基于观测器的一类非仿射非线性系统的自适应神经网络H_跟踪控制

第 38卷第 4期 2009年 8月 信息与控制Information and Control Vol.38, No.4 Aug., 2009 文章编号：1002-0411(2009)-04-0468-05 基于观测器的一类非仿射非线性系统的 自适应神经网络 H∞跟踪控制 胡 慧 1,2，刘国荣 2，郭 鹏 2，王 灿 3 （1.湖南大学电气与信息工程学院，湖南 长沙 410082； 2.湖南工程学院，湖南 湘潭 411104； 3.中广核工程有限公司，广东 深圳 518028） 摘 要：针对一类带有外部干扰、状态不可测的非仿射非线性系统，提出了基于观测器的自适应神经网络 H∞ 跟踪控制结构．利用隐函数定理和泰勒公式及中值定理，将非仿射非线性系统转变为仿射型非线性系统．控制器由 等效控制器和 H∞ 控制器组成，H∞ 控制器用于减弱外部干扰及神经网络逼近误差对跟踪的影响．总体控制 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 及基 于李亚普诺夫稳定性理论的权值更新律保证了系统的稳定性及跟踪误差渐近收敛于零，并使干扰对系统的影响衰减 到指定的性能指标．理论分析及仿真结果均证明了本文方法的有效性． 关键词：非仿射非线性；H∞ 跟踪；神经网络；观测器 中图分类号：TP273 文献标识码：A Observer-based Adaptive Neural-Network H∞ Tracking Control for a Class of Non-affine Nonlinear Systems HU Hui1,2，LIU Guo-rong2，GUO Peng2，WANG Can3 (1. College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China; 2. Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411101, China; 3. China Nuclear Power Engineering Co., LTD, Shenzhen 518028, China) Abstract: An observer-based adaptive neural-network H∞ tracking control scheme is presented for a class of non-affine nonlinear systems with external disturbance and unavailable states. By using implicit function theorem, Taylor’s formula and mean theorem, the form of the non-affine nonlinear systems is transformed into the form of affine nonlinear systems．The controller consists of an equivalent controller and H∞ controller designed to attenuate the effect of external disturbance and approximation errors of the neural networks on tracking. The overall control scheme and the weight update laws based on Lyapunov stability theory can guarantee the system stability and asymptotic convergence of the tracking error to zero, and attenuate the effect of the disturbance on system to a prescribed level. Theoretical analysis and simulation results demonstrate the effectiveness of the approach. Keywords: non-affine nonlinear; H∞ tracking; neural network; observer 1 引言（Introduction） 近年来，非线性不确定系统的 H∞ 控制问题引 起了人们的关注，取得了很多重要的成果，包括传 统 H∞ 控制方法 [1]、模糊逻辑控制方法 [2] 和神经网 络控制方法等 [3∼5]．