变分法原理及变分法近似

变分法原理与变分近似法 微积分的创立是 17 世纪数学最伟大的成就。17 世纪后期，数学家们同时他们也是物理 学家，在探讨用微积分解决更多的物理问题中发现了一些新的数学问题，如微分方程问题、 积分方程问题、变分问题等。历史上第一个变分问题是由牛顿提出并解决的，他在巨著《自 然科学的数学原理》（1687 年）中研究了轴向以常速运动而使运动阻力最小的旋转曲面必须 具有的形状。随后不久，伯努利在《教师学报》（1696 年）上提出了著名的最速降线问题， 引起了许多数学家的兴趣。之后，牛顿、莱布尼茨、伯努利以及他的哥哥詹姆士得到了这一 问题的正确的圆滚线解答。因此，伯努利被誉为是变分法的发明者。到了 18 世纪，经欧拉、 拉格朗日等人在这一领域的工作，逐渐形成一个解决数学物理问题的数学分支学科—变分法。 古典变分法的基本 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 是确定泛函的极值及极值点。在一定条件下，确定泛函的极值点 和确定微分方程边值问题的解这两个问题是可以相互转化的。也就是说，微分方程边值问题 常常可以化为变分问题来研究，由此变分方法就成为研究微分方程边值问题的一种基本方法。 在许多力学问题中，由于数学上的困难，要获得问题的精确解一般是不容易的，甚至是不可 能的，而变分解法就是各种近似解法中很有效的方法之一。它不仅可以直接获得各种问题的 近似解答，而且是后面一章将要介绍的有限单元法等近似解法的理论基础。这种方法，就其 本质而言，是将求解的力学或物理基本微分方程的问题，化为求解某些泛函的极值(或驻值) 问题。而在具体求解问题的近似解时，又进而可将求泛函的极值(或驻值)问题变为函数的极 值(或驻值问题)，最后将问题归结为求解线性（或非线性）代数方程组。 本章将对变分法原理和变分问题中的一些基本概念、基本方法作一些阐述。我们将着重 介绍两种变分近似法——立兹法和伽辽金法，并将它们用于求解一些简单的力学问题，以期 读者对这两种变分近似方法的求解过程有较为深刻的认识。 §1 变分的基本概念 §1.1 泛函和变分 泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数 )}({ xy 中的每一个函数 )(xy ， J 有一值 与之对应，或者说数 J 对应于函数 )(xy 的关系成立，则我们称变量 J 是函数 )(xy 的泛函， 记为 )]([ xyJJ = 。 例如，我们如果要 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示两固定端点 ),( AA yxA 和 ),( BB yxB 间的曲线长度 J（如图 1.1）， 则由微积分相关知识容易得到 xxyJ B A x x d)dd(1 2∫ += （1.1） 显然，对于不同的曲线 )(xy ，对应于不同的长度 J ，即 J 是函数 )(xy 的函数， )]([ xyJJ = 。 图 1.1 两点间任一曲线的长度 又例如，历史上最著名的变分问题之一——最速降线问题，如图 1.2 所示。设在不同铅 垂线上的两点 1P 与 2P 连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点 1P 自由滑落到点 2P ，这里不考虑摩擦作用影响，我们希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需的时间最短。 图 1.2 最速降线问题 选取一个表示曲线的变量函数 )(xy ，则最速降线问题对应于泛函 x xyxyg xyxyJ x x d∫ −′+= 21 2 1 1 2 }{ )]()([2 )]([1)]([ （1.2） 取最小值，上式中 g 为重力加速度。 在函数 )(xy 中，变量 x 的增量 x∆ 是指变量的某两个值之差 1xxx −=∆ ，当这种增量很 小时，有 xx d=∆ 。这里 xd 表示变量 x 的微分，其也是增量的一种。对于函数的微分，我们 有两种定义，一种是通常的定义，即函数的增量 ),()()()( xxxxAxyxxyy ∆+∆=−∆+=∆ ρ （1.3） x y A B Ax Bx Ay By o )(xyy = x y ),( 111 yxP P o )(xyy = ),( 222 yxP 其中 )(xA 与 x∆ 无关，而且有 0→∆x 时 0),( →∆xxρ ，于是就称函数 )(xy 是可微的，其 线性部分成为函数的微分 xxyxxAy ∆′=∆= )()(d ，函数的微分就是函数增量的主部。函数 微分的另外一种定义可以通过引入一小参数ε ，对 )( xxy ∆+ε 关于ε 求导数，并令 0→ε 的 途径得到，即 yxxyxxxyxxy d)()( d )(d 0 0 =∆′=∆∆+′=∆+ → → ε ε εε ε （1.4） 上式说明 )( xxy ∆+ε 在 0=ε 处关于ε 的导数就是函数 )(xy 在 x 处的微分。 相应地，在泛函 )]([ xyJ 中，变量函数 )(xy 的增量在其很小时称为变分，用 )(xyδ 或 yδ 表示，指 )(xy 与它相接近的 )(1 xy 的差，即 )()()( 1 xyxyxy −=δ 。