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上传者: yzyz3770 2012-05-09 评分 5 0 336 46 1525 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《什么是数学pdf》,可适用于自然科学领域,主题内容包含tet、:本将是"对整个数学领域中的基、述。"的念及方法的遗彻清A爱因斯坦本书既是为初学者也是为专家既是为学生也是为教师既是为哲学家也是为工圳、二:符等。

tet、:本将是"对整个数学领域中的基、述。"的念及方法的遗彻清A爱因斯坦本书既是为初学者也是为专家既是为学生也是为教师既是为哲学家也是为工圳、二:、f、ds串《什么是数学》是一本数学经典名苦它搜集了许多问光的数学珍品程师而写的。它们给出了数学世界的组有趣的、深入浅出的图画。本书传至今日又自斯图尔特增写了新的章。此第:二版以新的观点阐述了数学的最新进展叙迹了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在柯朗与罗宾写书的年代尚未解决但现在已被解《什么是数学》开启了一扇认识数学世界的窗口。决了的。个光辉的文献故事"毫无疑问这本书将会有深远的影响它应当入手册无论是专业人员抑或iljVJ、纽约时报数学评论是愿意做科学思考的任何人。""本极为完美的著作。"圄应用物理杂志~莫尔斯"这是本非常完美的著作。……被数学家们视作科学的鲜血的一切基本思想和"大妙了……这本书是巨大愉快和满足感的摞泉。""这本书是一部艺术著作。"方法在《什么是数学》这本书中用最简单的例子使之清晰明了已经达到令人惊讶"ιphz习't凶VJaEaH外尔的程度。"ISBN乐萍黄陈责任编辑:美术编辑:>o定价:元=学文化传西方丛书主编丛宇译汪本研究订版R柯朗H罗宾I斯固尔特张馅黯Jλ拿出版社对和方法的〔美〕飞、立左平、、π>Q'ìTI气h号昌修订译图书在版编自(CIP)什么是数学:对思想和方法的基本研究(增订版)〔美JR柯朗H罗宾著斯图尔特修订左平张恰慈译一上海:复旦大学出版社(西方数学文化理念传播译丛)书名原文:WhatisMathematicsISBN什…H柯…罗…斯…左…张…皿数学普及读物N中国版本图书馆CIP数据核字()第号Revisionscopyright(hyOxfordUnîversityPress,Inc本书经牛津大学出版社授权出版中文版什么是数学:对思想和方法的基本研究(增订版)〔美)R柯朗H罗宾蕃斯图尔特修订左平张馀蘸译出版发行很以若出版社上海市国权路号邮编(发行部)δ(邮购)fupnetfudanpresscomhttp:wwwfudanpresscom责任编辑黄乐总编辑高若海出晶人贺圣遂印刷江苏常熟市华顺印刷有限公司开本x印张插页字擞千版次年月第二版第一次印刷j印鼓创页。书号ISBN定价元•如有印装质量问题请向复旦大学出版社发行部调换。版权所有侵权必究译者的话R柯朗(RichardCourant)是当代对数学研究与数学教育都具有深远影响的数学家是西方公认的数学权威他年月日生于鲁布里尼茨(即现在波兰的鲁布里尼克(Lubliniec门年在德国哥廷根大学获得博士学位以后一直在哥廷根大学任教在哥廷根时他与D希尔伯特关系甚密年他离开纳粹国于年到美国纽约大学任教并曾担任数学系主任和数学研究院院长在此期间该研究院成了世界最大的应用数学研究中心年他在纽约去世他对数学分析、函数论、数学物理、变分法等都有精深的研究他不仅学识渊博是当之无愧的大数学家而且一生都从事和关心数学教育他最伟大的贡献也许就是通过他的著作和个人交往使许多青年数学家得到宝贵的启示和巨大的鼓舞R柯朗一生著作极丰其中最著名的是《数学物理方法))(与希尔伯特合著)、《微积分))还有就是《什么是数学》这本书((什么是数学》出版以来受到普遍的热烈欢迎并被译成多种文字一版再版盛况至今不衰成为数学世界名著之一爱因斯坦和世界著名数学家H外尔、M莫尔斯等都对本书给予了高度评价(见本书封底)时至今日本书又由斯图尔特增写了新的一章而成为第二版在新增的一章中斯图尔特结合原书的内容讲述了在柯朗写作年代尚未解决的一些重大数学问题(这些问题有的已经解决了如:费马大定理、四色问题有的取得了很大进展如:哥德巴赫猜想、)以及现代数学的一些新方向、新分支年科学出版社出版过我们关于本书的译本(当时的书名为ii什么是数学《数学是什么)))曾受到读者热烈的欢迎今天我们很乐意再次翻译这本书的第二版相信必能受到新老读者的更大欢迎我们除了要再次感谢对我们版译本帮助良多的诸位朋友外还要感谢汪宇先生和复旦大学出版社使我们能将这第二版的新译本得以出版欢迎广大读者的批评与建议译者年月目。