但大部分都是针对仿射非线性 系统进行的研究，而有关非仿射非线性的研究文献 相对较少．而在实际应用中非仿射非线性系统是大 量存在的，且仿射非线性系统的研究成果不能直接 应用于非仿射系统，因此有必要对非仿射非线性系 统展开研究． 根据隐函数定理，文 [6]解决了一类 SISO非仿 射非线性系统的直接自适应状态反馈控制问题，但 要求系统中所有状态均可测，而系统状态并不总是 可测的．文 [7]则对状态未知的非仿射非线性系统， 基于误差观测器实现了直接自适应控制，文 [8] 对 具有三角输入形式的 MIMO 非线性系统实现了输 出反馈控制．但是目前的研究成果未考虑外部扰动 的影响．本文的目标是把神经网络自适应控制，鲁 棒 H∞ 控制与观测器 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 结合起来，针对一类带有 外部干扰、状态不可测的非仿射非线性系统实现自 基金项目：湖南省科技 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 资助项目（2008FJ3029）；湖南省自然科学基金资助项目（05JJ40093）． 收稿日期：2008-09-16 468 4期 胡 慧等：基于观测器的一类非仿射非线性系统的自适应神经网络 H∞ 跟踪控制 469 适应鲁棒跟踪控制． 2 问题描述（Problem statement） 考虑如下一类 SISO不确定非仿射非线性系统 x˙xx = AAAxxx+BBB f1(xxx,u)+BBBd1(t) y =CCCTxxx (1) 式中 xxx= [x1 x2 · · · xn ]T = [y y˙ · · · yn−1 ]T ∈Rn为 系统状态向量，不可测量（除 y(t)）；u∈R，y∈R，分 别为系统的控制输入和输出；d1(t) 为外部干扰输 入；f1(·, ·)是未知连续可导函数，且 AAA =  0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 ... ... ... . . . ... 0 0 0 · · · 1 0 0 0 0 0  BBB =  0 0 0 ... 1  , CCC =  1 0 0 ... 0  定义参考向量 yyy d = (yd y˙d · · · y(n−1)d )T ∈ Rn， 假设 yd 及其各阶导数有界，输出跟踪误差 e1 = yd− y，跟踪误差向量为 eee = [ e1 · · · en ]T = [yd− x1 · · · y(n−1)d − xn ]T，误差估计向量为 eˆee = [ eˆee · · · eˆee(n−1) ]T，e˜ee = eee− eˆee为观测误差，xˆxx是 xxx的估计． 本文的控制目标是在系统状态不可测的条件 下，在系统模型未知以及扰动作用下，利用 eee 和 xˆxx 设计控制器，使得闭环系统满足以下条件 (1)闭环系统所涉及的变量有界，且 lim t→∞ e1(t) = 0； (2)对于给定的抑制水平 ρ > 0，取得如下的 H∞ 跟踪性能 Tw 0 EEETQQQEEEdt 6EEET(0)PPPEEE(0)+ 1 γ1 w˜wwTf (0)w˜wwf(0)+ 1 γ2 w˜wwTg (0)w˜wwg(0)+ρ2 Tw 0 ω2dt (2) 式中 QQQ = QQQT > 0，PPP = P ppt 关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt > 0，EEET = [eˆeeT e˜eeT]． 