泛函的变分也有类似的 两 个 定 义 ： 对 于 函 数 )(xy 的 变 分 )(xyδ 所 引 起 的 泛 函 的 增 量 为 )]([)]()([ xyJxyxyJJ −+=∆ δ ，当 0)( →xyδ 时泛函增量的线性主部就称为泛函 J 在函数 )(xy 处的变分，记为 Jδ ，即 )](),([)]}([)]()([{ 0 xyxyLxyJxyxyJJ y δδδ δ =−+= → （1.5） 其中 )](),([ xyxyL δ 是泛函增量的线性主部，而且其对于变分 )(xyδ 是线性的。另外一种定 义，即拉格朗日的泛函变分定义为：泛函变分是 )]()([ xyxyJ εδ+ 对ε 的导数在 0=ε 时的 值，即 )](),([)]()([ 0 xyxyLxyxyJJ δεδεδ ε =+∂ ∂= → （1.6） 首先，我们进行泛函 xxyxyxFxyJJ x x d))(),(,()]([ 2 1 ∫ ′== （1.7） 得变分。 此泛函的增量可以用 Taylor 展式表示为 ∫ ∫ +′∆′∂ ∂+′∆∆′∂∂ ∂+∆∂ ∂+′∆′∂ ∂+∆∂ ∂= ′−′∆+′∆+=∆ 2 1 2 1 2 2 22 2 2 2 d])( )( )([ 2 1 ))]d(),(,())()(),()(,([ }{x x x x xy y Fyy yy Fy y Fy y Fy y F xxyxyxFxyxyxyxyxFJ " （1.8） 当 0→∆y ，上式积分中的前两项是增量的线性主部，后面的项为高阶无穷小量。根据变分 的定义，该泛函的变分为 ∫ ′′∂∂+∂∂= 21 d)( x x xy y Fy y FJ δδδ （1.9） （1.9）也称为泛函 J 的一阶变分，而（1.8）式的后三项为二阶变分，记作 J2δ ，即 xy y Fyy yy Fy y FJ x x ]d)( )( )([ 22 22 2 2 2 2 2 1 ′′∂ ∂+′′∂∂ ∂+∂ ∂= ∫ δδδδδ （1.10） 或者，也可以由拉格朗日泛函变分的定义，得到 ∫ ∫ ′′∂ ∂+∂ ∂= ′∂ ∂=+∂ ∂= →→ +′+ 2 1 2 1 00 d d,)]()([ )( ),( ][ x x x x xy y Fy y F xyyFxyxyJJ yyx δδ εδεδεεδεδ εε （1.11） 此结果与（1.9）是相同的。 类似地，如果泛函的值决定于两个函数，并且这些函数是两个变量的函数，如 svvuuvuyxFyxvyxuJJ S yxyx d),,,,,,,()],(),,([ ∫== （1.12） 其变分为 sv v Fv v Fu u Fu u Fv v Fu u FJ S y y x x y y x x d ][∫ ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= δδδδδδδ （1.13） 依此类推，不难得到多个多元函数的泛函的变分。 此外，泛函的变分满足下面的一些运算规律： )]([)]([)]}([)]([{ 2121 xyJxyJxyJxyJ δδδ +=+ （1.14a） )]([)]([)]([)]([)]}([)]([{ 212121 xyJxyJxyJxyJxyJxyJ δδδ ⋅+⋅=⋅ （1.14b） 2 2 2121 2 1 )]}([{ )]([)]([)]([)]([ )]([ )]([ }{ xyJ xyJxyJxyJxyJ xyJ xyJ δδδ ⋅−⋅= （1.14c） )]([)]}([{)]}([{ 1 xyJxyJnxyJ nn δδ ⋅= − （1.14d） §1.2 泛函的极值和变分问题 本节将讨论泛函的极值和变分。由微积分知识我们知道，对于一个连续可导函数，如果 其在定义域的某（些）点函数有极值，那么这个函数的一阶导数在这（些）点等于零，这个 （些）点就是函数的极值点或驻点；这个条件是函数取极值的必要条件（但不是充分条件）。 对于泛函的极值问题，我们也有类似的结论，即泛函取极值的必要条件是其一阶变分 0=Jδ 。 下面给出简要的证明。 假设函数 )(xy 是泛函 J 所定义的函数集合中的任一函数，这里不妨设泛函 )]([ xyJ 在函 数 )(xy 处有极大值，那么对于任一实变量α ，必有 )]()([)]([ xyxyJxyJ αδ+≥ （1.15） 令 )]()([)( xyxyJf αδα += ，则有 )()]()([)]([)( 0 ααδα α fxyxyJxyJf =+≥== （1.16） 上式表明函数 )(αf 在 0=α 处有极大值，根据函数取极值的必要条件 0)( 0 = =αα α d df ，得到 0)]()([)( 00 ==+= == JxyxyJf δα αδ α α αα d d d d （1.17） 由此就得到泛函 J 取极大值的必要条件是其一阶变分为零。同样的方法可以证明，泛函取极 小值的必要条件也是其一阶变分为零。而其泛函实现局部极大或极小值的充分必要条件与函 数取极值（驻值）的充要条件相类似，除了其一阶变分为零外，还需要考察二阶变分的情况： 1） 若泛函 )]([ xyJ 在 )(xy 处取局部极大值，其充分必要条件为 0)]([ =xyJδ 且 0)]([2 xyJδ （1.19） 通常，我们将求泛函极值的问题称为变分问题。 