年夏我还是一个年轻的大学生我是通过阅读我父亲所写的《微积分学》那本书来学习微积分的我相信那时是他第一次想到要写一本关于数学方法和概念的初等读物并且认为我有可能在这个方面给以帮助于是在随后的几年里逐渐形成了《什么是数学》这本书我还能清晰地回忆起那紧张的编写时期特别是和年的夏季我协助H罗宾和我的父亲的情景当这本书出版的时候其中若干本中有一个特别的扉页z数学一一一献给洛丽洛丽是我最小的妹妹那时她(岁几年后当我要结婚时我父亲要求我妻子读懂《什么是数学))她未能做得很好不过她仍被接受进入我们的家庭很多年里在纽约新罗彻尔的柯朗寓所的顶楼里放满了各种形状的铁丝框架它们是用来做本书第七章第节所述的肥皂膜实验的这些肥皂膜实验曾是孙儿们无限乐趣的源泉尽管我父亲没有再对他们重复这些实验但他的孙儿中仍有一些人投身于数学及相关领域的研究自原书出版后未再认真准备新版本附有前言的修正版除了订正了一些明显的印刷错误外与原版基本没有什么区别所有随后的印刷都与第三次修订本相同在我父亲生前最后的岁月里他有时曾谈到使本书大规模现代化的可能性但他不再有精力来完成此任务了因此当斯图尔特教授提议作现在这个修订本时我是非常ii什么是数学高兴的他根据数展对若干章节增添了一些评论和扩展我们知道费马大定理和四色问题已经解决了:无穷小和无穷大量这些过去在形式上使人不满意并被当作有缺陷的概念现在已经在"非标准分析"中再次获得肯定(我上大学时曾用了"无穷"这个词我的数学教授当时指出"在我的班上不允许有‘坏'的语言")此修订版的参考文献已经增加至当前我希望《什么是数学》这个新版本将再次在广大的读者中引起兴趣ED柯朗年月于纽约州的柏坡特、第二版序言《什么是数学》这本书是一本数学经典名著它收集了许多闪光的数学珍品它的目标之一是反击这样的思想:"数学不是别的东西而只是从定义和公理推导出来的一组结论而这些定义和命题除了必须不矛盾外可以由数学家根据他们的意志随意创造"简言之这本书想把真实的意义放回数学中去但这是与物质现实非常不同的那种意义数学对象的意义说的是"数学上‘不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"数学对象是什么并不重要重要的是做了什么这样数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间它的意义不存在于形式的抽象中也不存在于具体的实物中对喜欢梳理概念的哲学家这可能是个问题但却是数学的巨大力量所在一一我们称它为所谓的"非现实的现实性"数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界我第一次见到《什么是数学》这本书是在年那时我正打算在剑桥大学谋求一席之地这本书被推荐给未来数学专业的学生阅读甚至到今天任何想以先进的观点来看待大学数学的人浏览这本书同样有益然而你不必像一个崭露头角的数学家一样要从柯朗和罗宾的代表作中得到大量的信息和深刻的洞察你可以完全根据自己在数学方面的兴趣基于你已有的数学背景知识选取一部分内容进行舒心愉快的阅读中学代数初等微积分以及三角函数再加上一点欧氏几何的帮助有了这些方面的知识就足够了人们可能认为一本最后版本几乎是在年前出版的书是过时ii什么是数学的了一一它的术语已经陈旧它的观点已与现代的形式不符了但事实上((什么是数学》这本书写得相当好它所强调的解决问题的方法至今仍有效它所选取的数学材料如此之好以至于没有一个单词或符号必须在新版中删去假如你认为这是因为数学从来没有什么改变那么我请你去关注一下新增的一章"最新发展"它将向你展示数学的改变是