假设 1：| f1(xxx,0)|6 f0(xxx)，f0(xxx)是已知的连续函 数． 假设 2：对所有 (xxx,u)∈U1×R，均有 ∂ f1(xxx,u)∂u > 0，其中U1 为可控区域． 3 观测器与控制器设计（Design of observer and controller） 定义 ζ = KKKTc eee+ y(n)d ，其中 KKKc = [ Kn Kn−1 · · · K1 ]T 是反馈增益向量，并使得 AAA−BBBKKKTc 的特征多项 式是 Hurwitz多项式．根据 ζ 和 eee的定义，有 e˙ee = (AAA−BBBKKKTc )eee+BBB(ζ − f1(xxx,u))−BBBd1(t) e1 =CCCTeee (3) 根据假设 ∂ f1(xxx,u) ∂u > 0，且 ∂ζ ∂u = 0，可知 ∂ ∂u (ζ − f1(xxx,u)) 6= 0 ∀(u, e¯ee) ∈ R2n+2 (4) 其中 e¯ee = [ xxxT yyyT d ζ ]T ∈ R2n+1．根据隐函数定理，对 每一个 e¯ee 存在唯一的解 u¯ 使得 ζ − f1(xxx,u) = 0，当 d1(t) = 0时，(3)式可重写为 e˙ee = (AAA−BBBKKKTc )eee e1 =CCCTeee (5) 而 AAA−BBBKKKTc 的特征多项式是 Hurwitz多项式，因此 lim t→∞ e1(t) = 0．在 u¯处对 f1(xxx,u)进行泰勒展开有 f1(xxx,u) = f1(xxx, u¯)+ ∂ f1(xxx, u¯) ∂u (u− u¯)+dh (6) dh 为高阶项．利用中值定理得 f1(xxx, u¯) = f1(xxx,0)+ ( ∂ f1(xxx,u) ∂u |u=uθ ) u¯ f1(xxx,u) = f1(xxx,0)+ ( ∂ f1(xxx,u) ∂u |u=uθ ) u¯− ∂ f1(xxx, u¯) ∂u u¯+ ∂ f1(xxx, u¯) ∂u u+dh (7) 令 f (xxx) = f1(xxx,0)+ ( ∂ f1(xxx,u) ∂u |u=uθ ) u¯− ∂ f1(xxx, u¯) ∂u u¯， g(xxx) = ∂ f1(xxx, u¯) ∂u ，d = d1 +dh．系统 (1)就转变为 x˙xx = AAAxxx+BBB( f (xxx)+g(xxx)u)+BBBd(t) y =CCCTxxx (8) 如果 f (xxx)和 g(xxx)已知且 d(t) = 0，则可取 u = 1 g(xxx) (− f (xxx)+ζ ) (9) 将式 (9)代入式 (8)中可得 e(n)1 +KKKTc eee = 0，进一步得 lim t→∞ |yd − y| = 0，实现跟踪目标．但是 f (xxx) 和 g(xxx) 未知，d(t) 6= 0，且系统状态不可测，eee 不能用于控 制律中，故式 (9) 不可实现．为此采用基于 GGAP- RBF（generalized growing and pruning RBF）算法 [9] 470 信 息 与 控 制 38卷 的神经网络 fˆ (xxx|wwwf) = wwwTf φφφ(xxx) 和 gˆ(xxx|wwwg) = wwwTg φφφ(xxx) 分别逼近 f (xxx)和 g(xxx)．在此基础上，设计神经网络 自适应控制器，由于系统状态不可测，因此选择 u = 1 gˆ(xˆxx|wwwg) ( − fˆ (xˆxx|wwwf)+ ζˆ −ua−us ) (10) 式中 fˆ (xˆxx|wwwf) = wwwTf φφφ(xˆxx)， gˆ(xˆxx|wwwg) = wwwTg φφφ(xˆxx)， ζˆ = KKKTc eˆee+ y n d，ua 是 H∞ 鲁棒控制器，us 是跟踪误差估 计反馈控制，后面给出．