基于MATLAB求解R_ssler方程和模拟仿真

　　收稿日期 :2008211224 基金项目 :吉林省高等教育教学研究重点课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (2007 - 2009) 基于 MA TL AB 求解 RÊssler 方程和模拟仿真 陈永胜 (吉林师范大学数学学院 ,吉林 四平 136000) 摘 　要 :给出用 MA TLAB 求解 RÊssler 方程的一种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,用立体图形动态显示出吸引子 ,应用 MA TLAB 仿真工具进行混沌模拟 ,并对仿真结果作了说明和讨论. 关键词 :RÊssler 方程 ;吸引子 ;MA TLAB ;混沌 ;仿真 [中图分类法 ]O175 　　　　[文献标识码 ]A 　　　　[文章编号 ]1003 - 6180 (2009) 01 - 0009 - 02 　　RÊssler 方程是由 RÊssler 在 1976 年建立的 一个三维系统 ,一个常微分方程 (ODE) 系统用解 析法精确求解是不可能的 ,只能用计算机数值计 算 ,主要有欧拉法、亚当法和龙格2库塔法等. 但用 这些方法都需要编写一段很长的程序 ,若步长取 得不恰当 ,带来的误差也很大. 利用数学工具 MA TL AB 求解微分方程却是一种较为方便的方 法 ,不仅求解速度快 ,且具有通用性. 1 　RÊssler 方程求解 RÊssler 方程如下 : d x d t = - y - z , d y d t = x + 0 . 2 y , d z d t = 0 . 2 - 5 . 7 + x z . (1) 这是一个自治的方程组 ,求解过程 : (1)建立自定义函数. 用 edit 命令建立自定 义函数名为 Rossler . m ,内容为 f unction dx = Ro ssler (t ,x) dx = [ - x (2) - x (3) ; x (1) + 0. 2 3 x (2) ; 0. 2 + (x (1) - 5. 7) 3 x (3) ] ; (2)用 ode45 命令求解. 用 edit 命令建立一个 命令文件 Rossler1. m ,内容为 clf x0 = [0 ;0 ;0 ] ; [ t ,y ] = ode45 (′Rossler′,[ 0 ,100 ] ,x0) ; subplot (2 ,2 ,1) plot (t ,y ( ∶,1) ) %显示 y (1) 即 x 与时间的 关系图 subplot (2 ,2 ,2) plot (t ,y ( ∶,2) ) %显示 y (2) 即 y 与时间的 关系图 subplot (2 ,2 ,3) plot (t ,y ( ∶,3) ) %显示 y (3) 即 z 与时间的 关系图 subplot (2 ,2 ,4) plot (t ,y) %显示三分量的关系图 ,即吸引子 figure ; plot3 (y ( ∶,1) ,y ( ∶,2) ,y ( ∶,3) ) (3 ) 求解结果. 在 MA TL AB 窗口中执行 Rossler1. m 文件 ,结果见图 1 ,图 2. 图 1 　　　　　　　　　图 2 (4)动态显示吸引子的绘制过程. 用 edit 命 令建立一个命令文件 Ro ssler2. m ,内容为 [ t ,y ] = ode45 (′Rossler′,[0 ,100 ] ,[ 0 ,0 ,0 ]) ; clf axis ( [ - 30 ,30 , - 30 ,30 , - 20 ,20 ]) %设定 合适的坐标范围 view ( [30 ,60 ]) ; %设定较好的观察角度 hold on %保持坐标轴不变 comet3 (y ( ∶,1) ,y ( ∶,2) ,y ( ∶,3) ) ; %显 示吸引子绘制过程 (5)生成动画. 用 edit 命令建立一个命令文 件为 Rossler3. m ,内容为 [ t ,y ] = ode45 (′Rossler′,[0 ,100 ] ,[ 0 ,0 ,0 ]) ; m = moviein (100) ; ax = [ - 30 ,30 , - 30 ,30 , - 20 ,20 ] ; axis (ax) ; shading flat ; h = plot3 (y ( ∶,1) ,y ( ∶,2) ,y ( ∶,3) ) ; for j = 1 ∶100 rotate (h ,[0 0 1 ] ,2) ; ·9· 2009 年第 1 期 牡丹江师范学院学报 (自然科学版) No. 1 ,2009 (总第 66 期) Journal of Mudanjiang Normal University Total No 66 axis (ax) ; shading flat ; m ( ∶,j) = getf rame ; end movie (m ,5) (6) 验证“蝴蝶效应”. RÊssler 方程的解对初 始值有高度敏感性 ,为验证这一点 ,对 y 的初始值 稍作修改 ,即由 0 改为 0. 01 和 0. 009 ,然后求解 Z 的数值解.