过程死循环或中 止。 三、对人员要求高 由于分析对象的形状、工况条件、材料性质的复杂性，要建立一个完全符合实际的有限 前处理（建模） 后 处 理 求解（计算） 实际问题或 设计方案 关于薪酬设计方案通用技术作品设计方案停车场设计方案多媒体教室设计方案农贸市场设计方案 评估、优化、修改 有限元模型 计算结果 元模型是很困难的。它需要综合考虑很多因素，如形状的简化、单元类型的选择、网格的设 置、边界条件的处理等，从而对分析人员的专业知识、有限元知识和软件使用技能等方面都 提出了很高要求。 四、花费时间长 建模所花费的时间在整个分析过程中占有相当大的比例。对分析人员来讲，他们的工作 不是开发有限元分析软件，而是如何利用软件分析他所关心的对象。目前已有很多功能很强 的有限元分析软件，如ANSYS、I-DEAS、NASTRAN、ABAQUS、ADINA等。利用现存的 软件，分析人员可把求解过程作为“黑匣子”来对待，而把精力主要集中在建模上。据统计， 建模花费的时间约占整个分析时间的百分之七十左右。因此，提高建模速度是缩短分析周期 的关键。 鉴于以上原因，本章将重点介绍有限元建模的相关知识。 9.1.3 有限元模型的定义 有限元模型是为数值计算提供原始数据的计算模型，模型中一般包括三类数据——节点 数据、单元数据和边界条件数据。 一、节点数据 节点数据主要包括以下一些数据类型： 1. 节点编号（node label） 模型中的每个节点都有一个唯一的编号，作为节点的标识符。节点编号不能重复，但可 以不连续。在自动或半自动分网中，节点是由计算机自动编号的，编号顺序不一定合理，当 删除一些节点后也可能造成编号不连续。由于节点编号影响总刚矩阵的带宽，因此在计算前 可进行带宽优化，以重新对节点进行合理编号。特别是需要对模型进行重复计算时，带宽优 化是很必要的。 2. 节点坐标值（node coordinates） 在给定的参考坐标系中，每个节点的位置是已知的。正是基于已知的节点位置，才能形 成确定的单元形状。在自动分网中，每个节点的坐标值由计算机自动确定。 3. 坐标参考系代码（node coordinate reference system code） 在一个模型中，有时为了建模的方便可能建立多个坐标系，不同的节点可根据需要参考 不同的坐标系。在不同坐标系中节点的坐标值是不相同的，因此应明确规定节点坐标相对的 是哪一个坐标系。 4. 位移参考系代码（node displacement reference system code ） 位移参考系是指节点位移自由度所参考的坐标系，它可以不同于坐标参考系。在不同的 位移参考系中，节点的位移分量所表示的方向是不同的，因此应指明节点位移是参考的哪个 坐标系。 5. 节点数量（node number） 模型中的节点数量决定了模型的规模，可根据节点总数来衡量模型的大小，以便确定合 理的建模策略。 二、单元数据 单元数据包括以下数据类型： 1. 单元编号（ element label） 模型中的每个单元同样都有一个唯一的编号，作为单元的标识符。同一模型中，单元编 号不能重复，但可以不连续。在自动或半自动分网中，单元也由计算机自动编号，编号顺序 不一定合理，当删除一些单元后也可能造成编号不连续。由于单元编号影响总刚矩阵的波前 数，因此在利用波前法计算时可先进行波前优化，以重新对单元进行合理编号。 2. 组成单元的节点编号 指出单元由哪些节点组成，这组节点的坐标值决定了单元的网格形状。 3. 单元材料特性（material properties） 该类数据定义分析对象的各种材料特性，如弹性模量、泊松比、热膨胀系数、传热系数 和密度等，在形成单元特性矩阵时将用到这类数据。 4. 单元物理特性值（physical properties） 该类数据定义单元本身的物理特性和辅助几何参数，如弹簧单元的刚度系数、间隙单元 的间距、集中质量单元的质量、平面单元厚度等。 5. 一维单元的截面特性（section properties） 截面特性包括截面面积、惯矩、极惯矩、弯心位置、剪切面积比等。截面特性通常由定 义的截面形状和大小由软件自动求出。 6. 相关几何数据 该类数据描述单元本身的一些几何特征，如各向异性材料的主轴方向、梁单元端节点的 偏移量和截面方位、刚体单元自由度释放码等。 以上节点数据和单元数据定义了分析对象的几何特性和材料特性。 三、边界条件数据 边界条件数据用于描述分析对象和外界的作用。它包括的数据类型有： 1. 位移约束数据 该类数据规定模型中哪些节点、节点哪些自由度上的位移受到约束条件的限制以及约束 的类型和大小。 2. 载荷数据 用于定义模型中节点载荷、单元棱边载荷和面力、体力等作用的位置、方向和大小。 3. 热边界条件数据 定义模型中节点温度、热流、对流换热和辐射换热的位置、大小和作用规律等。 4. 其它边界条件数据 定义模型中的主从自由度、连接自由度或运动自由度等其它用于分析的边界条件。 图9-3列出了有限元模型包含的各种数据类型。 