变分法的基本预备定理：如果函数 )(xF 在线段 ),( 21 xx 上连续，且对于只满足某些一般 条件的任意选定的函数 )(xyδ ，有 ∫ =2 1 0d)()( x x xxyxF δ （1.20） 则在线段 ),( 21 xx 上成立 0)( =xF （1.21） 这里 )(xyδ 满足的一般条件为：i）一阶或若干阶可微分； ii）在线段 ),( 21 xx 的端点处为 0；iii） εδ <|)(| xy 或 |)(| xyδ 和 εδ <′ |)(| xy 等。 对于多变量问题，也有类似的变分定理，这里我们不妨以二维问题为例给出定理的具体 内容与形式。如果函数 ),( yxF 在 ),( yx 平面 S 内连续，设 ),( yxuδ 在 S 的边界上为零， ε<δ || u ， ε<δ || xu ， ε<δ || yu ，且满足连续性以及一阶或若干阶的可微性，对于这样选取 的 ),( yxuδ 有 ∫ =δ 0dd),(),(S yxyxuyxF （1.22） 则在区域 S 内成立 0),( =yxF （1.23） 现在我们来研究最简单的泛函 xxyxyxFxyJJ x x d))(),(,()]([ 2 1 ∫ ′== （1.24） 的极值问题。其中函数 ),,( yyxF ′ 是三阶可微的，确定泛函极值的曲线 )(xyy = 的边界是固 定不变的，而且 11 )( yxy = ， 22 )( yxy = （1.25） 采用拉格朗日法来求其泛函变分，我们有 xyyyyxFyyJ x x d),,(][ 2 1 ∫ ′+′+=+ εδεδεδ （1.26） 于是 xyyyyyxF y yyyyyxF y yyJ x x d]),,(),,([][ 2 1 ′′+′+′∂ ∂+′+′+∂ ∂=+∂ ∂ ∫ δεδεδδεδεδεδε （1.27） 令 0→ε ，则 xy y Fy y FyyJJ x x d][][ 2 1 0 ′′∂ ∂+∂ ∂=+∂ ∂= ∫→ δδεδεδ ε （1.28） 其中 ),,( , ),,( yyxF yy FyyxF yy F ′′∂ ∂=′∂ ∂′∂ ∂=∂ ∂ xy y F x xy y F x y y F x xy y F x x x x x x d)( d d]d)( d d)( d d[d 2 1 2 1 2 1 ∫∫∫ ′∂∂−=′∂∂−′∂∂=′′∂∂ δδδδ （1.29abc） 上式中利用到了固定边界条件 0)()( 11 == xyxy δδ 。最后，可得到变分的极值条件 0d)]([2 1 =′∂ ∂−∂ ∂= ∫ xyyFdxdyFJ x x δδ （1.30） 根据变分法预备定理，得到 0)( =′∂ ∂−∂ ∂ y F xy F d d （1.31） 上式中，关于 x 的导数为全导数，即 x y y F x y yy F yx F y F x d d d d)( d d 2 222 ′ ′∂ ∂+′∂∂ ∂+′∂∂ ∂=′∂ ∂ （1.32） 这就是有名的欧拉方程，是欧拉于 1744 得到的。当时欧拉用了相当繁琐的推导，这里利用拉 格朗日法很容易也很简捷地得到了相同的结果，因此也有人将此方程称为欧拉—拉格朗日方 程。我们不难看出，上述泛函（1.24）的变分问题可以视为在边界条件（1.25）下，求解微分 方程（欧拉方程）的定解问题。 此外，当我们对某些泛函求极值（或驻值）时，泛函中的变量函数之间由于物理的或几 何的一些条件的限制还应满足一些关系式，这些关系式就是所谓的变分约束条件。变分约束 条件一般可以通过拉格朗日乘子法，化为泛函求极值（驻值）时所得到的变分条件。这里， 变分条件是指使泛函实现极值（驻值）时，通过一系列变分运算而得到的变量函数之间应满 足的条件。 一般地，对于如下的泛函 xyyyyyyxFJ x x NN d),,,;,,,,(2 1 2121∫ ′′′= "" （1.33） 如果 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 解其在约束条件 0),,,,( 21 =Ni yyyx "φ ，（ NIIi <= ;,,2,1 " ） （1.34） 下 的 变 分 极 值 问 题 ， 可 以 通 过 引 入 拉 格 朗 日 乘 子 )(xiλ ),,2,1( Ii "= ， 并 将 ny ),,2,1( Nn "= 和 )(xiλ ),,2,1( Ii "= 看作是一新的泛函 *J xxFJ x x I i ii d })({ 2 1 1 * ∫ ∑ = += φλ （1.35） 的宗量。这样原泛函在约束条件下的条件变分问题就化为一新泛函的无条件变分问题，这一 新的泛函 *J 所对应的欧拉方程为： 0)( d d)( 1 =′∂ ∂−∂ ∂+∂ ∂ ∑ = nn i I i i n y F xy x y F φλ , ),,2,1( Nn "= （1.36） §1.3 可动边界的变分问题 在前面两节中，我们所讨论的泛函的积分限都是给定的，即在边界（或端点）上，函数 )(xy 的边界值是固定的，不变的。