nullnullCh4 二次型 null定义4.1 (一)§4.1 基本概念含有n个变量的二次齐次多项式其中称为一个n 元二次型,简称为二次型.二次型及其矩阵null令其中A为对称矩阵.对称矩阵A称为二次型 的矩阵如它的矩阵为矩阵A的秩称为二次型 的秩.null如对应的矩阵为是对称矩阵.null的矩阵为二次型对称矩阵的矩阵为null反之，设A是任一对称矩阵nullnull故二次型可以用矩阵的形式表示：对称矩阵A二次型对称矩阵A二次型 为二次型 为矩阵A对应的二次型 的矩阵null例如对称矩阵==null又如又如:A为对称矩阵,A对应的二次型为:null例二次型对应的矩阵为对二次型存在许多矩阵B,C,F,…使得但只存在一个对称矩阵A,使得null（二）线性替换矩阵的合同null定义4.2 称为由变量线性替换(4.3)称为线性替换(4.3)(4.3)和 具有如下关系的线性替换.到可以用矩阵形式表示的矩阵.设两组变量null(4.3)称为此时C-1存在当C是正交矩阵时, 称为线性替换 X=CY 的称线性变换 X=CY为正交替换.或可逆线性替换.(4.3)非退化的线性替换.逆替换.null给定二次型设该二次型化为:证则对称，经过线性替换null定理4.1二次型(其中A对称)经过可逆线性替换得到以B为对称矩阵的二次型则且证线性替换可逆，即矩阵C可逆，经过k次列变换再经过k次行变换其中为初等矩阵.null 定义4.3 定理 如果存在n 阶 使得 则称矩阵A与B合同,原二次型的矩阵合同。A与B合同,A与B相似记为存在可逆矩阵C,
存在可逆矩阵P,
如果C是正交矩阵,此时则B与A既相似又合同.可逆矩阵C, 设A,B是两个n 阶矩阵,经过非退化线性替换,与新二次型的矩阵则若 B=CTAC使得使得 CTAC=B,null它具有如下性质:（1）反身性：（2）对称性：（3）传递性：“合同”是矩阵之间的一种关系,则则对任意方阵A，若若有null作业 P177 4 6
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