图 9-3 有限元模型的数据类型 9.1.4 有限元建模的基本原则 建立有限元模型时需要考虑的因素很多，不同分析问题所考虑的侧重点也不一样。但不 论什么问题，建模时都需要考虑两条基本原则：一是保证计算结果的精度，二是控制模型的 规模。 精度和规模是一对矛盾的因素，建模时应根据具体的分析要求和分析条件权衡考虑。保 证精度是必须的，通过减小规模来降低精度将使分析失去意义。在保证精度的前提下，减小 模型规模是必要的，它可在有限的条件下使有限元计算更好、更快地完成。 节 点 编 号 坐 标 值 坐标参考系代码位移参考系代码节 点 数 量 单 元 编 号 单 元 节 点 编 号 单 元 材 料 特 性 单 元 物 理 特 性 单 元 截 面 特 性 位 移 约 束 数 据 载 荷 条 件 数 据 热边界条件数据其他边界条件数据相 关 几 何 数 据 有限元模型 节 点 数 据 单 元 数 据 边界条件数据 一、保证精度原则 有限元法是一种数值计算方法，它的解是实际问题的一个近似解。如果近似解与真实解 的误差控制在一定范围内，这在工程上是允许的，也具有实际应用价值。但如果误差太大， 有限元解就会失去意义，有时还会带来严重后果。因此，无论什么问题的有限元分析，保证 结果精度是必须的。 如第8章所述，当单元位移函数满足连续性条件时，有限元解是收敛的。即随着单元数 量增加，有限元解逐渐逼近精确解。图9-4是一悬臂梁自由端的位移随单元数量增加时的收 敛情况。由于连续体离散后刚度会有所增加，受力后变形相对实际变形要小，因此有限元解 从精确解的下方收敛。 图 9-4 有限元解的收敛情况 为了提高有限元解的精度，可以适当增加单元数量，即划分比较密集的网格。但从图9-4 也可以看出，当单元数量增加到一定程度后，有限元解的收敛速度很低，这时再增加单元， 精度提高也不会太大，这时增加单元数量就不会有明显效果。实际计算时可以比较两种网格 的计算结果，如果相差较大，可以继续增加单元数量。如果结果变化不大，则可以停止增加。 在第8章假设的单元位移函数是一种线性函数，如果位移函数假设为二次函数（相应的 单元称为二次单元），则位移函数逼近真实位移的精度会提高。图9-5所示为线性单元和二次 单元的收敛情况。可以看出，二次单元的收敛曲线始终位于线性单元上方，说明在同样单元 数量的前提下，二次单元的计算精度高于线性单元。但单元数量增加到一定程度后，两者计 算精度的差异会越来越小。 单元数量 最 大 变 形 图 9-5 二次单元和线性单元的收敛情况 除了单元数量和单元阶次外，单元形状对计算结果精度也有影响。一般情况下，单元形 状为正多边形（等边三角形或正方形）和正多面体时最理想，单元形状偏离正多边形（正多 面体）越多，产生的计算误差越大，因此在划分网格时应尽量划分比较规则的网格形状，特 别是在应力精度要求很高的区域更应注意网格形状。 有限元分析是一个非常复杂的过程，计算结果的精度与很多因素有关，且一些因素对精 度的影响有较大的偶然性，所以对结果精度做出定量估计非常困难。由于一般结构均不能求 出其解析解，所以实际应用中通常用实物或相似结构的测试来验证计算结果。 二、控制规模原则 模型规模是指模型的大小，直观上可用节点数和单元数来衡量。一般来讲，节点和单元 数越多，模型规模越大。在数值计算中，主要采用带宽法和波前法求解刚度方程[K]{q}={R}， 运算次数和存储空间不仅与方程阶数有关，而且也与节点和单元的编号顺序有直接关系。从 这个意义上讲，模型规模还受节点和单元编号的影响。 在估计模型规模时，除了考虑节点的多少外，还应考虑节点的自由度数。因为总刚矩阵 的阶次等于节点数与其自由度数的乘积，即结构的总自由度数。例如在热分析中，每个节点 仅有一个温度自由度，模型节点数量增加一倍时，总刚矩阵的阶次也仅增加一倍。而壳单元 节点自由度达到6个，这时节点数量增加一倍，总刚矩阵的阶次将增加6倍。在节点数量相同 时，后者的模型规模要远远大于前者。 模型规模主要影响以下因素： 1. 计算时间 据统计，计算机求解线性方程组的近似运算次数正比于N3（N为总刚矩阵的阶次），采 单元数量 最 大 变 形 一次单元 二次单元 真实解 用半等带宽存储总刚矩阵时，近似运算次数正比于NB2（B为半带宽）。所以当节点数增加时， 运算次数将显著增加。此外，单元数增加时也将增加单元矩阵形成和总刚集成的时间。 2. 存储容量 在计算过程中，需要将运算程序和模型原始数据调入到内存执行和参与运算，并不断将 暂不需要的计算结果送出到硬盘储存，以腾出内存用于其它计算，需要时再调入内存，所以 内、外存之间不断地在进行数据交换。模型规模越大，需要一次调入内存的数据量越大，产 出的中间结果就越多。一般来讲，暂存中间结果需要的动态硬盘空间（虚拟内存）要远远大 于存储一个模型所用的静态硬盘空间。对于具体的分析环境，机器内存和硬盘大小总是有限 的，如果模型太大，存储容量不够，计算过程就会中断。 3. 计算精度 模型规模越大，需要的运算次数越多，就有可能累积较大的计算误差。当模型过于庞大 时，累积的误差就有可能使计算结果完全失去意义。 