譬如，最速降线问题中给定了起点和终点的坐标；欧拉方 程推导中的给定的 11 )( yxy = 和 22 )( yxy = 条件等。但是也有一些问题，其边界并不是事先 给定的，而是待定的或是可动的。例如力学中的接触问题，接触面的尺寸无法事先给定，以 及弹塑性问题，弹性和塑性区域的交界面并不是事先给定的。所谓的可动边界指的是极值曲 线（或曲面）的两个端点或其中一个端点（或边界）并不通过预先给定的点（或边界）。 下面先讨论简单情况，一类可动边界的泛函如 xxyxyxFxyJJ x x d ))(),(,()]([ 2 1 ∫ ′== （1.37） 的变分问题，其起始点固定而终点不固定，然后不难将其加以推广。 泛函（1.37）的变分来源于 2x 的变分 2xδ 和 )(xy 的变分 yδ ，泛函的增量可表示为 xyyxFyyyyxFxyyyyxF xyyxFxyyyyxFJ x x xx x x x xx x dd dd )],,(),,([ ),,( ),,( ),,( 2 1 22 2 2 1 22 1 ∫∫ ∫∫ ′−′+′++′+′+= ′−′+′+=∆ + + δδδδ δδ δ δ （1.38） 这里，初始点 ),( 11 yx 不变，是给定的；而终点 ),( 22 yx 是待定可变的，在选择 )(xy 中，它 可以变到通过另一点 ),( 2222 yyxx δδ ++ 的函数，如图 1.3。 图 1.3 边界可动的端点 ),( 22 yx 由中值定理，我们有 2 22 22 2 ),,( ),,( xyyyyxFxyyyyxF xxx xx x δδδδδ θδδ +=+ ′+′+=′+′+∫ d （1.39） 其中 10 <<θ 。一般地， F 满足一定的连续性，因而 εδδ θδ +′=′+′+ =+= 222 ),,(),,( xxxxx yyxFyyyyxF （1.40） 并且当 0,0 22 →→ yx δδ 时， 0→ε 。于是，（1.39）进一步可写为 x y ),( 111 yxP o )(xy ),( 222 yxP )()( xyxy δ+ ),( 22222 yyxxP δδ ++ 22 2 22 2 ),,( ),,( xxyyxFxyyyyxF xx xx x εδδδδδ +′=′+′+ =+∫ d （1.41） 利用泰勒级数展式并采用分部积分，（1.38）中的第二项可表示为 Rxy y F xy Fy y F Rxy y Fy y FxyyxFyyyyxF x x x x x x x x +′∂ ∂−∂ ∂+′∂ ∂= +′′∂ ∂+∂ ∂=′−′+′+ ∫ ∫∫ d )]( d d[ d ][d )],,(),,([ 2 1 2 1 2 1 2 1 δδ δδδδ （1.42） 其中R 是关于 yδ 和 y′δ 的高阶无穷小量。因为 )(xy 在固定点 01 =yδ ，于是 2 2 2 1 xx xx x x y y Fy y F = =′∂ ∂=′∂ ∂ δδ （1.43） 必须指出， 2xx y =δ 和图 1.3 中的 2yδ 是不同的。 图 1.4 2xx y =δ 和 2yδ 示意图 由图 1.4 可以看出， 2xx y =δ 是通过 ),( 111 yxP 和 ),( 222 yxP 极值曲线 21PP 移动至通过 ),( 111 yxP 和 ),( 22222 yyxxP δδ ++ 的极值曲线 21PP 时， 2x 处的纵坐标增量 AP2 。而 2yδ 是 2y 的变分，是极值曲线 21PP 移动至 21PP 时点 ),( 111 yxP 到点 ),( 22222 yyxxP δδ ++ 的纵坐标的 增量 2PC 。从而，我们有如下的表示式 2 2 xx yAP == δ ， 22 yPC δ= ， 222 )( xxyPB δ′≈ ， 222 PBPCAP −= （1.44） 所以 222 )( 2 xxyyy xx δδδ ′−== （1.45） 则（1.42）可表示为 x y ),( 111 yxP o )(xy ),( 222 yxP )()( xyxy δ+ ),( 22222 yyxxP δδ ++ 2yδA B C Rxy y F xy Fxxyy y F Rxy y F xy Fy y FxyyxFyyyyxF x x xx x x x x x x +′∂ ∂−∂ ∂+′−′∂ ∂= +′∂ ∂−∂ ∂+′∂ ∂=′−′+′+ ∫ ∫∫ = d )]([])([ )]( d d[d )],,(),,([ 2 1 2 2 1 2 1 2 1 222 δδδ δδδδ d d d （1.46） 将（1.41）和（1.46）代入泛函的增量表达式（1.38）,并当 yyx δδδ ,, 22 很小时，可得到泛函 的一阶变分 22 2 2 2 1 )( )]([ x y FyFy y Fxy y F xy FJ xx xx x x δδδδ = = ′∂ ∂′−+′∂ ∂+′∂ ∂−∂ ∂= ∫ ddd （1.47） 在一般情况下， 22 , yx δδ 不是独立的。例如终点 ),( 22 yx 可以沿某一给定的曲线 )( 22 xfy = 移 动，从而 222 )( xxfy δδ ′= 。