综合 (8)式和 (10)式有 e˙ee = AAAeee−BBBKKKTc eˆee+BBBua +BBBus+ BBB [( fˆ (xˆxx|wwwf)− f (xxx) ) +(gˆ(xˆxx|wwwg)−g(xxx))u ]−BBBd e1 =CCCTeee (11) 为了估计状态向量，设计误差观测器 ˙ˆeee = AAAeˆee−BBBKKKTc eˆee+KKK0(e1− eˆ1) eˆ1 =CCCTeˆee (12) 式中 KKK0为观测器增益矩阵，选择 KKK0使 AAA−KKK0CCCT是 稳定的矩阵．由 e˜ee = eee− eˆee，则根据式 (11)和 (12)得 ˙˜eee = (AAA−KKK0CCCT)e˜ee+BBBua +BBBus+ BBB [( fˆ (xˆxx|wwwf)− f (xxx) ) +(gˆ(xˆxx|wwwg)−g(xxx))u ]−BBBd e˜1 =CCCTe˜ee (13) 定义参数 wwwf 和 wwwg 的最优参数为 www∗f 和 www∗g： www∗f = arg minwwwf∈Ω1 { sup xxx∈U1, xˆxx∈U2 | f (xxx)− fˆ (xˆxx|wwwf)| } www∗g = arg minwwwg∈Ω2 { sup xxx∈U1, xˆxx∈U2 |g(xxx)− gˆ(xˆxx|wwwg)| } (14) 式中，U1、U2、Ω1、Ω2 为有界闭集． 定义神经网络最小逼近误差 ω1 = ( fˆ (xˆxx|www∗f )− fˆ (xxx|www∗f ) ) + ( fˆ (xxx|www∗f )− f (xxx) ) +[( gˆ(xˆxx|www∗g)− gˆ(xxx|www∗g) ) + ( gˆ(xxx|www∗g)−g(xxx) )] u (15) 则 (13)式可重写为 ˙˜eee = (AAA−KKK0CCCT)e˜ee+BBBua +BBBus +BBB[ ( fˆ (xˆxx|wwwf)− fˆ (xˆxx|www∗f ))+(gˆ(xˆxx|wwwg)− gˆ(xˆxx|www∗g))u ] + BBBω e˜1 =CCCTe˜ee (16) 其中 ω =ω1−d为复合干扰，由神经网络逼近误差、 近似误差和外部干扰组成，它将使系统的性能变差， 甚至导致非线性控制系统不稳定，本文所需考虑的 问题之一就是怎样抑制 ω 对系统性能的影响，使闭 环系统具有较强的鲁棒性． 把 fˆ (xˆxx|wwwf) = wwwTf φφφ(xˆxx)，gˆ(xˆxx|wwwg) = wwwTg φφφ(xˆxx) 代入 (16)式得 ˙˜eee = (AAA−KKK0CCCT)e˜ee+ BBB ( w˜wwTf φφφ(xˆxx)+ w˜wwTg φφφ(xˆxx)u+ua +us +ω ) e˜1 =CCCTe˜ee (17) 其中 w˜wwf = www∗f −wwwf，w˜wwg = www∗g−wwwg． 图 1给出了这种基于状态观测器的自适应输出 反馈神经网络控制器的总体框图． 图 1 自适应输出反馈神经网络控制总体框图 Fig.1 Overall scheme of the adaptive output-feedback neural-network control 4 系统稳定性及鲁棒性分析（Stability and robustness analysis of system） 假设 3：设 PPP1 和 PPP2 是满足以下矩阵方程的正 定解 (AAA−BBBKKKTc )TPPP1 +PPP1(AAA−BBBKKKTc ) =−QQQ1 (18) (AAA−KKK0CCCT)TPPP2 +PPP2(AAA−KKK0CCCT)− PPP2BBB( 2 r − 1 ρ2 )BBBTPPP2 =−QQQ2 PPP2BBB =CCC (19) 式中，QQQ1和 QQQ2是预先给定的半正定矩阵，r6 2ρ2． 