4. 其他 除了上述因素外，模型规模越大，对网格划分、模型处理、边界条件引入、多种工况重 复计算、模型修改以及结果后处理等都会增加更多的工作量和处理时间。 因此，在建立有限元模型时，在保证计算精度的前提下，应尽量控制单元和节点数量， 减小模型规模。以保证在有限的计算条件下，使计算过程更快、更好地完成。 9.1.5 有限元建模的一般步骤 不同问题的有限元建模过程和内容不完全相同，但一般包括图9-6所示的几个主要环节。 图 9-6 有限元建模的一般过程 在上述过程中，问题定义是指在具体实施分析之前，首先弄清分析对象的几何形状、约 计算结果 有限元模型实际结构 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 问 题 定 义 几 何 模 型 建 立 单 元 类 型 选 择 单 元 特 性 定 义 网 格 划 分 模 型 检 查 边 界 条 件 定 义 计算 结果比较 模型修正 软件单元库 测试 结果 束特点和载荷规律，以明确结构型式、分析类型、计算结果的大致规律、精度要求、模型规 模大小等情况，以确定合理的建模策略。制定合理的分析方案将对整个分析过程和分析结果 具有重要影响。 分析过程中其他步骤的具体内容将在本章后续各节中分别介绍。 9.2 几何模型的建立 9.2.1 几何模型的定义 建立有限元模型时，首先应根据分析对象的形状、尺寸比和边界条件等特点确定一个适 合有限元分析的几何区域，这种反映分析对象几何特征的求解域称为几何模型。 由于目前主要采用自动分网方法，而自动分网必须基于几何模型，因此分网之前首先应 在计算机内建立一定型式的几何模型，建立几何模型的过程称为几何建模。 几何建模可以采用CAD软件完成，有限元分析软件一般也自带有几何建模模块，但功 能不如专用CAD软件强。复杂的几何模型大多利用CAD软件建立，然后通过CAE与CAD软 件的专用接口传递到CAE软件中。图9-7所示是ANSYS软件与CAD软件的接口，可以看出， CATIA、Pro/E、UG等CAD软件的CAD模型可直接调入到ANSYS中，其他CAD模型可通过 IGES、SAT等中性文件传递到ANSYS。 图 9-7 ANSYS 软件与 CAD 软件的接口。 在弹性力学分析领域，不同的结构类型可能要求不同的几何模型类型，如轴对称问题的 几何模型为平面，薄壳结构为曲面，空间结构为实体等。表9-1列出了各类结构所对应的几 何模型类型。 表 9-1 结构类型所对应的几何模型型式 结构类型 几何模型型式 平面（应力、应变）问题 轴对称问题 表面模型（平面） 空间问题 实体模型 杆件结构 线框模型 薄板弯曲问题 薄壳问题 表面模型（三维） 轴对称薄壳问题 线框模型 在网格划分中，杆件结构等一维单元的划分一般采用半自动分网，自动分网主要在表面 模型上自动生成二维网格和在实体模型上自动生成三维实体网格。 9.2.2 形状处理方法 几何模型是网格划分的基础，它对分网过程、网格形式和网格数量都有直接影响。所以 几何建模时，对原有结构进行适当处理是必要的。合理的形状简化、变换和处理，既能保持 一定的分析精度，又能使分网和计算过程大为简化。因此，几何模型是从实际结构抽象出来 的，其维数、形状及大小有可能与原结构相同，也可能存在一些差异，两者并不要求完全一 样。 本节介绍形状处理的一些常见方法。 一、降维处理 由于平面问题和轴对称问题的几何模型是平面，在平面上划分网格比在空间内划分要容 易得多，分析也相对简单。实际结构完全满足平面问题或轴对称问题条件的并不多，但有些 结构若作某些近似，仍可按平面问题或轴对称问题来计算，这种把三维问题简化或近似为二 维问题的处理方法称为降维处理。 例如图9-8中的轴与轮毂配合，轮辐圆周上设计了六个均布辐孔。在计算轮毂与轴颈表 面接触压力时，由于辐孔尺寸较小且远离接触面，对接触压力影响不大，因此建模时可以忽 略辐孔，这样就能将轮毂简化为轴对称结构。又如图9-9所示的螺纹联接，由于螺纹升角很 小，也可认为螺纹牙的受力在周向是相同的，从而将螺栓和螺母近似为轴对称结构。 图 9-8 紧配合结构 图 9-9 螺纹联接结构 螺栓 轴 轮毂 螺母 辐孔 二、细节简化 机械零件中常常存在一些相对尺寸很小的细节，如倒圆、倒角、退刀槽、加工凸台等。 细节的存在将影响网格的大小、数量和分布。因为在自动分网时，一段直线或曲线至少划分 一个单元边，一个平面或曲面至少划分一个单元面，一个圆最少也应由三个单元边来离散， 所以细节将限制网格的大小，从而影响整个模型的网格数量和分布。 图9-10a为一轴对称零件，由于配合和加工需要，结构中设计了一些倒角、退刀槽和配 合面，倒角的长度、退刀槽的长和宽、配合面的凸出高度相对总体尺寸都很小，如果几何建 模时将这些细节都考虑进去，则自动分网的结果如图9-10b所示，这时单元数量为140。若忽 略某些细节，则分网结果如图9-10c所示，单元数量较前者减小了68，由此可以看出细节对 网格划分的影响。细节尺寸与总体尺寸相差越大，细节对网格的影响越严重。