这样，（1.47）进一步化为 2 2 2 1 ))(( )]([ x y Fxf y FyFxy y F xy FJ xx x x δδδ =′∂ ∂′+′∂ ∂′−+′∂ ∂−∂ ∂= ∫ ddd （1.48） 由极值条件 0=Jδ 给出 )(xy 满足的欧拉方程 0)( =′∂ ∂−∂ ∂ y F xy F d d （1.49） 以及在端点 2xx = 处满足的补充条件 0)( =′∂ ∂′+′∂ ∂′− y Fxf y FyF ， )( 2xx = （1.50） 补充条件（1.50）是极值函数 )(xy 的斜率和已知端点曲线 )(xf 的斜率 )(xf ′ 之间的关系， 我们也称其为交接条件。 §1.4 变分问题中的边界条件 在数学物理方程中，我们知道，一个定解问题除了待求的函数需要满足微分方程（组） 外，还需要附加以相适定的定解条件，包括初值、边值条件，或者混合条件。在变分问题中， 也有类似的关于边界条件的论述。 例如，在我们前面所讨论的泛函 xyyxFJ x x d ),,(2 1 ∫ ′= 在边界条件 11 )( yxy = 和 22 )( yxy = 下的极值问题，此时的固定边界条件称为几何边界条件或者称为强加边界条件。 所谓“强加”，就是说这些边界条件在变分问题中预先强加上去的。另外，在上节中我们介 绍的可动边界变分中，一个端点的边界条件固定，而另一个端点处是由变分过程中得出的补 充条件，即交接条件。 如果我们在求泛函 xyyxFJ x x d ),,(2 1 ∫ ′= 的极值问题时，端点 1x 和 2x 的值均不给定。泛 函取极值的必要条件依然是 12 2 1 )]([ xxxx x x y y Fy y Fxy y F xy FJ == ′∂ ∂−′∂ ∂+′∂ ∂−∂ ∂= ∫ δδδδ ddd （1.51） 与固定边界变分不同的是，这里的 yδ 在端点处并不总是为零，可以为任意的。这样，由极值 的条件 0=Jδ 除了可得到欧拉方程（如方程（3.1.46）），此外，还有 0,0 21 =′∂ ∂=′∂ ∂ == xxxx y F y F （1.52） 上式由变分得出的条件称为自然边界条件。可以看出这样的边界条件不是预先给定的，而是 从变分原理的 0=Jδ 自动导出，它是保证极值实现而必须满足的条件。在力学问题中，无约 束时变分原理将自动补充边界处所缺的力学边界条件，因而自然边界条件往往表现为力学边 界条件。 需要指出的是，在实际问题中通常不是单一地给出所有固定边界条件或相反地全部由变 分原理来给出自然边界条件，而是给出部分固定边界条件。这样，所给的部分固定边界条件 （几何边界条件）与部分自然边界条件（力学边界条件）的恰当组合才能得以最终确定使泛 函取极值的曲线。 下面我们以一个简单的例子来说明变分问题中的边界条件的组合，如下泛函 xyyyxFJ x x d ),,,(2 1 ∫ ′′′= （1.53） 采用变分运算和分部积分，以及泛函取极值的必要条件 0][]))( d d[()]( d d)( d d[ d)( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 =′+−++−= ′′+′+= ′′′′′′′′ ′′′ ∫ ∫ x xy x xyyyy x x y yy x x y yFyF x F ydxF x F x F x yFyFyFJ δδδ δδδδ （1.54） 由此，可得极值曲线所满足的欧拉-泊松方程为 0)()( 2 2 =+− ′′′ yyy FxFxF d d d d （1.55） 以及自然边界条件 0 0,)]([ ==− ′′′′′ yyy FFxF d d （1.56） 因此可能出现的边界条件是： y 给定（几何边界条件） 或 0)( =− ′′′ yy FxF d d （自然边界条件） （1.57） y′给定（几何边界条件） 或 0=′′yF （自然边界条件） （1.58） 例 试确定跨长为 L ，弹性模量为E ，轴惯性矩为 I ，且承受分布载荷 )(xq 的梁轴线的挠 度 )(xw 。 解：梁的总势能可写为 xqw x wEIU L d d d ])( 2 [ 0 2 2 2∫ −= （1.59） 按照最小势能原理，即 0=Uδ ，可得到类似与（1.55）的欧拉-泊松方程 0)()( 2 2 =′′∂ ∂+′∂ ∂−∂ ∂ w F xw F xw F d d d d （1.60） 其中 qw x wEIF −= 22 2 ) d d( 2 。故（1.60）进一步化简为 0)(0 2 2 =′′+−− wEI x q d d （1.61） 或 q x wEI =4 4 d d （1.62） 即梁的挠曲线控制微分方程。 可能的边界条件为： w给定 或 0)( =′′∂ ∂−′∂ ∂ w F xw F d d （1.63） w′给定 或 0=′′∂ ∂ w F （1.64） i）两端简支：简支梁在两端的位移为零，即给定了位移w（几何）边界条件 0 0 == == Lxx ww （1.65） 此外，在条件（1.64）中，由于梁在两简支端可以自由转动，因而转角w′不能预先给定，而 只能给定 0=′′=′′∂ ∂ wEI w F ，即弯矩为零。 