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1 二重积分学习指导 一、重点提示 1、二重积分的定义、性质、几何意义. 2、直角坐标系下二重积分的计算. 3、极坐标系下二重积分的计算. 二、 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 提要 1、基本概念 定义 1 设 ( , )z f x y= 是定义在有界闭区域 2D R⊂ 上的有界函数，将区域D 任意分割成 n个没有公共内点的小区域 ( 1, 2, , )iD i n= " ，其相应的面积记为 iσΔ . ,( ) ( 1,2, , )i i ix y D i n∀ ∈ = " ，作和式 , 1 ( ) n i i i i f x y σ = Δ∑ ，以 ( )id D 表示小区域 iD 的 直径，如果当 { } 1 max ( ) 0ii n d Dλ ≤ ≤= → 时，和式的极限 ,0 1 lim ( ) n i i i i f x yλ σ→ = Δ∑ 存在，并且极限值与对区域D的分割方法及点 ,( )i ix y 的选取方式无关，则称二元 函数 ( , )f x y 在区域D上是可积的，记为 ( , ) ( )f x y R D∈ ，并称此极限值为函数 ( , )f x y 在区域D上的二重积分，记作 ( , ) D f x y dσ∫∫ ，即 ,0 1 ( , ) lim ( ) n i i i iD f x y d f x yλσ σ→ == Δ∑∫∫ ， 2、基本理论和基本方法 (1) 性质 设 1, 2 ,D D D均为 2R 中球面积(即面积存在)的区域. 2 性质 1 若 ( , ) 1f x y = ，则 D d Dσ =∫∫ ，其中 D 为区域D的面积. 性质 2 (线性性质) 若 ( , )f x y ， ( , ) ( )g x y R D∈ ，又 ,a b R∈ ，则 ( , ), ( , ) ( )af x y bg x y R D∈ ，且 [ ]( , ) ( , ) ( , ) ( , ) D D D af x y bg x y d a f x y d b g x y dσ σ σ± = +∫∫ ∫∫ ∫∫ . 性质 3 (对积分区域的可加性) 设 1 2D D D= ∪ ，且 1D 与 2D 无公共内点，若 ( , ) ( )f x y R D∈ ，则 1( , ) ( )f x y R D∈ ， 2( , ) ( )f x y R D∈ ，且 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y d f x y d f x y dσ σ σ= +∫∫ ∫∫ ∫∫ . 性质 4 (保号性) 设 ( , ) ( )f x y R D∈ ，且 ( , ) 0, ( , )f x y x y D≥ ∈ ，则 ( , ) 0 D f x y dσ ≥∫∫ . 推论 1 若 ( , )f x y ， ( , ) ( )g x y R D∈ ，且 ( , ) ( , ), ( , )f x y g x y x y D≤ ∈ ，则 ( , ) ( , ) D D f x y d g x y dσ σ≤∫∫ ∫∫ . 推论 2 若 ( , ) ( )f x y R D∈ ，则 ( , ) ( )f x y R D∈ ，且 ( , ) ( , ) D D f x y d f x y dσ σ≤∫∫ ∫∫ . 性质 5 (估值定理) 设 ( , ) ( )f x y R D∈ ，且 ( , ) , ( , )m f x y M x y D≤ ≤ ∈ ，则 ( , ) D m D f x y d M Dσ≤ ≤∫∫ ， 其中 D 为区域D的面积. 3 性质 6 (积分中值定理) 设 ( , ) ( )f x y C D∈ ，则存在 ( , ) Dξ η ∈ ，使得 ( , ) ( , ) D f x y d f Dσ ξ η=∫∫ 其中|D|为有界闭区域D的面积. (2) 可积函数类 与定积分类似，如果函数 ( , ) ( )f x y C D∈ ，则 ( , ) ( )f x y R D∈ ；如果 ( , )f x y 在 区域D上有界，且仅在D内有限个点或有限条曲线上不连续，则 ( , ) ( )f x y R D∈ . (3) 几何意义 从几何上看，被积函数 ( , )f x y 可解释为相应的曲顶柱体的顶在点 ( , )x y 处的 竖坐标( z坐标). 当 ( , ) 0f x y ≥ 时，二重积分 ( , ) D f x y dσ∫∫ 就是以D为底，以 ( , )z f x y= 为顶的曲顶柱体的体积V . 当 ( , ) 0f x y ≤ 时，由二重积分的定义及极 限的保号性可知，二重积分 ( , ) 0 D f x y dσ ≤∫∫ . 此时，以D为底， ( , )z f x y= 为顶 的曲顶柱体位于 xy坐标平面的下方，其体积为V ，则 ( , ) D f x y d Vσ = −∫∫ . 一般说 来，若函数 ( , )f x y 可在区域D中的某些小区域上非负，而在另一些小区域上非 正，则 ( , )f x y 在区域D上的二重积分 ( , ) D f x y dσ∫∫ 就是这些小区域上的曲顶柱体 体积的代数和： ( , ) 0f x y ≥ 的小区域上的体积前取“+”号， ( , ) 0f x y ≤ 的小区域上 的体积前取“—”.