因此，几何建 模时应尽量忽略中一些不必要的细节。 （a） （b） （c） 图 9-10 细节对网格划分的影响 在决定细节取舍时应该注意，如果细节处于结构的高应力区，这种细节常常会引起应力 集中，细节的尺寸和形状对应力大小有很大影响，因此这类细节不能忽略，并且在分网时还 应加以特别注意。 三、局部结构的利用 工程中有些结构虽然尺寸很大，但受力或同时受力的却是相对很小的局部，因此结构只 是在局部发生变形，应力也分布在局部区域内。这类结构的典型示例就是齿轮，当齿轮工作 时，只有二、三个齿同时受力，其中只有一个齿受力最严重，其余各齿则处于非受力状态。 对这类结构进行有限元建模时，如果取整个结构建模则必然有大部分单元的应力和位移为 零，这样就造成了很多不必要的计算。 局部分析法就是从整个结构中划分出一部分进行分析，该部分通常是结构中受力最重、 应力或变形最大的危险区域。利用这种分析方法可以缩小几何求解域，降低模型规模，同时 也可能对结构关键部位进行详细的网格划分，从而提高计算精度。 图9-11所示是齿轮分析中常见的局部模型，其中单齿模型较简单，计算结果偏于安全。 三齿模型考虑了齿轮啮合时轮齿的重叠，传递的力由三个齿分担，计算结果包括了轮齿之间 的相互影响，即一个轮齿弯曲时在相邻轮齿中引起的应力，因而比单齿模型更合理，但模型 较复杂。对于载荷沿齿宽分布均匀的直齿轮，可以采用平面模型。对于斜齿轮，或需要考虑 载荷沿齿宽分布不均的直齿轮，则需要用三维模型。研究表明，对于直齿轮，当高度 AB>1.5m(m为齿轮模数)、宽度BD>3m时，边界ABCD的位移均小于最大位移的3%，因此划 分边界可取为零位移约束。 单齿模型 三齿模型 图 9-11 齿轮局部模型 建立局部模型的关键在于如何确定划分边界的位置。划分边界可以通过结构实物的 测试数据或经验确定，也可以利用试算确定，试算时可以采用以下两种途径。 （1）首先划分一个较小的边界，然后增加边界尺寸，若计算发现边界尺寸增加时局部 结构中的应力或变形没有变化或变化非常小，则可取上一步边界作为精确计算的边界。 （2）首先划分一个较大的边界或取整个结构，若计算发现边界以内仍有大部分节点位 移为零，则可将边界缩小到这些节点位置。这种方法不仅可以确定划分边界的位置，还可以 确定比较合理的边界形状。 四、对称性的利用 当结构形状和边界条件具有某种对称性时，应力和变形也将呈相应的对称分布。图9-12a 所示为一相对水平轴对称的平板，在对称力的作用下，对称轴上下两边的应力和变形完全相 同，如图9-12b，6-12c所示。在这种情况下，只要取出结构的一半计算，便能了解整个结构 的应力和变形，从而减小模型规模。 图 9-12 反射对称结构及其应力和位移分布 1. 对称形式 对称性有反射对称和周期对称两种形式。 （1）反射对称 将结构的一部分相对某一平面进行映射，如果该部分的形状、载荷和 约束与另一部分完全重合，则这种对称称为反射对称。反射对称又包括两种情况，一是载荷 对称情况，即载荷反射后大小和方向均重合，如图9-13a所示。另一种是载荷逆对称情况， 即载荷反射后大小重合，但方向相反，如图9-13b所示。 （a）载荷对称 （b）载荷逆对称 图 9-13 反射对称形式 如果结构具有反射对称性，其应力和位移分布也呈相应的反射对称，因此就可以取出对 称面任一侧的二分之一结构进行分析。这样，有限元模型的节点和单元数量就会减少大略一 半。 如果取出的结构还具备反射对称性，那么还可以进一步取结构的一半，直到取出的结构 无对称性为止。即当结构不止具有一个反射对称面时，可以取出结构的四分之一、八分之一 甚至更小进行分析。 值得强调的是，反射对称不仅要求结构的形状、载荷对称，还要求位移约束也对称。 （2）周期对称 指结构可以划分为若干形状完全相同的子结构，当任一子结构绕对称 中心旋转一定角度后，该子结构的形状、载荷和位移约束将与其它子结构完全重合。发动机 叶片、花键、螺旋桨等均属于周期对称结构。 当结构具有周期对称性时，其内部应力和变形也将呈周期变化。图9-14是一周期对称结 O F1 F2 F2 F1 x y O F1 F2 F2 F1 x y (b) 应力分布 F 对称轴 (c) 位移分布 构及其分析结果，可以看出，在用虚线画出的5个子结构中，各个子结构的变形和应力是完 全相同的。因此这类结构只要取任一个子结构进行分析，便能了解整个结构的应力和变形情 况。 周期对称结构 应力分布 位移分布 图 9-14 周期对称结构及其应力和位移分布 和反射对称相似，周期对称不仅要求结构形状对称，而且还应保证载荷和位移约束对称， 而且各子结构的材料特性和物理特性也应相同。 2. 对称面上的位移条件 利用结构的对称性就是将结构沿对称面（线）人为分开，然后取部分结构进行分析。利 用对称性的关键是要正确定义对称面上的位移条件，以准确考虑舍去部分对保留部分的作 用。 （1）反射对称的位移条件 当载荷是对称载荷时，对称面上的位移条件为： 1）垂直于对称面的移动位移分量为零； 2）方向矢量平行于对称面的转动位移分量为零。 