0 0 =′′=′′ == Lxx ww （1.66） 这正好是简支梁所应满足的力学边界条件。 ii）两端固支：固支梁在两端的位移为零，即给定了位移w边界条件 0 0 == == Lxx ww （1.67） 此外，由于梁在两固支端不能自由转动，因而转角w′为零，即 0 0 =′=′ == Lxx ww （1.68） 这说明两端固支梁的边界条件全为几何边界条件。 iii）悬臂梁（一端固定一端自由）：在固定端位移w和转角w′均为零，即 0 00 =′= == xx ww （1.69） 而在自由端的边界条件应该由（1.63）和（1.64）中的其他条件来确定，即 0)]( d d[ =′′′−=′′∂ ∂−′∂ ∂ == LxLx wEIw F xw F ， 0=′′=′′∂ ∂ = = Lx Lx wEI w F （1.70） 其正是梁在自由端所满足的剪力和弯矩均为零的力学边界条件。 对于梁在两端支撑条件的其他不同组合，我们都可以由变分边界条件（1.63）和（1.64） 的不同组合给出各种适定的力学问题定解边界条件，此处不再冗述。 §2 力学中的变分原理 在力学中，我们有各种各样的原理，诸如能量守恒原理、动量守恒原理、达朗伯原理、 虚位移原理、哈密顿原理等等。而作为古典力学基础的著名的牛顿运动定律实质上也是原理。 原理可以被分为两类，即非变分的原理和变分的原理。非变分的原理直接研究真实的运动； 而变分原理则不然，它不是专注于实际的运动，而是考察一定约束条件下所容许的一切可能 的运动，从中挑选出实际实现的一种真实运动来。如果说非变分的原理提供的是各种各样普 通的函数关系，那么变分原理应该是考察相应于各种运动状态的某些特征量（泛函）并取极 值（通常对应于真实运动），这便是我们所熟知的变分的含义。由此可以看出，变分原理是 在纵观全局的基础上更一般地来论述运动的，较之非变分的原理进行了更多的概括与抽象。 这样说并不是贬低非变分的原理的重要性，事实上，很多变分的原理和非变分的原理在一定 条件下都是可以互相推导或是等价的，只是各种原理的表述方式不同，因而在不同场合下应 用时方便程度不同罢了。 力学原理又可分为微分形式的表述和积分形式的表述。前者适用于运动的每一瞬时以及 任意局部点，而后者适用于有限的时间间隔以及有限区域内。在力学的诸多原理中，虚功原 理是最基本的，其他的若干原理可从它得到。下面，我们首先介绍虚功原理。 §2.1 虚功原理 虚功原理亦称虚位移原理。在分析力学中，由质点系组成的力学体系的虚功原理是熟知 的。 对于一个由 N 个质点组成的质点系而言，如果考虑的是静平衡问题，则有分析力学的 虚功原理 0 1 =∑ = i N i i rF δ （2.1） 其中 ),,2,1( Nii "=F 是作用在质点系上的给定力，包括非理想的约束力等； irδ )3,,2,1( Ni "= 是质点系满足约束的任意一组无限小虚位移矢量。进一步，如果作用在质点 系上的诸力均是有势的，亦即对于诸力 iF 存在势函数V ，使得 ii V rF ∂∂−= ),,2,1( Ni "= ， 则上述的虚功原理可转化为最小势能原理。在静止的平衡力学系统的所有容许位移中，真实 的位移使势能的变分为零，即 0=Vδ 。 虚功原理指出，系统平衡时的位置是指系统可能有的一切位置（对应各种虚功值）中的 这样一种位置，此时作用力所作虚功之和为零。这样，从系统可能有的一切运动状态中确实 挑选出了平衡这样一种实际实现的运动状态。作为泛函的虚功取极值（虚功为零）时对应着 真实的运动（平衡状态）。下面我们给出弹性连续体的虚功原理表述。 设 弹 性 体 在 体 力 zyx fff ,, 以 及 表 面 力 zyx FFF ,, 作 用 下 处 于 平 衡 。 以 },,,,,{ xzyzxyzyx τττσσσ 表示任一点处的应力分量，则在弹性体内有平衡方程 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ =+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ =+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ 0 0 0 z zyzxz y yzyxy x xzxyx f zyx f zyx f zyx σττ τστ ττσ （2.2） 以及在应力边界 tΓ上，满足力学边界条件 zyx FZFYFX === , , （2.3） 其中 zyzxzyzyxyxzxyx nmlZnmlYnmlX σ+τ+τ=τ+σ+τ=τ+τ+σ= , , （2.4） 这里 },,{ nml 表示弹性体表面上一点的外法线方向余弦。 我们假定弹性体平衡时的真实的位移为 },,{ wvu ，从这个平衡位置对物体施加一组任意 的无限小虚位移 },,{ wvu δδδ ，于是便有 0d])()()([d])( )()([ =−+−+−++∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+ +∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂++∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂− ∫∫ ∫∫∫ Γ swFZvFYuFXvwfzyx vf zyx uf zyx zyxz zyzxz y yzyxy x xzxyx V t δδδδσττ δτστδττσ （2.5） 其中 sv dd , 分别表示弹性体的体积元和面积元。