多么迅速这本书写得好是因为尽管数学一直在发展但书中选取的、有关历史上的著名发现的专题都是很难抛弃的对定理你不可能不加以证明事实上你可能偶然间发现一个长期被接受的论证是的一一这曾经发生过的但这只表明从一开始证明就是错误的然而新的观点通常会导致旧的论证过时或对旧的事实不再感兴趣《什么是数学》这本书没有过时是因为所选取的材料展示出了元限完美的数学品位正规的数学就像拼写和语法一样是一种对约定规则的正确应用有意义的数学就像用来讲述有趣故事的报纸杂志但不像某些报纸杂志它的故事必须是真实的最好的数学就应该像文学作品一一故事来源于你眼前活生生的生活致使你把精力与感情投于其中就数学来说((什么是数学》这本书是一部才华横溢的作品新增的一章的主要目的是要把柯朗与罗宾所讲的故事延续到今天例如阐述了四色问题和费马大定理的证明这些是在柯朗和罗宾写书时尚未解决的主要问题现在它们已经被证明了我发ι现了个真实的数学上的诡辩(见第九章"最新进展勺我认为相关的这个特别的内容其观点已经变化了柯朗和罗宾的论证包括他们用的假设是正确的但是那些假设不再像他们所傲的那么合理了我并不试图介绍那些近来变得很著名的课题比如:混沌、对称破缺或者许多其他的有趣数学发现以及世纪的数学发现你可以通过很多途径找到那些发现特别从我的书《从这儿通往无限))那第二版序言•iìi•本书可作为《什么是数学》这新版本的姊妹书我的宗旨是仅仅添加一些材料使得原先的东西与时俱进一虽然在些特殊的情况下我努力去傲而在其他场合我却没能这样什么是数学它是独特而唯一的斯图尔特年月于考文垂对第一版修正版的序言近些年来在许多事情的推动下人们对数学知识与训练的需要日益增加现今除非学生和教师设法超越数学的形式主义并努力去把握数学的实质否则产生受挫和幻灭的危险将会更甚这本书就是写给这样的学生和教师的人们对第一版的反应鼓舞了作者使作者敢于期望本书对读者会有所助益许多读者的批评使得本书作了多方面的修正与改进R柯朗第一版序言两千多年来人们一直认为每一个受教育者都必须具备定的数学知识但是今天数学教育的传统地位却陷入了严重的危机之中而且遗憾的是数学工作者要对此负一定的责任数学教学有时竟演变成空洞的解题训练这种训练虽然可以提高形式推导的能力但却不能导致真正的理解与深入的独立思考数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系不过这种状况丝毫不能证明紧缩数学教育的政策是合理的相反那些醒悟到培养思维能力的重要性的人必然会采取完全不同的做法即更加重视和加强数学教学教师、学生和一般受过教育的人都要求数学家有一个建设性的改造而不是昕其自然其目的是要真正理解数学是一个有机的整体是科学思考与行动的基础某些传记性与历史性的名著以及富有启发性的普及读物曾激起了潜在的一般兴趣但是借助轻松愉快的传授所得到的数学知识决不会比通过最出色的新闻杂志对那些从未听过音乐的人进行音乐教育获得的更多实际去接触活生生的数学内容是必不可少的当然应当避免走弯路或陷入技术性的细节介绍数学不必过分注重通常例行的做法也不应采取生硬的教条主义的态度因为教条主义会掩盖动机和目的妨碍人们作实事求是的努力实际上我们可以由最基本的事实出发不必拐弯抹角而直达一个可以综览近代数学的实质和动力的有利位置现在这本书是朝此方向的一个尝试因为所需知识估计在高vi什么是数学中课本中都可以找到所以把它看成一本通俗读物也无妨但是这并不意味着是对那种贪图省劲不愿作任何努力的危险倾向的让步阅读本书要求读者在智力上比较成熟并乐意进行独立思考本书既是为初学者也是为专家既是为学生也是为教师既是为哲学家也是为工程师既是为课堂教学也是为参考阅览而写的这个抱负可能是太大了这本书虽经若干年的准备但在其他工作的压力下却是在其真正完成之前出版故不得不作某些折衷处理欢迎批评和建议无论如何作者希望本书能对美国高等教育有所贡献以表对这个国家给我的机会的谢意此书的计划与观点应由本人负责而任何荣誉与奖赏则必须与H罗宾(HerbertRobbins)共享自从他参加这项工作以后就全力以赴地完成了他的事项并且本书能以现在这种形式完成他的合作是决定性的因素我们要十分感谢许多朋友的帮助与玻尔(NielsBohr川、弗