例如，取图9-13a中平面结构的阴影部分分析时，垂直于对称面的移动位移分量为x轴方 向的位移，因此对称面上的位移条件为 0=iu （i表示对称面上的节点） （9-1） 由于平面应力单元无转动自由度，因此无第2个位移条件的限制，下同。 当载荷是逆对称载荷时，对称面上的位移条件为： 1）平行于对称面的移动位移分量为零； 2）方向矢量垂直于对称面的转动位移分量为零。 例如，取图9-13b所示平面结构的阴影部分分析时，平行于对称面的移动位移分量为y 轴方向的位移，因此对称面上的位移条件为 子结构 对称中心 vj = 0 （j表示对称面上的节点） （9-2） （2）周期对称的位移条件 图 9-15a 为一周期对称的花键，它可以划分为 8 个相同的子结构，如图 9-15b 所示。当 其中任一子结构 A 旋转 45°的整数倍时，其形状、载荷和位移约束将与其它子结构完全重合， 因此各子结构的变形是相同的。考查子结构 A，当它旋转 45°时，其 aa 边界正好与子结构 B 的 bb 边界重合，由于 A、B 两子结构的变形相同，因此 aa 和 bb 两条边界上对应点的位移 状态应完全一样，划分网格后，两条边界对应节点（即 1 和 6、2 和 7 等，见图 9-15c）应具 有相同的位移状态。 （a） （b） （c） 图 9-15 周期对称结构的位移条件 9.3 单元类型及单元特性 划分网格之前首先需要选择单元类型。单元类型的选择应根据分析类型、形状特征、计 算数据特点、精度要求和计算条件等因素综合考虑。为适应特殊的分析对象和边界条件，一 些问题需要采用多种单元进行组合建模。 单元特性定义了单元内部数据，包括材料数据、截面数据等。这些数据在形成单元特性 矩阵时需要，它们可以在分网之前定义，也可先采用缺省值，形成网格后再进行修改。 单元类型是否选择合理，单元特性是否定义正确，都会对计算结果产生影响。本节介绍 常见单元类型及其应用，以及单元特性的定义方法。 9.3.1 单元类型 在结构分析领域，不同的结构类型需要相应的单元进行离散。因此单元通常是按结构类 型分类的，即根据结构的特点选择相应单元。表9-2总结了结构分析中的常见单元及其应用。 表9-2 常见结构单元类型 单元名称 网格维数 节点自由度 应 用 平面应力单元 Plane stress element 2 2个移动自由度 平面应力结构 平面应变单元 Plane strain element 2 2个移动自由度 平面应变结构 空间实体单元 Solid element 3 3个移动自由度 空间结构 轴对称实体单元 Axisymmetric solid element 2 2个移动自由度 空间轴对称结构 板单元 Plate element 2 3个移动自由度，3个转动自由度 平板结构 壳单元 Shell element 2 3个移动自由度，3个转动自由度 曲面壳体 轴对称壳单元 Axisymmetric shell element 1 2个移动自由度，1个转动自由度 轴对称曲面壳体 杆单元 Rod element 1 3个移动自由度（平面杆单元2个） 桁杆结构 梁单元 Beam element 1 3个移动自由度（平面梁2个），3 个转动自由度（平面梁1个） 梁结构 弹簧单元 Spring element 1 3个移动自由度（平面2个），3个 转动自由度（平面1个） 弹簧结构 不同软件提供的单元类型不完全相同，每个软件都会为用户提供一个可供选择的单元 库。实际应用中，用户必须从单元库内选择单元。从这个意义上讲，软件单元库的单元越丰 富，其建模能力也就越强。 表9-2是按结构类型进行单元分类的，这种分类反映了单元本身的性质（主要是单元刚 度矩阵）。此外，单元也按下列方式进行分类。 一、一维、二维和三维单元 根据单元网格形状的维数特征，单元可分为一维单元、二维单元和三维单元。 一维单元的网格为一条直线或曲线，只有长度方向的尺寸，不能反映结构的截面尺寸。 直线表示由两个节点确定的线性单元，曲线代表由两个以上节点确定的高次单元，或具有特 定形状的线性单元（如曲梁单元）。杆单元、梁单元、轴对称壳单元等都属于一维单元。 二维单元的网格是一个平面或曲面，不能反映结构厚度方向的尺寸。这类单元包括平面 应力单元、平面应变单元、轴对称实体单元、板单元、壳单元等。在自动划分网格时，二维 单元要求的几何模型是表面模型或实体模型的边界面。 三维单元的网格具有空间三个方向的尺寸，这类单元主要是实体单元，自动分网时它要 求的几何模型是实体模型。 二、线性、二次和三次单元 根据单元位移函数多项式的最高阶次数的多少，单元可分为线性单元、二次单元和三次 单元。 线性单元具有线性形式的位移函数，其网格只有角节点而无边节点，网格边界为直线或 平面。这类单元的优点是节点数少，在精度要求不高或结果数据梯度不大的场合，可以得到 较小的模型规模。但由于位移函数是线性的，单元内的位移呈线性变化，而应力则是常数， 因此单元之间的应力不连续，单元边界上存在应力突变，如图9-17a所示。 （a）线性单元 （b）二次单元 图 9-17 线性单元和二次单元的位移、应力变化 二次单元的位移函数是二次多项式，它不仅在网格顶点处有节点，而且在棱边上还存在 一个节点，因此网格边界可以是二次曲线或曲面。这类单元的优点是几何和物理离散精度都 较高，单元内的位移呈二次变化，应力呈线性变化，因此单元边界上的应力是连续的，如图 9-17b所示。但在单元数量相同的条件下，二次单元的节点数比线性单元多，模型规模偏大。 三次单元的位移函数是三次多项式，除了网格顶点存在节点外，每条边上还有两个边节 点，有些在网格内部还有节点。这类单元的离散精度更高，但由于单元节点数较多，网格划 分较困难，模型规模很大，一般用于具有特殊精度要求的场合。 单元质心应力 单元质心应力 节点位移 节点位移 三、传弯单元与非传弯单元 根据结构单元的节点自由度性质不同，单元可分为传弯单元和非传弯单元。如果节点仅 有移动自由度，单元之间通过节点只能传递力而不能传递弯矩，则称这类单元为非传弯单元。 平面单元、实体单元、杆单元等均属于这类单元。如果节点具有转动自由度，单元之间通过 节点可以传递弯矩，则称这类单元为传弯单元。梁单元、板单元和壳单元均为传弯单元。 在不同类型单元的组合建模中，区分传弯单元与非传弯单元是有用的。当组合的两类单 元同属传弯单元或非传弯单元时，由于节点自由度的性质相同，一个单元上的力和力矩可完 整地传递到另一个单元，因此这样的单元可直接连接，不需额外处理。但是当传弯单元与非 传弯单元组合时，传弯单元上的力矩就不能传递给非传弯单元，这时就必须对连接节点进行 必要的约束处理。 9.3.2 单元形状 二维单元的形状通常有三角形和四边形两种。平面单元、轴对称单元的形状为平面三角 形或四边形如图9-18a所示，高阶壳单元的形状可以是曲面三角形或四边形，如图9-18b所示。 三角形单元的边界适应能力比四边形强，常用于具有复杂边界的区域离散。四边形单元的精 度要高于同阶次的三角形单元，但边界适应能力较弱，多用于规则区域的离散。在采用映射 网格划分方法时，一般需要选择四边形单元。 （a）平面三角形和四边形网格 （b）曲面三角形和四边形网格 图 9-18 二维单元的网格形状 实体单元的网格形状有四面体、五面体和六面体三种，如图9-19所示。四面体网格的边 界适应能力强，常用于具有复杂边界曲面的不规则结构的离散。五面体和六面体网格多用于 形状较规则的结构，这两种单元一般需要采用映射分网方法。线性单元的网格面为平面，高 阶单元的网格面可以是曲面，以适应三维结构的曲面边界。 线性单元 二次单元 图 9-19 实体单元的网格形状 9.3.3 单元特性 网格形状能够反映单元的几何特征，但不能反映单元的内部特性，如单元的材料类型。 因此在网格形成以后，还需要为单元定义内部特性。一个完整的单元应包括具有可视的外部 形状和不可见的内部特性，其组成如图9-20所示。 图 9-20 单元组成 单元特性一般包括以下几类： 一、材料特性 材料特性用于定义分析对象的材料在力学、热学等方面的性能，如弹性模量E、泊松比、 密度、导热系数、热膨胀系数等。材料特性值与材料类型有关，有限元分析软件一般会提供 一个材料库，库中定义了常见的材料类型、型号及其相应的特性值。用户可从库中直接选择 材料，也可以自定义材料。 在有限元方法中，可以分析的材料类型包括各向同性材料、各向异性材料、正交各向异 性材料和叠层复合材料。对于不同类型的材料，材料参数和定义方法不同，具体可参考软件 使用方法。 外部形状：网格 内部特征：材料特性，物理特性，截面特性，相关数据等。 单 元 二、物理特性 物理特性用于定义单元物理参数或辅助几何特征，在ANSYS中称为实常数。物理特性 的类型与单元类型有关，常见的物理特性有： （1）板、壳单元的厚度值。 （2）平面应力单元的厚度值。 以上厚度值是二维单元网格形状不能描述的辅助几何参数。 （3）弹簧单元的刚度系数和刚度参考坐标系。 （4）间隙单元的间距、接触方向、切变方向和摩擦系数。 （5）集中质量单元的质量、转动惯量和惯量参考坐标系。 三、截面特性 杆、梁单元的网格是一条直线或曲线，它们只能表示杆件长度方向的几何特征，无法描 述截面的形状和大小，而杆件的力学性能又与截面形状和大小有关，因此这类一维单元需要 定义其截面特性。 由于杆件结构只承受拉压，因此其截面特性只有截面积。而梁结构可以承受拉压、弯曲 和扭转，因此其截面特性包括截面积、主惯矩、极惯矩等截面性质。 截面特性的定义方式有两种：一是参数定义方式，即直接输入截面的各个特性值，这时 需要预先计算出各个截面特性值。另一种为图形定义方式，即利用前处理软件提供的截面定 义功能，首先按截面的实际尺寸画出截面形状，然后基于该形状由软件自动计算截面的各个 特性值。显然后一种方式更加方便，利用它可以定义任意形状截面的特性表，图形定义方式 也是衡量分析软件功能的指标之一。 四、单元相关几何数据 除材料特性、物理特性和截面特性外，某些单元还可能具有一些相关几何数据，以对单 元作进一步说明。相关几何数据依附于具体单元，删除单元后将随之消失。