2010年第 01期 吉林省教育学院学报 No101, 2010
第 26卷 JOURNAL OF EDUCAT IONAL INST ITUTE OF J IL IN PROV INCE Vo l126
(总 229期 ) T ota lN o1229
收稿日期: 2009) 09) 10
作者简介:王美娜 ( 1983) ),女,贵州安龙人。贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系,云南师范大学硕士研究生。
巴拿赫 ( Banach)不动点定理的应用
王美娜
(黔西南民族师范高等专科学校 数学系, 贵州 兴义 562400)
摘要: Banach空间中的不动点定理是泛函分析中的一个重要定理, 运用该定理证明第二类 Fredholm积分方程解的存在唯
一性定理、代数方程的解的存在唯一性定理和闭区间套定理, 以体现 Banach不动点定理应用的广泛性。
关键词: Banach空间;不动点定理;第二类 Fredholm积分方程 ;代数方程 ;闭区间套定理
中图分类号: O153. 5 文献标识码: A 文章编号: 1671) 1580( 2010) 01) 0153) 02
一、Banach不动点定理
1. Banach空间
称完备的赋范线性空间为 Banach空间。
2. 压缩映射
设 (X, Q)是度量空间, T是 X到 X的映射,如果
存在数 A I [ 0, 1) 使得: Q(Tx, Ty) [ AQ( x, y),
( P x, y I X), 则称 T是 X上的一个压缩映射。
3. Banach不动点定理
设 (X, Q)是完备的度量空间, T是X上的压缩映
射,则 T必有唯一的不动点。
二、第二类 Fredholm积分方程解的存在唯一性
定理
对于某个积分方程, 研究其解的存在唯一性十
分重要,由于能精确求解的积分方程为数不多,所以
积分方程的近似解具有十分重要的实际意义, 而解
的存在唯一性是进行计算的基础。
定理:给定第二类 Fredholm积分方程:
U( t ) = f ( t) + LQ
b
a
K ( t, S) U(S) dS ( 1)⋯⋯⋯
其中 f( t )是 [ a, b]上的连续函数, K ( t, S)是 a
[ t [ b, a [ S [ b上的已知连续函数。
证明当 | L |足够小时 (L是常数 ) (1)式在 [ a,
b]中存在唯一的连续解。
下面把 Banach不动点定理作为积分方程解的
存在唯一性的一个源象给出定理的证明。
证明:积分方程可在不同的空间讨论, 本文在
C [ a, b]空间上讨论方程 ( 1), 并定义度量 Q( U, W)
= max
tI [ a, b]
| U( t) - W( t ) |。
首先, 说明 C [ a, b] 空间完备, 令 {Um ( t) }是
C [ a, b]中任意 Cauchy列,则对任意的 E > 0, v N,
使得当 m, n > N 时有: Q(Um ( t), Un ( t) ) = max
tI [ a, b]
| Um ( t) - Un ( t) | < E,故对任意 t = t0 I [ a, b]时
有: | Um ( t0 ) - Un ( t0 ) | < E其中 m, n > N , 这时
( <1 ( t ), <2 ( t) , )是一个实数 Cauchy列,则因为 R
是完备的, 所以这个 Cauchy列必收敛, 有 N ),这
就证明了 {Um ( t ) }在 [ a, b]上一致收敛于 U( t ), 所
以 C[ a, b]是 Banach空间。
其次,假设 f ( t) I C[ a, b]且K( t, S)在 [ a, b] @
[ a, b]上连续,则 K( t, S)为区域 [ a, b] @[ a, b] 上
的有界函数,则有 | K ( t, S) | [ k, 显然可以作映射
T: Uy TU
成立: T (U) ( t ) = f ( t) + LQ
b
a
K ( t, S) U(S) dS,
其中K( t, S)与 f ( t)在 C [ a, b]上连续且 | K ( t,
S) | [ k有:
| T ( U) ( t) - T (W) ( t ) |
= | LQ
b
a
K( t, S)U( S)d S - LQ
b
a
K ( t, S)W( S)d S |
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= | L | | Q
b
a
K( t, S) [ U(S) - W( S) ]d S |
[ | L | Q
b
a
K( t, S) | | U( S) - W( S) | dS
[ | L | k Q
b
a
| U( S) - W( S) | dS
[ | L | k( b - a ) max
a[ S[ b]
| U(S) - W( S) |
= | L | k( b - a )Q( U, W)
当 | L |足够小时,可以使 | L | k( b- a ) [ 1,故
T为压缩映射,而已证明 C [ a, b]为 Banach空间。从
而 T在 C[ a, b] 上存在唯一的不动点 U( t ), 即积分
方程存在唯一解。
所以定理得证。
三、代数方程解的存在唯一性定理
定理:设 A = ( aij )n@n为 n阶方阵, 其中 a ij ( i =
1, 2, 3, , , n; j = 1, 2, 3, , , n )为一组实数,
X = ( x1, x2, , , xn ) c, B = ( b1, b2, , , bn ) c,满足
条件: E
n
i, j= 1
( a ij - Nij )
2 < 1,其中 Nij = 1, i = j
0, i X j
,则有代
数方程组: AX = B;对任意一组固定的 b1, b2, , bn,
必有唯一一组解 x1, x2, , , xn成立。
证明: 任意取向量 G0 = (x10, x20, , , xn0 ) c I
Rn, ,构造线性算子 A:
G1 = G0 - AG0 + B
G2 = G1 - AG1 + B
.
