2011年高考文科数学试题及答案（湖南卷）

祝您考试顺利通过，更多资料可以访问高考资源网http://www.exam66.cn/gaokao/ 2011年高考文科数学试题及答案（湖南卷） 本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式（1）柱体体积公式，其中为底面面积，为高． （2）球的体积公式，其中为球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集则（ ） A． B．　　　Ｃ．　　　 Ｄ． 答案：B 解析：画出韦恩图，可知。 ２．若为虚数单位，且，则 Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ． 答案：C 解析：因，根据复数相等的条件可知。 ３．的 A．充分不必要条件　　　　Ｂ．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：A 解析：因，反之 ，不一定有。 ４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A．　　　Ｂ． Ｃ．　　Ｄ． 答案：D 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。 5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 附表： 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案：A 解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选A. 6．设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。 7．曲线在点处的切线的斜率为（ ） A． B． C． D． 答案：B 解析：，所以 。 8．已知函数若有则的取值范围为 A． B． C． D． 答案：B 解析：由题可知，，若有则，即，解得。 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． （一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 9．在直角坐标系中，曲线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为则与的交点个数为 ． 答案：2 解析：曲线，曲线，联立方程消得，易得，故有2个交点。 10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 ． 答案：40或60（只填一个也正确） 解析：有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：，，由对称性可知，第二次试点可以是40或60。 (二)必做题（11-16题） 11．若执行如图2所示的框图，输入则输出的数等于 ． 答案： 解析：由框图功能可知，输出的数等于。 12．已知为奇函数， ． 答案：6 解析：， 又为奇函数，所以。 13．设向量满足且的方向相反，则的坐标为 ． 答案： 解析：由题，所以 14．设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为 ． 答案：3 解析：画出可行域，可知在点取最大值为4，解得。 15．已知圆直线 （1）圆的圆心到直线的距离为 ． (2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 ． 答案：5， 解析：（1）由点到直线的距离公式可得； （2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为. 16、给定，设函数满足：对于任意大于的正整数， （1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ； （2）设，且当时，，则不同的函数的个数为 。 答案：（1），（2）16 解析：（1）由题可知，而时，则，故只须，故。 （2）由题可知，则，而时，即，即，，由乘法原理可知，不同的函数的个数为。 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在中，角所对的边分别为且满足 （I）求角的大小； （II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小． 解析：（I）由正弦定理得 因为所以 （II）由（I）知于是 取最大值2． 综上所述，的最大值为2，此时 18．（本题满分12分） 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160． （I）完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 （II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率． 解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 （II） 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为． 19．（本题满分12分） 如图3，在圆锥中，已知的直径的中点． （I）证明： （II）求直线和平面所成角的正弦值． 解析：（I）因为 又内的两条相交直线，所以 （II）由（I）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角． 在 在 20．（本题满分13分） 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%． （I）求第n年初M的价值的表达式； （II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新． 解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列． 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 因此，第年初，M的价值的表达式为 (II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得 当时， 当时， 因为是递减数列，所以是递减数列，又 所以须在第9年初对M更新． 21．已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1． （I）求动点的轨迹的方程； （II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值． 解析：（I）设动点的坐标为，由题意为 化简得 当、 所以动点P的轨迹C的方程为 （II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为． 由，得 设则是上述方程的两个实根，于是 ． 因为，所以的斜率为． 设则同理可得 故 当且仅当即时，取最小值16． 22．（本小题13分） 设函数 (I)讨论的单调性； （II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 解析：（I）的定义域为 令 (1) 当故上单调递增． (2) 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增． (3) 当的两根为， 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减． （II）由（I）知，． 因为，所以 又由(I)知，．于是 若存在，使得则．即．亦即 再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得 图2 � EMBED Equation.DSMT4 ���开始 � EMBED Equation.DSMT4 ��� 输出� EMBED Equation.DSMT4 ��� 结束 是 否 � EMBED Equation.DSMT4 ���开始 � EMBED Equation.DSMT4 ���开始 � EMBED Equation.DSMT4 ��� 输入� EMBED Equation.DSMT4 ��� 开始 图1 俯视图 侧视图 正视图 2 3 3 考试网门户：www.exam66.cn，考生温馨的港湾。 _1369067150.unknown _1369067226.unknown _1369067250.unknown _1369067006.unknown _1369067115.unknown _1369066831.unknown _1369066745.unknown