不同类型单元的 相关几何数据值可能不一样，具体应用时可参考分析软件的使用手册。 上面介绍了单元的材料特性、物理特性、截面特性和相关几何数据，一个单元并不一定 具有所有这些特性或数据。建立模型时除了划分合理的单元形状外，还必须根据结构特点和 计算要求正确定义每一个单元所必需的各种特性值，这样才能计算出正确合理的结果。 由于每个单元都有大量特性数据，如果这些数据都依附于单元，则整个有限元模型的数 据量将非常庞大。因此单元特性通常利用各种特性表来定义。即独立于单元建立特性表，特 性值单独存储，单元与特性表链接。因此单元数据中只保留了一个链接信息，而不是所有特 性数据。 由于不同单元可能具有相同的特性，所以一个特性表通常可被一组单元共用。由于特性 表独立于单元，因此删除单元并不会删除单元所参考的特性表。但单元相关几何数据是依附 于单元存在的，不同单元的相关几何数据可能不一样，删除单元后这些数据也随之消失。 单元与特性表及相关几何数据的关系如图9-21所示。 图9-21 单元特性表与单元的关系 9.4 网格划分方法 建立几何模型和选择单元类型以后，就应基于几何模型进行分网。分网的工作量大，需 要考虑的问题多，网格形式直接影响结果精度和模型规模，因此分网是建模过程中最为关键 的环节。 6.4.1 网格划分原则 划分网格时一般应考虑以下原则： 一、网格数量 网格数量的多少主要影响以下两个因素。 1. 结果精度 网格数量增加，结果精度一般会随之提高。这是因为： （1）网格边界能够更好地逼近几何模型的曲线或曲面边界； （2）单元插值函数能够更好地逼近实际函数； （3）在应力梯度较大的部位，能够更好地反映应力值的变化。 但应注意，当网格数量太大时，数值计算的累积误差反而会降低计算精度。 2. 计算规模 网格数量增加，将主要增加以下几个方面的计算时间： 单元 1 相关几何数据 单元 1 单元 2 相关几何数据 单元 2 材料特性表 物理特性表 截面特性表 （1）单元形成时间 这部分时间与单元数量直接相关。当单元为高阶单元时，由于计 算单元刚度矩阵要进行高斯积分，所以单元形成要占用相当大的比例； （2）求解方程时间 网格数量增加，节点数量会相应增加，有限元方程的数量增加， 求解方程组的时间将大大增加； （3）网格划分时间 网格数量增加时，无论采用半自动还是自动方法，都会使网格划 分花费更多的时间。 图9-22中的上面一条曲线表示结构位移随网格数量收敛的一般曲线，下面一条曲线代表 计算时间随网格数量的变化曲线。可以看出，当网格数量较少时，增加网格数量可明显提高 精度，而计算时间不会明显增加。当网格数量增加到一定程度后（例如点P），继续增加网 格对精度提高不多，而计算时间却大幅度增加。因此并不是网格分得越多越好，应该考虑网 格增加的经济性，实际计算时应权衡两个因素综合考虑。 图9-22 位移精度和计算时间随网格数量的变化 二、网格疏密 网格疏密是指结构不同部位采用不同大小的网格。实际应力场很少有均匀分布的，或多 或少存在不同程度的应力集中。为了反映应力场的局部特性和准确计算最大应力值，应力集 中区域就应采用较密集的网格。而在非应力集中区域，由于应力变化梯度小，为减小网格数 量，则可采用较稀疏的网格。因此整个结构显示出疏密不同的网格划分。 图9-23是一中心带圆孔的方形板的四分之一模型，其网格形式反映了上述原则。即小孔 附近存在应力集中，采用了较密的网格，而板的四周应力梯度小，网格相对较稀。其中图a 网格疏密相差较小，模型共有132个单元。而图b网格疏密相差较大，只有84个单元。但通过 两者计算出的孔缘最大应力分别为300.60MPa和296.36MPa（理论值为300MPa），误差仅相 差1%，而计算时间可减小36%。可见，采用疏密不同的网格划分，既可保持相当的精度， 又可使网格数量减小。该例也说明，应力计算精度并不随着网格数量增加而绝对增加，网格 O P 精确解 精度 计算时间 网格数量 数量应该增加到结构的关键部位，在次要部位增加网格是不经济的。 （a） （b） 图9-23 带孔方板的四分之一模型 三、单元阶次 很多单元都有低阶和高阶形式，采用高阶单元的目的是为了提高精度，这主要基于两点 考虑。一是利用高阶单元的曲线或曲面边界更好地逼近结构的曲线或曲面边界，二是利用高 次插值函数更好地逼近复杂的实际函数。但高阶单元的节点较多，使用时也应权衡精度和规 模综合考虑。 图9-24是一悬臂梁分别用线性和二次单元离散时，其顶端位移随网格数量的收敛情况。 图9-24 不同阶次单元的收敛情况 从上图不难看出： （1）当网格数量较少时，两种阶次单元的精度相差很大，这时采用低阶单元划分网格 是不合适的； （2）当网格数量增加时，两种阶次单元的精度相差越来越小。当网格数量增加到一定 程度后，再采用高阶单元并不经济。例如在离散结构细节时，由于细节处的网格分得很密， 这时采用高阶单元的意义就不大了，采用密集的线性单元可能比稀疏的高阶单元效果更好； （3）在精度一定时，需要的高阶单元数要远远少于线性单元数。