里特里希(KurtFriedrichs)和诺依格包尔(OttoNeugebauer)的讨论影响到本书中哲学和历史的看法EdnaKramer从教师的立场上给出了许多建设性的意见形成本书最初想法的首次讲座纪录是由DavidGilbarg提供的在手稿的写作和无数次的修改中ErnestCourant、NormanDavids、CharlesdePrima、AlfredHorn、HerbertMintzer、WolfgangWasow和其他一些人给予了帮助并在很多细节上作了改善DonaldFlanders提出了许多有价值的建议并对打印稿作了仔细的校订这本书的图是由JohnKnudsen,HerthavonGumppenberg、IrvingRitter和QttoNeugebauer绘制的HWhitney给出了本书附录中的练习洛克菲勒基金教育委员会为课程的建设和论文提供了慷慨的支持这些课程和论文后来成为本书著名的物理学家原子物理学的奠基人一一译注著名数学家哥廷根学派的成员之一一一译注著名数学史家哥廷根学涯的成员之一一'一译注第一版序言•viì•的基础也要感谢Waverly出版社特别是GroverC仇th先生感谢他们极有成效的工作感谢牛津大学出版社特别是PhilipVaudrin先生和w臼nan先生感谢他们令人感动的主动精神和合作R柯朗年月日于新罗彻尔、本书的用法本书虽是按系统的次序写就的但并不要求读者逐页逐章地去读例如历史和哲学的介绍最好推迟到读完本书其余部分之后再看各章之间基本上是独立的每章开头通常是容易理解的然后逐渐加深到每章的末尾及补充就相当难了因此对于那些想作一般了解甚于要求专门知识的读者来说可以满足于一些有选择的材料而略去详细讨论的部分数学基础较差的学生必须有所选择地阅读带星号(铸〉的部分和小体字印刷的部分在初次阅读时可以略去这对理解后面的部分不会有多大影响再者也不妨只研究读者最感兴趣的那些章节大部分的习题都是精选的比较困难的则用星号标出读者如对其中的许多问题不能解决也不足为怪在"几何作图"和"极大与极小"这些章节中高中教师能为课外活动小组或一些选定的学生找到有益的材料我希望本书既能为大学生、研究生也能为对科学有真正兴趣的专业人员提供帮助本书也可作为关于数学基本概念的个非常规的大学基础教材第三、四、五章可用作几何教材而第六、八章合在一起形成一个自成系统的微积分教材它不像通常的微积分课本而是强调理解这些材料对于那些按特殊需要补充一些资料以及想提供更多的例题以使内容更为生动的教师来说都可当作初步教材散布在本书各个部分的大量习题以及书末增补的一些习题使本书更便于在课堂教学中使用我还希望专家们能对某些细节和含有进一步发展的萌芽的初步讨论感兴趣目录什么是数学…自然数…引言…………~整数的计算……算术的规律()整数的表示()非十进位制中的计算()哈数系的无限性数学归纳法……数学归纳法原理()等差级数()等比级数()前n项平方和()铃一个重要的不等式()骨二项式定理()提再谈数学归纳法()童补充数论…………第引'言……~素数…基本事实()素数的分布()S同余…一般概念()费马定理()二次剩余()~毕达哥拉斯数和费马大定理……S欧几里得辗转相除法…………一般理论()在算术基本定理上的应用()欧拉函数¢再谈费马定理()连分数丢番都方程()学中的数系………引言……………ii什么是数学•们有理数…"""""…作为度量工具的有理数()数学内部对有理数的需要推广的原则()'有理数的几何解释()~不可公度线段无理数和极限引言()十进位小数无限小数()极限无穷等比级数()有理数和循环小数()用区间套给出无理数的一般定义()善定义无理数的另一个方法戴特金分割()~解析几何概述…••""………基本原理()祷直线方程和曲线方程()~无限的数学分析……基本概念()有理数的可数性和连续统的不可数性()康托的"基数"()反证法()有关无限的悖论()数学的基础()~复数………复数的起源()复数的几何解释()橡莫弗公式和单位根()骨代数基本定理()呼代数数和超越数…定义和存在性()**柳维尔定理和超越数的构造()第章补充集合代数……"•••一般理论()在数理逻辑中的应用()在概率论中的一个应用()章几何作图数域的代数""""""""…""""""""""""""""""""""""""""引言……""""""第部分不可能性的证明和代数…""""••••••目录iii~基本几何作图………域的构作和开平方根()正多边形()铃阿波罗尼斯问题()*~可作图的数和数域…一般理论()可作图的数都是代数数()提~三个不可解的希腊问题…倍立方体问题()关于三次方程的一个定理()三等分任意角()正七边形()关于化圆为方的问题。)