教师版：高中数学复数专题资料

高中数学复数专题资料 一．复数概念： 1．定义：形如 的数叫做复数，记作 ，其中 是虚数单位， ； 与 分别叫做复数 的________和_________。 2．分类：复数 可分为实数、虚数和纯虚数，它们各自满足的条件分别是________、__________和__________；它们在复平面上对应的区域分别是________、________和______。 3．几何意义：复数 EMBED Equation.DSMT4 复平面上的点 EMBED Equation.DSMT4 平面向量 ； 4．复数的模：复数 的模即向量 的模，是有向线段 的长度； 计算公式为 ____________； 5．共轭复数：复数 的共轭复数是 ， 6．两个复数相等 ___________________. 【例练巩固】 例1(09 福建)复数 的实部是（ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 例1 A考查：复数的概念 【解】 =-1-I,所以实部是-1. 例2(09 江西)若复数 为纯虚数，则实数 的值为( ) A. B. C. D. 或 例2 A 考查：复数的运算 【解】由 ，故选A 例3 (09 北京)在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例3 B 考查：复数的几何意义 【解】∵ ，∴复数 所对应的点为 . 例4 复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，eq \o(BA,\s\up6(→))对应的复数为1＋2i，向量eq \o(BC,\s\up6(→))对应的复数为3－i，则点C对应的复数为（ ） A. 2－4i B. 4－2i C. 1－2i D. 4－i 例4 B 考查：复数几何意义、运算 【解】∵eq \o(BA,\s\up6(→))对应的复数是1＋2i，eq \o(BC,\s\up6(→))对应的复数为3－i，∴eq \o(AC,\s\up6(→))对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))，∴C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 例5（10 辽宁）设a,b为实数，若复数，则（ ） A. B. C. D. 例5 A 考查：复数相等的概念及有关运算 【解】由可得，所以，解得，. 二．复数运算： 设复数 ，则 加减法： ______________； 乘法： ______________； 除法： ____ _____ _____ 【例练巩固】 例6 （广东）若复数 满足方程 ，则 （ ） A. B. C. D. 例6 D 考查：复数的运算 【解】由 ，故选D. 例7 （09 安徽）i是虚数单位，若 ，则乘积 的值是（ ） A.－15 B.－3 C.3 D.15 例7 B 考查：复数的运算 【解】 ，∴ . 例8（安徽）复数 等于（ ） A． B． C． D． 例8 A 考查：复数的四则运算 【解】 . 练习1（四川）复数 的虚部为（ ） （A）3 （B）－3 （C）2 （D）－2 练习1.D 考查：复数的概念、运算 【解】复数 = ,所以它的虚部为－2，选D. 练习2.（10 陕西）复数z=在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 练习2.A 考查：复数的运算及几何意义 【解】，所以点（位于第一象限 三．复数的相关性质： 1．复数的加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律；复数也满足实数的正整数指数幂运算法则，即： _______， ________， ________， ________ ； 2．共轭复数及运算性质：设 ，则 ____， ____， ______； _________， _______， ______ 3．复数模及性质：设 ，则 ， ， _______， ________； ，其中等号成立的条件是___________________________； 4． 常用的性质： ① ， _____ ； ② ______， ______， _______； 【例练巩固】 例9 (09 广东)下列n的取值中，使 (i是虚数单位)的是（ ） A.n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5 例9 C 考查：复数的运算 【解】因为 ，所以 . 练习3(11 重庆)复数（ ） A. B. C. D. 练习3.B 考查：复数的运算 【解】 . 练习4.（四川）复数 的值是（　　） （A）0 （B）1 （C） （D） 练习4 A 考查：复数的运算 【解】 例10 (11 辽宁)a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ） A.2 B. C. D.1 例10 B 考查：复数的模、复数运算 【解】 ， ，故 . 例11(09 上海)若复数 z 满足 (i是虚数单位)，其共轭复数 =（ ） A. i B.-i C.1 D.-1 例11.A 共轭复数、复数的运算 【解】设 ，则 ，即 ，由 ，解得 ,所以 . 【综合训练】 例12（宁夏） 是虚数单位， （ ） A. B. C. D. 例12 B 考查：复数单位的运算 【解】 练习5如果一个复数与它的模的和为5＋eq \r(3)i，那么这个复数是(　　) A.eq \f(11,5) B.eq \r(3)I C.eq \f(11,5)＋eq \r(3)I D.eq \f(11,5)＋2eq \r(3)i 练习5 C 考查：复数概念 【解】设这个复数为a＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).由题意知a＋bi＋eq \r(a2＋b2)＝5＋eq \r(3)i，即a＋eq \r(a2＋b2)＋bi＝5＋eq \r(3)i∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝5,b＝\r(3)))，解得a＝eq \f(11,5)，b＝eq \r(3).∴所求复数为eq \f(11,5)＋eq \r(3)i. 练习6已知z1，z2∈C且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 练习6 C 考查：复数模的概念、运算 【解】设z1＝a＋bi(a，b∈R，a2＋b2＝1)，z2＝c＋di(c，d∈R)，∵z1＋z2＝2i ∴(a＋c)＋(b＋d)i＝2i.∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋c＝0,b＋d＝2))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(c＝－a,d＝2－b))∴|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝|2a＋(2b－2)i|＝eq \r((2a)2＋(2b－2)2)＝2eq \r(a2＋(b－1)2)＝2eq \r(a2＋b2＋1－2b)＝2eq \r(2－2b). ∵a2＋b2＝1，∴－1≤b≤1∴0≤2－2b≤4，∴|z1－z2|≤4. 例13 (09 上海文)已知复数 （a.b ）是方程 的根.复数 （ ）满足 ，求 u 的取值范围( ) A. B. C. D. 