因此在使用高阶单元 时要选择适当的网格数量，太多的网格并不能带来明显的效益。 单元数量 线性单元 相对精度 100% 二次单元 四、网格质量 网格质量是指网格几何形状的合理性。质量的好坏将直接影响结果精度，质量太差的网 格甚至会中止计算过程。直观上看，若网格各边和各个内角相差不大，网格表面不过分扭曲， 边角点位于边界等分点附近，则这类网格的质量较好。 网格质量可用一些具体指标定量表示。网格划分之后，特别是自动划分的网格，应进行 网格质量检查，并对质量差的网格（特别是重要部位的网格）进行修正，以保证计算精度和 使数值计算过程顺利完成。 在有限元模型中，图9-25所示的几种网格是不允许的，它们将导致单元刚阵为零或负值， 数值计算时将出现致命错误而中断，这些网格称为畸形网格。其中图a中的网格节点交叉编 号，节点必须按顺时针或逆时针统一编号。图b中网格的内角大于或等于180o，图c所示网格 的节点1与4、2与3重合，导致网格面积为零。 （a） (b) (c) 图9-25 几种畸形网格 五、网格分界面和分界点 划分网格时，结构中的一些特殊界面和特殊点应划分为网格边界或节点。常见特殊界面 和特殊点有以下几种： （1）不同材料的分界面； （2）几何尺寸的突变面，如板壳结构和平面应力结构不同厚度的分界面，杆件结构不 同截面的分界面； （3）不同分布载荷的分界线或分界点； （4）集中载荷的作用点； （5）位移约束的作用点。 将上述（1）、（2）项界面划分为网格边界的目的是为了定义单元特性，而将（3）、 （4）、（15）项划分为网格边界则是为了定义边界条件。图9-26是上述界面和相应的网格 划分情况。 2 1 4 3 3 3 4 4 2 2 1 1 图9-26 特殊界面和特殊点的网格划分 9.4.2 网格划分方法 网格划分最早采用人工方式，即分析人员首先在坐标纸上画好分析结构的形状，然后人 为确定每个节点的位置，连接节点形成单元，进行节点和单元编号，上机时再按编号顺序在 程序的输入卡中依次填入节点坐标、单元的节点编号、单元材料特性和物理特性等数据。这 种方法的劳动强度大，划分速度慢，出错率高，对复杂空间结构的划分非常困难，这也严重 制约了有限元法的应用。 目前有限元分析软件都具备了自动分网功能，这种方法可以显著提高分网速度，大大减 轻人的劳动强度。对于平面问题和形状较规则的空间问题，为了对网格型式进行更多的人为 控制，目前也广泛采用半自动分网方法。 一、半自动分网方法 半自动分网仍由分析人员确定节点位置和形成单元，但分网过程直接在计算机屏幕上通 过人机交互方式进行。分析人员可通过多种方式建立节点和单元，分析软件根据节点、单元 的生成顺序自动进行编号。由于分网之后可进行带宽优化或波前处理，因此在分网时可不必 考虑生成顺序。这种方法的特点是可以任意控制节点位置和单元形状，划分的网格容易满足 给定的要求。 二、自动分网方法 对于平面问题或形状规则的空间问题，利用半自动方法可以随意控制网格大小、形状和 疏密。但对于形状复杂的空间曲面或实体，完全由人确定节点非常困难。因此，人们在自动 分网的算法研究和程序开发方面作了大量工作，并取得了很大进展。目前，商用有限元软件 都具备了自动分网功能，对一些非常复杂的结构都能进行自动分网。自动分网降低了网格划 分难度，大大提高了建模效率。 自动分网时需要选择单元类型、网格形状（如三角形或四边形）和单元阶次，并确定网 格尺寸，然后选择进行分网的几何模型，之后整个分网过程由计算机自动完成，有关自动分 网原理和算法的详细介绍请参考有限元法专著。图9-27 显示了平面结构和空间结构的自动 分网过程。 图9-27 自动分网过程 9.5 边界条件定义 实际产品中的结构都不会单独存在，它们必然和其它结构或外界发生相互作用。进行有 限元分析时，往往是将所关心的结构单独抽象出来进行分析，而分析结构与其它结构或外界 的关系则用载荷、位移约束等边界条件来考虑。例如在图9-28中，结构A置于结构B上，结 构B由地面C支撑，在分析结构B的变形时，可以只将结构B提出来，而结构A对结构B的作 用用分布压力p表示，地面C对结构B的作用用位移约束表示（限制结构B的y向运动），同时 在对称面上加上水平方向的位移约束。 图9-28 边界条件的提取 将实际工况量化为模型边界条件也是有限元建模的关键环节之一。边界条件是否符合实 际，很大程度上决定了计算结果的精度。边界条件的提取与工况复杂程度、测试方法和手段、 人对结构的了解程度以及人的工程知识和经验等有关。 空间结构 平面结构 自动分网 网格划分结果 自动分网 网格划分结果 A B C p B y 向位移约束 对称面 位移约束 边界条件的类型很多，不同分析问题需要定义相应的边界条件。在结构分析中，边界条 件主要包括位移约束和载荷。 9.5.1 位移约束条件 位移约束（displacement restraint）是对节点位移的大小和相互关系的限制。如第8章所 述，总刚矩阵是奇异阵，其物理意义是整个结构可在无约束或约束不足的情况下发生刚体运 动。因此为了求出结构的变形位移，就必须对模型施加足够的