根据 (19) 式，有 e˜eeTPPP2BBB = CCCTe˜ee = e˜1，而 e˜1 = yd− y− eˆ1 是可以利用的，所以设计 ua、us 和参数向 量 wwwf、wwwg 的自适应律如下 ua =−1r BBB TPPP2e˜ee =−1r e˜1 (20) us =−KKKT0 PPP1eˆee (21) 4期 胡 慧等：基于观测器的一类非仿射非线性系统的自适应神经网络 H∞ 跟踪控制 471 w˙wwf = γ1e˜eeTPPP2BBBφφφ(xˆxx) ||wwwf||< ||wwwf(0)||或||wwwf||= ||wwwf(0)||且 e˜ee TPPP2BBBwwwTf φφφ(xˆxx)6 0 γ1(III−wwwfwwwTf /||wwwf||2)e˜eeTPPP2BBBφφφ(xˆxx) ||wwwf||= ||wwwf(0)||且 e˜eeTPPP2BBBwwwTf φφφ(xˆxx)> 0 (22) w˙wwg = γ2e˜eeTPPP2BBBφφφ(xˆxx)u ||wwwg||< ||wwwg(0)||或||wwwg||= ||wwwg(0)||且 e˜ee TPPP2BBBwwwTg φφφ(xˆxx)u6 0 γ2(III−wwwgwwwTg/||wwwg||2)e˜eeTPPP2BBBφφφ(xˆxx)u ||wwwg||= ||wwwg(0)||且 e˜eeTPPP2BBBwwwTg φφφ(xˆxx)u > 0 (23) 式中，γ1 > 0，γ2 > 0． 由文 [4]知，权值 wwwf,wwwg 是有界的，神经网络的 输出也是有界的，即自适应神经网络是收敛的． 定理 1 考虑满足假设条件 1∼3 的非线性系 统 (17)，取鲁棒控制律 (10) 式，ua 和 us 分别取 (20)、(21) 式，参数向量的更新律取为 (22)、(23) 式，且 ∞w 0 ω2(t)dt < ∞，则闭环系统具有以下性能 1) xˆxx,xxx,eee, eˆee,u ∈ L∞，lim t→∞ eee(t) = 0，lim t→∞ e˜ee(t) = 0； 2) 对于预先给定的抑制水平 ρ，取得 H∞ 跟踪 性能 (3)式． 证明：考虑李亚普诺夫函数 V = 1 2 eˆeeTPPP1eˆee+ 1 2 e˜eeTPPP2e˜ee+ 1 2γ1 w˜wwTf w˜wwf + 1 2γ2 w˜wwTg w˜wwg (24) 沿 (17)式求 V 对时间的导数，并考虑式 (12)，可得 V˙ = 1 2 ˙ˆeeeTPPP1eˆee+ 1 2 eˆeeTPPP1 ˙ˆeee+ 1 2 ˙˜eeeTPPP2e˜ee+ 1 2 e˜eeTPPP2 ˙˜eee+ 1 γ1 ˙˜wwwTf w˜wwf + 1 γ2 ˙˜wwwTg w˜wwg =− 1 2 eˆeeT [ (AAA−BBBKKKTc )TPPP1 +PPP1(AAA−BBBKKKTc ) ] eˆee+ e˜eeTPPP2 ·BBBus + 12 e˜ee T ((AAA−KKK0CCCT)TPPP2 +PPP2(AAA−KKK0CCCT)) e˜ee+ e˜eeTPPP2BBBua+ e˜eeTPPP2BBBω + e˜eeTPPP2BBBw˜wwTf φφφ(xˆxx)+ e˜eeTPPP2BBBw˜wwTg φφφ(xˆxx)+ eˆee TPPP1KKK0CCC Te˜ee− 1 γ1 w˜wwTf w˙wwf− 1 γ2 w˜wwTg w˙wwg (25) 根据 us =−KKKT0 PPP1eˆee和 PPP2BBB =CCC，得 e˜eeTPPP2BBBus =−e˜eeTPPP2BBBKKKT0 PPP1eˆee =−e˜eeTCCCKKKT0 PPP1eˆee =−eˆeeTPPP1KKK0CCCTe˜ee (26) 把 (18)、(19)、(22)、(23)式代入 (25)式 V˙ 61 2 eˆeeT [ (AAA−BBBKKKTc )TPPP1 +PPP1(AAA−BBBKKKTc ) ] eˆee+ 1 2 e˜eeT ( (AAA−KKK0CCCT)TPPP2 +PPP2(AAA−KKK0CCCT)− 2r PPP2BBBBBB TPPP2 ) e˜ee+ e˜eeTPPP2BBBω =− 1 2 eˆeeTQQQ1eˆee− 1 2 e˜eeTQQQ2e˜ee+ 1 2 ρ2ω2− 1 2 ( 1 ρ BBBTPPP2e˜ee−ρω )T( 1 ρ BBBTPPP2e˜ee−ρω ) 6−1 2 eˆeeTQQQ1eˆee− 1 2 e˜eeTQQQ2e˜ee+ 1 2 ρ2ω2 (27) 记 QQQ = diag[QQQ1 QQQ2]，EEET = [eˆeeT e˜eeT]，则 (27)式 变成 V˙ 6 1 2 EEETQQQEEE + 1 2 ρ2ω2 (28) 由于 ω ∈ L2，可推出 xˆxx,xxx,eee, eˆee,u ∈ L∞，并且有 lim t→∞ eee(t) = 0，lim t→∞ e˜ee(t) = 0． 