混沌系统的仿真实现

第 21卷 第 3期 Vol121 No13 钦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报JO URNAL O F Q INZHO U TEACHERS COLL EGE 2006年 6月 　June1, 2006　 　　[收稿日期 ] 2006 - 03 - 28 　　[作者简介 ] 陆安山 (1970 - ) ,男 ,广西钦州人 ,钦州学院物理与电子工程系讲师. 混沌系统的仿真实现 陆 安 山 (钦州学院 物理与电子工程系 ,广西 钦州 535000) 　　[摘 　要 ]　利用 MATLAB软件 ,以程序的形式对 Lorenz、Duffing和 Rossler三种经典混沌系统相图、x - t曲 线进行仿真 ,并对其进行分析 ,阐述混沌系统的特点. 　　[关键词 ]　混沌 ;吸引子 ;MATLAB;仿真 　　[中图分类号 ] O41515　　[文献标识码 ] A　　[文章编号 ] 1008 5629 (2006) 03 0084 04 　　混沌揭示了普遍存在的有序与无序的统一 , 确定性与随机性的统一 ,极大地改变人们对客观 世界的认识 ,因此被誉为继相对论与量子力学之 后的第三次物理学大革命. 混沌研究 ,特别是混沌 控制与同步方面研究已取得了巨大的进展 [ 1～2 ]. 利用优秀的工程软件 MATLAB进行混沌系统的 仿真已有报导 [ 3～4 ] ,但都是利用 MATLAB语言的 SIMUL INK模块实现 ,该模块只能对混沌系统进 行动态仿真混沌系统的吸引子 ,该种图是用 Sink 库信宿中的 XY Graph显示 x - y图形 ,其无法对 所得图形进行分析处理 ,更无法实现三维图形的 绘制及其分析处理. 本文利用 MATLAB通过编程 方式仿真实现混沌系统的吸引子相图及其 x - t 曲线 ,并对其进行分析讨论 ,为研究混沌系统提供 简便的程序方法. 1　MATLAB简介 　　MATLAB (Matrix Laboratory)是 MathWorks公 司开发的 ,目前国际上最流行、应用最广泛的科学 与工程计算机软件 [ 5 ] , MATLAB软件以矩阵运算 为基础 ,把计算、可视化、程序设计有机地融合到 一个简单易学的交互式工作环境中 ,其有出色的 数值计算能力和强大的图形处理功能 ;拥有功能 全面的函数库 ,它把大量的函数封装起来 ,用户只 需建立好模型即可. MATLAB系统由 MATLAB内 核和其辅助工具箱组成 ,MATLAB内核是由大量 的内部函数及用户自定义函数构成. 通过对这些 函数的调用 ,可以简便地处理具体的工程技术问 题. 利用 MATLAB可以实现科学计算、符号运算、 算法研究、数学建模和工程仿真、数据分析和可视 化、科学工程绘图以及图形用户界面设计等强大 功能. 具有动态仿真和程序方式 ,该软件对研究混 沌系统控制与同步有重要意义. 2　几种混沌系统仿真实现 2. 1　Lo renz系统 　　Lorenz系统的原型是空气在两温度不同的平 行板之间进行对流和热传导形成的小气候系统 , 该系统可用一组偏微分方程描述. 要进一步求解 该系统方程的解 ,通常将解写成傅里叶级数形式 , 1963年 Lorenz截取傅里叶级数的前三项 ,得到 Lorenz系统方程组 (详细推导见 [ 6 ] ) : 　　 x . =σ ( x - y) y. = - xz + rx - y z . = xy - bz 　　　　 (1) 其中σ = 10, b = 8 /3, r取不同的值. 为设计程序便利令 y1 = x, y2 = y, y3 = z,则 Lorenz 系统 MATLAB仿真实现程序清单如下 : 　　function lorenz( ) 　　tspan = [ 0, 100 ]; 　　y0 = [ 0100; 0100; 01001 ]; 　　[ t, y ] = ode45 ( @ lorenz, tspan, y0) ; 第 3期 陆安山 :混沌系统的仿真实现 　　y1 = y(: , 1) ; 　　y2 = y(: , 2) ; 　　y3 = y(: , 1) ; 　　figure (1) 　　p lot( t, y1, ’k’) 　　figure (2) 　　p lot( y2, y3, ’k’) 　　function yp rime = lorenz( t, y) 　　yp rime = [ - 8 /3, 