.
.
Gn+ 1 = Gn - AGn + B
有 Gn I Rn,即 A是 Rn到自身的一个线性变化,
且有:
Q(AGn+ 1, AGn ) = | AGn+ 1 - AGn | = | Gn - Gn- 1 -
A(Gn - Gn- 1 ) |
= | (E - A) ( Gn - Gn- 1 ) |
= ( E
n
i, j= 1
( Nij - a ij )
2 ) )
1
2 | ( Gn - Gn- 1 ) |
= E
n
i, j= 1
( a ij - Nij )
2 ) | G1 - Gn- 1 |
又因为, 0 [ E
n
i, j= 1
( aij - Nij )
2 ) < 1,则可知A是 Rn
到自身的压缩映射,由于 Rn是 Banach空间,则存在
唯一的不动点 G* I R* ,有 AG* = G* ,即 G* = G*
- AG* + B,即存在唯一 G* I R n使得代数方程组:
a11 a12 , a 1n
a21 a22 , a 2n
, , , ,
an1 an2 , ann
G* =
b1
b2
,
bn
成立。
所以定理得证。
四、闭区间套定理的证明
定理:如果一列闭区间 {[ an, bn ] }满足条件:
( 1) [ an+ 1, bn+ 1 ] < [ an, bn ] n = 1, 2, 3, ,
( 2) lim
ny ]
( bn - an ) = 0
序列 { [ an, bn ] }形成一个闭区间套, 则存在唯
一的实数 N属于所有的闭区间 [ an, bn ]且 N= lim
ny ]
an
= lim
ny ]
bn。
证明:由定理所述条件知该闭区间序列中任意
两个区间不完全重合,即:
[ a 1, b1 ] = [ a 2, b2 ] = , = [ an, bn ] = , ,当 k
= 1, 2, 3, , 时, 闭区间 [ ak, bk ]显然是完备的度量
空间。作映射 T: Tx = bk+ 1 - ak+ 1bk - ak ( x - ak ) + ak+1, 对
P x I [ ak, bk ]有 Tx [ ak+ 1, bk+ 1 ] < [ ak, bk ],所以 Tx
是 [ ak, bk ] 到自身的一个映射, 对于任意 xc, xd I
[ a k, bk ]成立:
| T cx - T dx | =
bk+ 1 - a k+ 1
bk - a k
| xc - xd |, 又因为
[ a k+ 1, bk+ 1 ] < [ a k, bk ], 所以 0 < bk+1 - ak+ 1bk - ak < 1,
令 A= 13 (
bk+ 1 - ak+ 1
bk - ak
+ 1其中 ( 0 < A< 1),得
到 | T cx - T dx | < A | xc- xd |, 则 Tx为 [ ak, bk ]上一
个压缩映射, 根据 Banach不动点定理, 存在 Nk I
[ a k, bk ]使得TNk = Nk,因为 k为任意正整数,而 [ a 1,
b1 ] = [ a 2, b2 ] = , ,所有必存在一点 N为所有 [ an,
bn ] 其中 n = 1, 2, 3, , 的公共点。
现在假设还有另外一个公共点 Nc, 因为 an [ N,
Nc[ bn, n = 1, 2, 3, , ,由定理条件 lim
ny ]
( bn - an ) = 0
及极限保号性得 | Nc - N| \ 0,从而 Nc = N。
综上所述,闭区间套定理得证。
[参考文献 ]
[ 1] 薛昌兴. 实变函数与泛函分析 [M ]. 北京: 高等教育出版
社, 1993.
[ 2] 张禾瑞、郝炳新. 高等代数 [M ]. 北京: 高等教育出版
社, 2007.
[ 3] 陈纪修、於崇华. 数学分析 [M ]. 北京: 高等教育出版社,
2001.
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