由图 3 可知 ,Z的数值解差别越来越大. 图 3 　y(3)的解对初始值高度敏感 用 edit 命令建立一个命令文件 Rossler4. m , 内容为 clf [ t ,u ] = ode45 (′Rossler′,[ 0 ,100 ] ,[0 ,0 ,0 ]) ; subplot (1 ,3 ,1) plot (t ,u ( ∶,3) ,′Color′,′r′) [ t ,v ] = ode45 (′Ro ssler′,[ 0 ,100 ] ,[0 ,0. 01 ,0 ]) ; subplot (1 ,3 ,2) plot (t ,v ( ∶,3) ,′Color′,′b′) subplot (1 ,3 ,3) [ t ,w ] = ode45 (′Rossler′,[0 ,100 ] ,[0 ,009 ,0 ]) ; plot (t ,w ( ∶,3) ,′Color′,′k′) 2 　RÊssler 方程的混沌模拟仿真 一阶自治的微分方程要出现混沌必须具备两个 条件 : ①方程右侧至少有一个非线性项 ; ②至少要有 三个变量. RÊssler 方程具备以上两个条件 ,会出现混 沌现象.用下面的步骤搭建系统的仿真模型 : (1) 打开模型编辑窗口 ,可以单击 Sumilink 工具栏中的新模型的图标或选择 FileNewModel 菜单项实现. (2)复制相关模块 ,将相关的模块组中的模块 拖动到模型编辑窗口中 ,如将 Mat h 组中的加法 器拖到此窗口中. 　　(3)修改模块 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 . 有的模块参数和要求不一 致 ,如双击加法器模块 Sum 和 Sum2 ,分别将其中 List of Signs 栏目描述加法器各路输入的符号 , 用 | - - 和| + + - 取代原来的| + + . 如果输入 信号路数过多 ,则不适用圆形的加法器 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 ,可以 选择 Icon shape 列表框中的 Rectangular 就可以 得到方形的加法器模块. (4)模块连接. 用鼠标单击某模块的输出端 , 拖动鼠标到另一模块的输入端处再释放 ,就可以 将这两个模块连接起来. (5)系统仿真. 建立模型后就可以直接对系统 进行仿真 ,单击仿真按钮或者选择 Simulink ϖStart 菜单项 ,就可以启动仿真过程显示仿真结果. 图 4 　RÊssler 方程的模块连接框图 应用 MA TL AB 建模 , 得到图 4 的模型 , 其 中 Sum (Sum、Sum1 和 Sum2) 是求和模块 , 用于 实现求和. Integrator 是 ( Integrator、Integrator1 和 Integrator2) 是积分模块 ,用于实现求积分. Product 是求积模块 ,实现输入变量的乘积. Gain 是增益模块 ,实现输入变量的增益 ,Const 是常数 模块 ,用于获得一个常数. XY 为显示模块 ,可显 示 XY平面的轨迹. 图 5 为在 X (0) = Y(0) = Z (0) = 0、仿真时间 500 s 的初始条件下 ,得到的在 XY平面的混沌轨迹. 图 5 　RÊssler 方程在 XY平面的混沌轨迹 参考文献 [ 1 ] 姜启源. 数学模型[ M ] . 3 版. 北京 :高等教育出版社 ,2003. [ 2 ] 周钰谦 ,张健. 推广的 B - BBM 方程的显示孤立波解[J ] . 四川师范大学学报 :自然科学版 , 2004 (1) :35238. [ 3 ] 曹瑞 ,张健. 一类非线性方程的显示精确解[J ] . 四川师范大学学报 :自然科学版 , 2007 (2) :1312133. [ 4 ] 薛定宇 ,陈阳泉. 基于 MA TL AB/ Simulink 的系统仿真技术与应用[ M ] . 北京 :清华大学出版社 ,2002. [ 5 ] 许波 ,刘征. MA TLAB 工程数学应用[ M ] . 北京 :清华大学出版社 ,2000. [ 6 ] 李建芬 ,李农 ,张祥娥. 利用 SPICE 模拟混沌系统[J ] . 电路与系统学报 ,1997 ,2 (1) :68271. [ 7 ] 周钰谦 ,刘倩 ,张健. 一类非线形波动方程的复线形孤子解[J ] . 四川师范大学学报 :自然科学版 ,2005 (1) :73275. [ 8 ] 施阳. MA TLAB 语言精要及动态仿真工具 SIMUL IN K[ M ] . 西安 :西北工业大学出版社 ,1997. [ 9 ] 陈怀琛. MA TL AB 及其在理工课程中的应用指南[ M] . 西安 :西安电子科技大学出版社 ,2000. [ 10 ] 杜先云 ,刘希强. Zakharov 方程的一些精确解[J ] . 四川师范大学学报 :自然科学版 ,2006 (4) :4292433. 编辑 :李志敏 ·01· 2009 年第 1 期 牡丹江师范学院学报 (自然科学版) No. 1 ,2009 (总第 66 期) Journal of Mudanjiang Normal University Total No 66