0, y (2) ; 0, - 10, 10; - y (2) , 2410747, - 1 ] 3 y; 　　当 r = 15时 , Lorenz的 x - t曲线见图 1,相图 见图 2,则该动力学系统经较短的时间波动后最 终归结在一个不动点上 ;当 r = 2410747时 , Lorenz 的 x - t曲线见图 3,相图见图 4,则该系统很快就 归结在一个极限环上 ,此时系统处于周期运动状 态 ,仍没有处于混沌状态 ; 当 r = 2410748 时 , Lorenz的 x - t曲线见图 5 ( a) ,相图见图 5 ( b) ,此 时系统已处于混沌状态 ;图 6 ( a)、( b )分别为 x1 (0) = x2 ( 0 ) = x3 ( 0 ) = 1100、x1 ( 0 ) = x2 ( 0 ) = x3 (0) = 1101时 ,仿真时间为 25秒的初始条件下 的 xy平面的混沌吸引子相图 ;从 x - t曲线和相 图可看出系统是否处于混沌状态与参数有关 ,轨 迹与初值有很大的关系. 该相图表明 Lorenz系统 具有独特性质和结构称该相图为混沌系统吸引 子 ,亦称奇怪吸引子 ;混沌是服从确定性规律但具 有随机性的运动 [ 7 ] ,其奇怪吸引子表现出整体稳 定性和局部发散性. 图 1　x - t曲线 ( r = 15 ) 图 2　Lorenz相图 ( r = 15 ) 图 3　x - t曲线 ( r = 241074 ) 图 4　Lonrenz相同 ( r = 241074 ) 图 5 ( a) 　x - t曲线 ( r = 2410748 ) 图 5 ( b) 　Lorenz相图 ( r = 2410748 ) 图 6 ( a) 58 钦州师范高等专科学校学报 第 21卷 图 6 ( b) 2. 2　D uffing系统 　　周期外力作用下的 Duffing方程 : x¨ + a x. + μx3 = FcosΩ t,令 x. = y, z = cosΩ t, u = sinΩ t,则 Duf2 fing方程变为 : 　　x. = y 　　y. = - ay -μx3 + Fz (2) 　　z. = -Ω2 u 　　u. = z 取 a = 011,Ω = 1,μ= 1, x (0) = y (0) = 1100, F取不同值时 ,系统处于不同状态. 设 y1 = x, y2 = y则 , Duffing方程的 MATLAB仿真实现程序 清单如下 : 　　function duffing( ) 　　tspan = [ 0, 200 ]; 　　y0 = [ 1100; 1100 ]; 　　[ t, y ] = ode45 ( @ duffing, tspan, y0) ; 　　y1 = y(: , 1) ; 　　y2 = y(: , 2) ; 　　figure (1) 　　p lot( y1, t, ’k’) 　　figure (2) 　　p lot( y1, y2, ’k’) 　　function yp rime = duffing ( t, y) 　　yp rime = [ y(2) ; - 0113 y(2) - y (1) 3^ + 113 cos( t) ] 　　当 F = 0151时 , x - t曲线见图 7,相图见图 8, 系统处于周期运动状态 ;当 F = 11时 ,系统 x - t 曲线见图 9,相图见图 10,此时该系统处于混沌运 动状态. 图 7 x - t曲线 ( F = 0151 ) 图 8相图 ( F = 0151 ) 图 9 x -曲线 ( F = 11 ) 图 10 Duffing系统相图 2. 3　Ro ss le r系统 　　Rossler系统方程 　　 x . = - ( y + z) y. = x + ay z . = - b + ( x - c) z 　　　　 (3) 当 a =012, b =012, c = 517时 ,系统处于混沌状态 [8 ] , 则 Rossler方程的 MATLAB仿真实现程序清单如下 : 　　function rossler( ) 　　tspan = [ 0, 200 ]; 　　y0 = [ 1100; 1100; 1100 ]; 　　[ t, y ] = ode45 ( @ rossler, tspan, y0) ; 　　y1 = y(: , 1) ; 　　y2 = y(: , 2) ; 　　y3 = y(: , 3) ; 　　axis( [ - 10 10 8 - 10 8 0 25 ] ) ; 　　view (3) 　　figure (1) 　　p lot( t, y1, ’k’) ; 　　hold on 68 第 3期 陆安山 :混沌系统的仿真实现 　　figure (2) 　　p lot3 ( y1, y2, y3, ’k’) 　　hold on 　　title ( ’Rossler A ttractor’) 　　function yp rime = rossler ( t, y) 　　yp rime = [ - y (2) - y (3) ; y (1) + 0123 y (2) ; 012 + y(1) 3 y(3) - 5173 y(3) ]; 系统处于混沌时的 x - t曲线见图 11,相图见图 12. 图 11Rossler系统 x - t曲线 图 12Rossler相图 3　讨　论 3. 1　从混沌 x - t图与其相图看 ,混沌吸引子相 图有许多特点 : 　　 (1) 混沌运动本身有确定的动力学方程 (式 (1)、(2)和 (3) ) ,该动力学方程是否处于混沌状态 还取决于方程的初值、参数的值 (图 4与图 5 ( b) ) , 即具有初值敏感性 ,该特性被称为“蝴蝶效应”. 　　 (2) 混沌运动的相图通常称为混沌吸引子 , 该吸引子表现出 ,混沌运动从整体看 ,吸引子之外 的所有轨线最终将归缩到吸引子范围之内 (图 5 ( b)、图 10和图 12) ;而吸引子本身却由既折叠又 分离、混杂的轨线构成、无法确定其未来的轨.也就 是混沌运动是一种整体收敛而局部发散的运动. 　　 (3) 混沌的控制与同步成本低、效能高 (将 另文论述 ) ,工程上有广泛的应用价值 ,目前受到 科学工作者的广大关注. 3. 2　从各经典混沌系统仿真实现程序可看出 : 　　MATLAB是一种优秀的工程软件 ,对微分方 程解法提供数值解 ,简便直观 ,对混沌系统仿真 不仅提供动态仿真模块 ,同时提供程序方式 ;本 文以程序方式对混沌系统进行仿真 ,程序短小 精悍 ,所得的图形可以导出到其他软件进行处 理、分析 ,能较好地弥补动态仿真模块无法对图 形都进行处理分析不足 ,对研究混沌运动有较 好的参考价值 . [参 考 文 献 ] [ 1 ] 方锦清 1非线性系统中混沌的控制与同步及其应用前景 (一 ) [ J ]1物理学进展 , 19961 [ 2 ] 方锦清 1非线性系统中混沌的控制与同步及其应用前景 (二 ) [ J ]1物理学进展 , 19961 [ 3 ] 叶美盈 1一种非线性动力学系统数值模拟的新方法 [ J ]1云 南师范大学学报 , 2000, 31 [ 4 ] 苏大生等 1利用 MATLAB模拟混沌系统 [ J ]. 泉州师范学院 学报 , 20031111 [ 5 ] 郑阿奇等 1 MATLAB实用教程 [M ] 1北京 :电子工业出版 社 , 2004, 51 [ 6 ] H ilborn R C1Chaos and NonlinearDynam ics1Oxford: oxford Univ Press, 19941 [ 7 ] 刘秉正 1非线性动力学与混沌基础 [M ]1长春 :东北师范大 学出版社 , 19841 [ 8 ] 刘秉正 1非线性动力学 [M ]1北京 :高等教育出版社 , 20041 On the S im ula tion Rea lity of Chaos System LU An2shan ( Physics and E lectric2inform ation Engineering D epartm en t of Q inzhou College, Q inzhou 535000, Ch ina ) 　　Abstract: How to use the MATLAB software, p icture the three classic system s such as Lorenz, Duffing and Rossler by the form s of p rogramm ing and simulate the x2t curves and to analyze and define the characteristics of the chaos system. 　　Key words: chaos system; attractor; MATLAB; simulation [责任编辑 　黄 　梅 ] 78