第部分作图的各种方法…………~几何变换反演…一般说明()反演的性质()反演点的几何作图()只用圆规如何二等分一线段及求圆心()~用其他工具作图只用圆规的马歇罗尼作图•••铸倍立方体的古典作图()只限于用圆规()用机械工具作图机械曲线旋轮线()*连杆波西里叶和哈特的反演器()~再谈反演及其应用…角的不变性圆族()在阿波罗尼斯问题上的应用()龄重复反射()第章射影几何公理体系非欧几里得几何~引言…几何性质的分类变换下的不变性()射影变换()~基本概念……………射影变换群()笛沙格定理()~交比………•iv•什么是数学定义和不变性的证明()在完全四边形上的应用()~平行性和无穷远……作为"理想点"的无穷远点()理想元素和射影()含有无穷远元素的交比()~应用…初步说明()平面上笛沙格定理的证明()巴斯嘉定理()布利安桑定理()对偶性简介()~解析表示…………•••初步说明()费齐次坐标对偶性的代数基础()~只用直尺的作图问题……~二次曲线和二次曲面……二次曲线的初等度量几何()二次曲线的射影性质()二次曲线看作线曲线()关于二次曲线的巴斯嘉和布利安桑的一般定理()双曲面()~公理体系和非欧几何"'"'""'"'"'"公理方法()双曲非欧几里得几何()几何与现实()庞加莱的模型()椭圆几何或黎曼几何()附录赞高维空间中的几何学…引言()解析的方法()骨几何的方法或组合的方法()第章拓扑学…"''""'"'引言………•••••••••~多面体的欧拉公式……罔录v•~图形的拓扑性质…拓扑性质()连通性()~拓扑定理的其他例子……若当曲线定理()四色问题()祺维的概念()樨不动点定理()纽结()~曲面的拓扑分类…曲面的亏格()*曲面的欧拉示性数()单侧曲面()附录………•••锵五色定理()多边形的若当曲线定理()**代数基本定理()第章函数和极限………引言……………~变量和函数……定义和例子()角的弧度制()函数的图像反函数()复合函数()连续性()簧多元函数()赞函数和变换()~极限…序列仇的极限()单调序列()欧拉数e()数π()餐连分数()~连续趋近的极限……引言一般定义()极限概念的评述()电主的极限ω)当户时的极限()~连续性的精确定义……~有关连续函数的两个基本定理…布尔查诺定理()赞布尔查诺定理的证明()维尔斯特拉斯极值定理()*有关序vi什么是数学列的一个定理紧致集()~布尔查诺定理的一些应用""""""""""几何上的应用()骨力学问题上的一个应用()第章补充极限和连续的一些例题………~极限的例题………"""""""""""""""""一般说明()旷的极限():P的极限()不连续函数当作连续函数的极限()赞极限的叠代求法()~连续性的例题……第章极大与极小…"""""""""""""""""引言………"""""""""""""""~初等几何中的问题……"""""""""""""""""""两边给定求面积极大的三角形()赫伦定理光线的极值性质()三角形问题上的应用()椭圆和双曲线的切线性质相应的极值性质()侵到给定曲线的距离的极值()~基本极值问题的一般原则………原则()例题()~驻点与微分学…"""""极值和驻点()多元函数的极大和极小鞍点()极小极大点和拓扑学()点到曲面的距离()~施瓦茨的三角形问题……"""""""""""""施瓦茨的证明()另一种证法()钝角三角形()由光线形成的三角形()费有关反射和遍历运动的说明()~施泰纳问颜……………目录vii问题及解答()两种不同情况的分析()一个补充问题()说明与习题()推广到道路网问题()一~极值与不等式……两个正量的算术平均和几何平均()推广到n个变量()最小二乘法()~极值的存