例13 A 考查：复数的运算、复数的模 【解】原方程的根为 . , 练习7（07 上海）已知 是实系数一元二次方程 的两根，则 的值为 （ ） A、 B、 C、 D、 练习7 A 考查：韦达定理、复数运算 【解】因为2 ai，bi（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 的两个根，所以a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程 的两个根是 所以 。 练习8若x∈C，则方程|x|＝1＋3i－x的解是(　　) A.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i B．x1＝4，x2＝－1 C．－4＋3i D.eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)i 练习8 C考查：复数相等、运算 【解】令x＝a＋bi(a，b∈R),则eq \r(a2＋b2)＝1＋3i－a－bi 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(a2＋b2)＝1－a,0＝3－b))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－4,b＝3))故原方程的解为－4＋3i，故应选C. 例14 ▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是(　　) A．2－3i　 　B．4＋8i　 　C．4－8i　 　D．1＋4i 例14 C考查：复数的加减运算、几何意义 【解】eq \o(AB,\s\up6(→))对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，设点D对应的复数为z，则eq \o(DC,\s\up6(→))对应的复数为(3－5i)－z.由平行四边形法则知eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i. 6 _1357713847.unknown _1394040678.unknown _1394383583.unknown _1394384039.unknown _1394384340.unknown _1394384483.unknown _1394384496.unknown _1397722110.unknown _1397803033.unknown _1394384493.unknown _1394384346.unknown _1394384480.unknown _1394384343.unknown _1394384050.unknown _1394384336.unknown _1394384044.unknown _1394383604.unknown _1394383615.unknown _1394383620.unknown _1394383609.unknown _1394383594.unknown _1394383599.unknown _1394383588.unknown _1394045522.unknown _1394383511.unknown _1394383522.unknown _1394383532.unknown _1394383538.unknown _1394383527.unknown _1394383516.unknown _1394045726.unknown _1394380057.unknown _1394380064.unknown _1394380048.unknown _1394045578.unknown _1394045715.unknown _1394045644.unknown _1394045552.unknown _1394040916.unknown _1394040941.unknown _1394045472.unknown _1394045489.unknown _1394040948.unknown _1394040954.unknown _1394045421.unknown _1394040951.unknown _1394040945.unknown _1394040935.unknown _1394040938.unknown _1394040919.unknown _1394040880.unknown _1394040883.unknown _1394040682.unknown _1394040685.unknown _1394040556.unknown _1394040666.unknown _1394040672.unknown _1394040675.unknown _1394040669.unknown _1394040576.unknown _1394040582.unknown _1394040662.unknown _1394040585.unknown _1394040579.unknown _1394040569.unknown _1394040572.unknown _1394040563.unknown _1394040566.unknown _1394040559.unknown _1357714579.unknown _1357800509.unknown _1393705585.unknown _1394040553.unknown _1393705594.unknown _1393705540.unknown _1357714656.unknown _1357800436.unknown _1357714655.unknown _1357714114.unknown _1357714197.unknown _1357714125.unknown _1357714038.unknown _1357710922.unknown _1357712201.unknown _1357712427.unknown _1357712797.unknown _1357713136.unknown _1357712554.unknown _1357712296.unknown _1357712360.unknown _1357712284.unknown _1357711729.unknown _1357711757.unknown _1357711832.unknown _1357711744.unknown _1357711226.unknown _1357711608.unknown _1357708671.unknown _1357710202.unknown _1357710443.unknown _1357710464.unknown _1357710745.unknown _1357710388.unknown _1357708754.unknown _1357708696.unknown _1357708738.unknown _1243544050.unknown _1357707796.unknown _1357707955.unknown _1357707980.unknown _1357707817.unknown _1357707878.unknown _1357707682.unknown _1357707750.unknown _1243544394.unknown _1357707592.unknown _1243544090.unknown _1242743645.unknown _1242743667.unknown _1242743678.unknown _1242743658.unknown _1242743617.unknown _1242743629.unknown _1242743599.unknown