对 (28)式从 t = 0到 t = T 进行积分得 V (T )−V (0)6−1 2 Tw 0 EEETQQQEEEdt + 1 2 ρ2 Tw 0 ω2dt (29) 记 PPP = diag[PPP1 PPP2]，由于 V (T )> 0，(29)式意味着 Tw 0 EEETQQQEEEdt 6EEET(0)PPPEEE(0)+ 1 γ1 w˜wwTf (0)w˜wwf(0)+ 1 γ2 w˜wwTg (0)w˜wwg(0)+ρ2 Tw 0 ω2dt (30) 因此取得 H∞ 跟踪性能 (3)． 5 仿真研究（Simulation study） 考虑以下非线性系统 [9] x˙1 = x2 x˙2 = x21 +0.15u 3 +0.1(1+ x22)u+ sin(0.1u)+d1(t) y = x1 (31) 其中干扰 d1(t) = 0.5sin(10t)，控制目标是控制系统 状态 x1 在有干扰 d1(t)的情况下跟踪期望轨迹 yd = sin t + cos(0.5t)．给定正定矩阵 QQQ1 = QQQ2 =diag [ 10 10 ]，选择反馈和观测增益矩阵为 KKKc = [144 24 ]T，KKK0 = [60 900]T，ρ = 0.05．初始状态为 x1(0) = x2(0) = 1，xˆ1(0) = xˆ2(0) = 1，学习律取为 γ1 = γ2 = 0.5× 103，采样周期为 0.01 s，采用 MAT- 472 信 息 与 控 制 38卷 LAB进行仿真实验，仿真结果如图 2∼4所示． 由仿真结果图可以看出，系统输出快速地跟踪 了期望输出，跟踪误差几乎为 0．并且状态估计器 可以快速正确地获得估计状态．神经网络的训练无 需离线处理过程，图 3 表明了神经网络在线地增 加和删除节点的过程，并很快地稳定到 15个隐层节 点，仿真结果表明本文的神经网络自适应 H∞ 控制 图 2 系统输出 y与期望输出 yd 的轨迹 Fig.2 Trajectories of system output y and desired output yd 图 3 隐层节点个数图 Fig.3 Node number of hidden layer 图 4 系统状态 x1 及其估计状态 xˆ1 的轨迹（动态过程） Fig.4 Trajectories of system state x1 and estimated state xˆ1 能实现成功的跟踪控制并获得期望的性能．为了说 明本文方法的优越性，针对同一对象采用文 [2] 的 方法进行仿真研究，其中模糊逻辑系统采用基于 GGAP-RBF算法的神经网络来代替，最终神经网络 隐层稳定在 32个节点，系统输出仿真结果如图 5所 示，比较图 2与图 5可知，本文方法具有更强的跟 踪能力． 图 5 系统输出 y与期望输出 yd 的轨迹（文 [2]） Fig.5 Trajectories of system output y and desired output yd 6 结论（Conclusion） 针对一类带有外部干扰、状态不可测的非仿射 非线性系统，提出了基于观测器的自适应神经网络 H∞ 跟踪控制结构．其中基于观测器的控制律的设计 无需对象的精确知识，并且采用 GGAP-RBF算法在 线确定神经网络的初始结构和参数，无需离线训练 过程．总体的控制方案保证了信号的有界性，系统 输出渐近跟踪了期望轨迹，达到了预期的 H∞ 跟踪 性能．最后的仿真结果表明，本文方法具有更加简 洁的网络结构及更强的跟踪能力． 参考文献（References） [1] Isidori A, Kang W. 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