在性狄里赫莱原理一般说明()例题()初等极值问题()比较复杂情形中所存在的困难()~等周问题………•••每~带有边界条件的极值问题施泰纳问题和等周问题之间的联系……~变分法……引言()变分法费马光学原理()贝努利对捷线问题的处理()球面上的测地线与极大极小()~极小问题的实验解法肥皂膜实验…引言()肥皂膜实验()普拉图问题的几种新实验()其他数学问题的实验解法()第章微积分……引言……~积分……面积看作是一个极限()积分()积分概念的一般说明一般定义()积分举例旷的积分()"积分运算"的法则()~导数…………把导数看作是斜率()导数看作是一极限•Viii•什么是数学()例题()三角函数的导数()骨可微性和连续性()导数和速度二阶导数和加速度()二阶导数的几何意义()极大与极小()~微分法…~莱布尼茨的记号和"无穷小"…~微积分基本定理……•••基本定理(似初步应用xsbsiIlharemZ的积分()表示π的莱布尼茨公式()~指数函数与对数函数…对数的定义和性质欧拉数e()指数函数()~矿矿的微分公式()用极限表示e~和lnx的表达式()对数的无穷级数展开式数值计算()~微分方程…………•••••••••••定义()指数函数的微分方程放射性元素的蜕变增长率复利()其他例题简谐振动()牛顿动力学定律()童补充…………~原理方面的内容…………"'可微性()积分()积分概念的另一些应用功弧长()~数量级……指数函数和Z的罪()ln(nD的数量级()~无穷级数和无穷乘积……"''"•••••••"'•••函数的无穷级数()欧拉公式cosxisinx=e,x()调和级数和Zeta函数正弦的欧拉乘积()日录•IX•'一一一一警惕~用统计方法得到素数定理最新进展……产生素数的公式………………………………哥德巴和孪生素数•••••••••••••••••••••••••••••••••费马大定理…………………………~连续统假设……………………………………~集合论中的符号……………………………四色定理……………………………………~豪斯道夫维数和分形……………………………纽结……………………力学中的一个问题…施泰纳问题…肥皂膜和最小曲面非标准分析…附录补充说明问和习…算术和代数…解析几何……几何作图……射影几何和非欧几何拓扑学……函数、极限和连续性………………极大与极小微积分积分法…参考书目参考书目{推荐阅读)……数主}f数学作为人类思维的表达形式反映了人们积极进取的意志、缤密周详的推理以及对完美境界的追求它的基本要素是z逻辑和直观、分析和构作、般性和个别性虽然不同的传统可以强调不同的侧面然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值毫无疑问一切数学的发展在心理上都或多或少地是基于实际的但是理论旦在实际的需要中出现就不可避免地会使它自身获得发展的动力并超越出直接实用的局限这种从应用科学到理论科学的发展趋势不仅常见于古代历史中而且在工程师和物理学家为近代数学不断作出的许多贡献中更是屡见不鲜有记载的数学起源于东方大约在公元前两千年巴比伦人就搜集了极其丰富的资料这些资料今天看来应属于初等代数的范围至于数学作为现代意义的一门科学则是迟至公元前五至公元前四世纪才在希腊出现的东方和希腊之间的接触不断增多(始于波斯帝国时期至亚历山大远征时期则达到高峰)使希腊人得以熟悉巴比伦人在数学和天文学方面的成就数学很快就被加入到风行于希腊城邦的哲学讨论之中因而希腊的思想家逐渐意识到在连续、运动、无限大这些概念中以及在用已知单位去度量任意一个量的问题中数学都存在着固有的极大困难面对这个挑战经过了番不屈不挠的努力产生了欧多克斯(Eudoxus)的几何连续统理论这个成果什么是数学是唯一能和两千多年后的现代无理数理论相媲美的数学中这种公理演绎的趋向起源于欧多克斯时代又在欧几里得(Euclid)的"原本"中得以成熟虽然希腊数学的理论化和公理化的倾向一直是它的一个重要特点并且曾经产生过巨大的影响但是对这一点我们不能过分强调因为在古代数学中应用以及同物理现实的联系恰恰起了同样重要的作用而且那时候人们宁愿采用不像欧几里得那样严密的表达方式由于较早地发