这里虚位移的选择应满足另一部分位移边界 uΓ 上的几何条件，即 0 ,0 ,0 === wvu δδδ （2.6） 利用高斯公式，并经过分部积分，（2.5）可进一步化简为 0)()( )( =++−++− +++++ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫ Γ swFvFuFvwfvfuf v zyxzyxV xzxzyzyzxyxyzzyyxxV t dd d δδδδδδ δγτδγτδγτδεσδεσδεσ （2.7） 其中 z u x w y w z v x v y u z w y v x u xzyzxyzyx ∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂= δδδγδδδγδδδγδδεδδεδδε ,,,,, （2.8） 为虚应变,（2.7）即为弹性体虚功原理。 按照弹性力学定义 vU xzxzyzyzxyxyzzyyxxV d)(2 1 γτγτγτεσεσεσ +++++= ∫∫∫ （2.9） 称为弹性体的变形能。因此（2.7）中的第一项即为虚变形能，第二项（取正号）为体积力所 作的虚功，第三项（取正号）为表面力所作的虚功。 由于上述过程是从平衡位置施以虚变形，故虚功简单地表示为力与虚位移之乘积，并无 因子 21 ，这是虚功有别于真实功的主要特点。将式（2.7）进行移项，不难看出：在任一虚 位移过程中，外力作的总虚功等于弹性体的总虚变形能。 上述推导说明虚功原理是物体在外力作用下并满足一定的几何边界条件而处于平衡的 必要条件。相反的推导过程，我们完全可以利用虚位移的 },,{ wvu δδδ 的任意性而得到力学平 衡方程（2.2）以及力学（自然）边界条件（2.3）。这说明虚功原理同时也是弹性体平衡及力 学边界条件的充分条件。 虚功原理是弹性力学中的变分原理的基础，其在有限元法中也具有极其重要的应用价 值。尽管我们是从弹性平衡的角度给出了虚功方程，但是一般说来，虚功原理具有普遍意义， 它可以适用于一切结构，不论材料是线性还是非线性，也不论物体的变形是弹性或非弹性。 §2.2 最小势能原理 上节所介绍的虚功原理对于任何应力-应变关系的结构均成立，不论是弹性或是非弹性 的，这一节中我们将虚功原理应用于弹性结构。 令 },,,,,{ xzyzxyzyx τττσσσ 和 },,,,,{ xzyzxyzyx γγγεεε 分别表示弹性体内一点的应力和应 变分量，在小变形情形下，必存在一个正定的状态函数 ),,,,,(00 xzyzxyzyxUU γγγεεε= 使得 xzxzyzyzxyxyzzyyxxU γτγτγτεσεσεσ ddddddd +++++=0 （2.10） 这里， 0U 称为应变能函数或应变能密度。状态函数 0U 是单值的函数，因而 0Ud 是全微分， 有 xz xz yz yz xy xy z z y y x x UUUUUU γτγτγτεσεσεσ ∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂= 000000 ,,,,, （2.11） 这样，虚功原理（2.7）就变为 UvUvU v UUUUUU swFvFuFvwfvfuf VV V xz xz yz yz xy xy z z y y x x zyxzyxV t δδδ δγγδγγδγγδεεδεεδεε δδδδδδ === ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= +++++ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫∫ Γ dd d dd 0 0 000000 )( )()( （2.12） 上式中 ∫∫∫= V vUU 0d 为弹性应变能。 进一步，如果作用于弹形体上的体力和表面力均为有势力，即存在势函数 ),,( wvuΦ 和 ),,( wvuΨ ，使得 wfvfuf zyx δδδδ ++=Φ− ， wFvFuF zyx δδδδ ++=Ψ− （2.13ab） 从而 Vsdvsv swFvFuFvwfvfuf tt t VV zyxzyxV δδδδ δδδδδδ −=∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ΓΓ Γ Ψ+Φ−=Ψ−Φ−= +++++ )( )()( ddd dd （2.14） 这里，V 表示外力势能，则（2.12）亦表示为 0)( =+VUδ （2.15） 如果定义 VU +=Π 为系统的总势能，故 0=Πδ 。此式或（2.15）称为势能驻值原理，即 在满足已知几何边界条件的一切容许位移 wvu ,, 中，真实的位移使得系统总势能（泛函）取 极值。 §2.3 虚余能原理 前面两节中所介绍的虚功原理及其应用于弹性连续体而得到的最小势能原理，都是以位 移作为未知函数的，位移一旦求得，根据几何关系式和应力应变关系式不难得到相应的应变 和应力分量。但是，在很多工程实际问题中往往也需要直接以应力作为待求的未知函数，尤 其在以应力为目标的近似解法中，如果依旧沿用先求位移而后通过微分求应变再得到应力的 方法，势必会影响应力解的精度。实际应用的需要自然应运而生了相应的虚余功原理及最小 余能原理。 下面的讨论仍以弹性连续体为例，而且其应力应变可呈各种关系。设弹性体在已知体力 以及给定的边界条件下处于平衡， },,{ wvu 和 },,,,,{ xzyzxyzyx γγγεεε 分别表示弹性体内一点 处的位移分量和应变分量。因此，在弹性体内，有 0)(,0)(,0)( 0,0,0 =∂ ∂+∂ ∂−=∂ ∂+∂ ∂−=∂ ∂+∂ ∂− =∂ ∂−=∂ ∂−=∂ ∂− z u x w y w z v x v y u z w y v x u xzyzxy zyx γγγ εεε （2.16） 以及在边界上 0,0,0 =−=−=− wwvvuu （2.17） 进一步，我们设平衡时的应力状态为 },,,,,{ xzyzxyzyx τττσσσ ，并假定物体从这个平衡状态 接受一组任意的、无限小的虚应力（应力的变分） },,,,,{ xzyzxyzyx δτδτδτδσδσδσ 。于是 有 0)()()( )]([)]([)]([ )()()( ][ } { =−+−+−+ ∂ ∂+∂ ∂−+∂ ∂+∂ ∂−+∂ ∂+∂ ∂−+ ∂ ∂−+∂ ∂−+∂ ∂− ∫∫ ∫∫∫ Γ sFwwFvvFuu v z u x w z v y w x v y u z w y v x u zyx xzxzyzyzxyxy zxyyxxV u d d δδδ δτγδτγδτγ δσεδσεδσε （2.18） 其中 },,{ zyx FFF δδδ 是表面力相对应于虚应力的虚变化。 新的应力分量应该不违背弹性连续体的平衡方程和力学边界条件，如下 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++∂ ∂++∂ ∂++∂ ∂ =++∂ ∂++∂ ∂++∂ ∂ =++∂ ∂++∂ ∂++∂ ∂ 0)()()( 0)()()( 0)()()( zzzyzyzxzxz yyzyzyyxyxy xxzxzxyxyxx f zyx f zyx f zyx δσσδττδττ δττδσσδττ δττδττδσσ （2.19） 以及 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +++++=+ +++++=+ +++++=+ )()()( )()()( )()()( zzyzyzxzxzzz yzyzyyxyxyyy xzxzxyxyxxxx nmlFF nmlFF nmlFF δσσδττδττδ δττδσσδττδ δττδττδσσδ （2.20） 由弹性体平衡方程（2.2）和面力表达关系式（2.4），可以得到 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ 0 0 0 zyx zyx zyx zyzxz yzyxy xzxyx δσδτδτ δτδσδτ δτδτδσ （2.21） 以及 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++= ++= ++= zyzxzz yzyxyy xzxyxx nmlF nmlF nmlF δσδτδτδ δτδσδτδ δτδτδσδ （2.22） 利用高斯积分公式并对（2.18）进行化简，我们可以得到 0)()()( )()()( )())( ][ [ ] ][ )( =−+−+−+ ++++++++− ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+ +++++ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ Γ Γ sFwwFvvFuu swnmlvnmlunml vw zyx v zyx u zyx v zyx zyzxzyzyxyxzxyx zyzxzyzyxyxzxyx V xzxzyzyzxyxyzzyyxxV u d d d( d δδδ δσδτδτδτδσδτδτδτδσ δσδτδτδτδσδτδτδτδσ δτγδτγδτγδσεδσεδσε （2.23） 注意到方程（2.21）、（2.22），最后得到 sFwFvFu v zyx xzxzyzyzxyxyzzyyxxV u d d )( )( δδδ δτγδτγδτγδσεδσεδσε ++= +++++ ∫∫ ∫∫∫ Γ （2.24） 上式即为弹性体的虚余能原理，其与（2.7）表示的虚功原理形成互补形式。上式的左边代表 弹性体的总虚余能，右端代表面力的变分在实际位移上所做的功。 §2.4 最小余能原理 在小变形情形下，弹性力学的一般理论指出，必定存在一个正定的状态函数