这就是二重积分的几何意义. (4) 直角坐标系下二重积分的计算，设 ( , )f x y 可积. (i) 若D是 x－型区域，即D： 1 2( ) ( ),y x y y x a x b≤ ≤ ≤ ≤ ，则 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b y x a y x D f x y dxdy dx f x y dy=∫∫ ∫ ∫ . 4 (ii) 若D是 y－型区域，即D： 1 2( ) ( ),x y x x y c y d≤ ≤ ≤ ≤ ，则 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) d x y c x y D f x y dxdy dy f x y dy=∫∫ ∫ ∫ . 应选择好积分顺序，积分顺序选择的好，积分可能简单，否则，积分可能复 杂，甚至无法进行. (iv) 还有一些积分区域既不是 x－型也不是 y－型，此时可用若干条平行于 x 轴或 y 轴的直线将D分成若干个无公共内点的小区域，使得每一个小区域或是 x－型，或是 y－型区域，然后利用积分的可加性，便可求得这类区域上的二重 积分. (v) 若区域D的形状关于 x 轴对称，当 ( , ) ( , )f x y f x y− = − 时， ( , ) 0 D f x y dxdy =∫∫ ；当 ( , ) ( , )f x y f x y− = 时， 1 ( , ) 2 ( , ) D D f x y dxdy f x y dxdy=∫∫ ∫∫ ，其 中 1D 是D中位于 x 轴上方的部分。 若区域D的形状关于 y 轴对称，当 ( , ) ( , )f x y f x y− = − 时， ( , ) 0 D f x y dxdy =∫∫ ； 当 ( , ) ( , )f x y f x y− = 时， 1 ( , ) 2 ( , ) D D f x y dxdy f x y dxdy=∫∫ ∫∫ ，其中 1D 是D中位 于 y 轴右边的部分. (5) 二重积分换元法 定理 1 设变换 ( , ): ( , ) x x u v T y y u v =⎧⎨ =⎩ 将uv平面上的有界闭域 *D 一一对应地变成了 xy平面上相应的有界闭区域D，满足下列条件： 1) 1 *( , ), ( , ) ( )x u v y u v C D∈ ； 5 2) *( , ) 0 ( , ) ( , ) x x x y u v u v D y yu v u v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ≠ ∈∂ ∂∂ ∂ ∂ , 若 ( , ) ( )f x y R D∈ , 则有 * ( , )( , ) ( ( , ), ( , )) ( , )D D x yf x y dxdy f x u v y u v dudv u v ∂= ∂∫∫ ∫∫ . (6) 极坐标系下二重积分的计算 设二重积分 ( , ) D f x y dxdy∫∫ 的积分区域D经变换 : cos , sinT x r y rθ θ= = 变成 极坐标系下的区域 *D .由于 cos sin( , ) sin cos( , ) rx y r rr θ θ θ θθ −∂ = =∂ , 故由二重积分换元法得到 * ( , ) ( cos , sin ) D D f x y dxdy f r r rdrdθ θ θ=∫∫ ∫∫ . 极点位于D的边界上 设 ( , ) D f x y dxdy∫∫ 的积分区域为图示 2—1，称为曲边扇形，曲边的极坐标方 程为 ( )r r θ= ，D的最小极角为α ，最大极角为 β ，此时 * : 0 ( ),D r r θ α θ β≤ ≤ ≤ ≤ . 从而 * ( , ) ( cos , sin ) D D f x y dxdy f r r rdrdθ θ θ=∫∫ ∫∫ ( )0 ( cos , sin )rd f r r rdrβ θα θ θ θ= ∫ ∫ 6 (ii) 极点在D内部 若积分区域D为图 2—2，这相当于在图 2—1 中让 0α = ，而β 增加到 2π ， 此时， * : 0 ( ),0 2D r r θ θ π≤ ≤ ≤ ≤ ，从而 * ( , ) ( cos , sin ) D D f x y dxdy f r r rdrdθ θ θ=∫∫ ∫∫ 2 ( )0 0 ( cos , sin )rd f r r rdrπ θθ θ θ= ∫ ∫ . (iii) 极点在D外部：若积分区域为图 2—3，即D是由两个曲边扇形 相减而成，两曲边的极坐标方程依次为 1 2( ), ( )r r r rθ θ= = ，最小、大极角分别为α 和β ，此时， * 1 2: ( ) ( )D r r rθ θ≤ ≤ ，α θ β≤ ≤ ，从而 * ( , ) ( cos , sin ) D D f x y dxdy f r r rdrdθ θ θ=∫∫ ∫∫ 2 1 ( ) ( ) ( cos , sin ) r r d f r r rdr β θ α θθ θ θ= ∫ ∫ .