现了与"不可公度"的量有关的这些困难使希腊人没能发展早已为东方所掌握的数字计算的技术相反他们却迫使自己钻进了纯粹公理几何的丛林之中于是科学史上出现了一个奇怪的曲折这或许意味着人类丧失了一个很好的时机几乎两千年来希腊几何的传统力量推迟了必然会发生的数的概念和代数运算的进步而它们后来构成了近代科学的基础经过了一段缓慢的准备到十七世纪随着解析几何与微积分的发展数学和科学的革命也开始蓬勃发展起来虽然希腊的几何学仍然占有重要的地位但是希腊人关于公理体系和系统推演的思想在十七世纪和十八世纪不复出现从一些清清楚楚的定义和没有矛盾的"明显"公理出发进行准确的逻辑推理这对于数学科学的新的开拓者来说似乎是无关紧要的通过毫无拘束的直观猜想和令人信服的推理再加上荒谬的神秘论以及对形式推理的超人力量的盲目相信他们征服了一个蕴藏着无限财富的数学世界但是后来大发展引起的狂热逐渐让位于一种自我控制的批判精神到了十九世纪由于数学本身需要巩固已有成果而且人们也希望把它推向更高阶段时不致发生问题(这是受到法国大革命的影响)就不得不回过头来重新审查这新的数学基础特别是微积分及其赖以建立的极因此十九世纪不仅成为一个新的发展时期而且也以成功地返回到那种准确而严谨的证明为其特征在这方面它甚至胜过了希腊科学什么是数学的典范于是钟摆又一次向纯粹性和抽象性的一侧摆去目前我们似乎仍然处于这个时期但是人们可以期望在纯粹数学和具有活力的应用之间产生了这种不幸分离(可能在批判性的审查时期这是不可避免的)之后随之而来的应是一个紧密结合的时代这种重新获得的内在力量更主要的是由于理解更加明晰而达到认识上的极大简化将使得今天有可能在不忽略应用的情况下来掌握数学理论再次在纯数学和应用科学之间建立起有机的结合在抽象的共性和色彩缤纷的个性之间建立起牢固的平衡这或许就是不久的将来数学上的首要任务这里不是对数学进行详细的哲学或心理学的分析的地方但有几点应当强调下目前过分强调数学的公理演绎特点的风气似乎有盛行起来的危险事实上那种创造发明的要素那种起指导和推动作用的直观要素虽然常常不能用简单的哲学公式来表述但是它们却是任何数学成就的核心即使在最抽象的领域里也是如此如果说完善的演绎形式是目标那么直观和构作至少也是一种动力有一种观点对科学本身是严重的威胁它断言数学不是别的东西而只是从定义和公理推导出来的一组结论而这些定义和命题除了必须不矛盾之外可以由数学家根据他们的意志随意创造如果这个说法是正确的话数学将不会吸引任何有理智的人它将成为定义、规则和演绎法的游戏既没有动力也没有目标认为灵感能创造出有意义的公理体系的看法是骗人的似是而非的真理只有在以达到有机整体为目标的前提下以及在内在需要的引导下自由的思维才能作出有科学价值的成果来尽管逻辑分析的思辨趋势并不代表全部数学但它却使我们对数学事实和它们相互间的依赖关系有更深刻的理解以及对数学中的主要概念有更深刻的理解并由此发展了可作为一般科学态度的典范的近代数学观点不论我们持什么样的哲学观点就科学观察的目的来说对一个''什么是数学对象的认识完全表现在它与认识者(或仪器)的所有可能关系之中当然仅仅是感觉并不能构成知识和见解必须要与某些基本的实体即"自在之物"相适应、相印证所谓"自在之物"并不是物体观察的直接对象而是属于形而上学的然而对于科学方法来说重要的是应放弃带有形而上学性质的因素而去考虑那些可观测的事实把它们作为概念和构作的最终根源放弃对"自在之物"的领悟对"终极真理"的认识以及关于世界的最终本质的阐明这对于质朴的热诚者来说可能会带来一种心理上的痛苦但事实上它却是近代思想上最有成效的一种转变物理学上所取得的一些最伟大的成就正是由于敢于坚持"消除形而上学"这个原则的结果当爱因斯坦(AEinstein)试图把"在不同地方同时发生的事件"这一概念归结为可观测的现象时出认为上述概念必须有它自身的科学意义的信念只是形而上学的偏见时他已发现了他的相对论的关键所在当玻尔(NBohr)和他的学生们指出任何物理观测必然伴随着观测工具对被观测对象的影响这个事实时问题变得很清楚在物理上同时准确地确定一个粒子

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