一 误差分析
1 舍入误差、截断误差、有效数字；
2 数值计算的一些原则；
如：P10-例 1.3、例 1.6。
3 数值计算的稳定性。
二.插值法
1.插值的概念：
（1）问题的引出；
（2）唯一性：待定系数法； 反证法。
2.构造插值多项式的方法：
（1）待定系数法；
（2）基函数法；
（3）承袭性思想
3 插值的分类：
（1）不含导数插值条件（Lagrange 型插值）；
Lagrange 插值公式、Newton 插值公式。
（2）含导数插值条件（Hermite 插值）；
构造法、 带重节点的 Newton 插值法。
4 余项
表
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达式、截断误差估计、总的误差界。
5 各阶差分、差商的定义、基本性质。
6 三次样条插值。
7例.
三．曲线拟合
⒈ 概念
⒉ 正交多项式：
①定义；②性质；③特点
⒊ 最佳平方逼近多项式的寻求：
①基底教 p58. 例 3.1
②正交多项式作为基底。教 p62. 例 3.2 例 3.3
⒋ 最小二乘拟合问题：
①给出数据能求出拟合曲线；教 P66.例 3.4，3.5，3.7
②会解矛盾方程；教 p68.例 3.6
③正交多项式在曲线拟合中的应用。教 p71.例 3.8
⒌ 最佳一致逼近多项式的求法：
①利用 p76.Th3.6；
②Chebysher 插值法；P77.例 3.10.法 2
③缩减幂级数法。P79.例 11
6.单调线性正算子、伯恩斯坦多项式、有理逼近
7．例。
四、数值积分
1、基本概念：
• (1) 代数精度；
{ {
离散
连续
最佳平方逼近
最佳一致逼近
{ 4.p60 6.3.p76
性质
定理
};x,,x,x,1{ n2 "
• (2)插值型求积公式；
• (3)复化求积公式；
• (4)Gauss 型求积公式；
• (5)收敛阶(复化)；
• (6)计算的稳定性。
2、构造求积公式的方法：
• (1)待定系数(利用代精)；
• (2)插值型求积公式；教 P86,例 4.2
• (3)Newton-Cotes 公式；
(节点等距)，几种低阶， （例：P91 例 4.4）及余项。P90
3、提高求积公式精度的方法：
• (1)增加求积节点及采用 Gauss 型求积公式；
• (2)构造复化求积公式；
误差的 P92,93 例：P94.例 4.5
P95,96
• (3)线性外推公式、Romberg 算法。
4、Gauss 型求积公式：
• (1)Gauss 点的概念及其有关定理；（系数特点、稳定、收敛）
• (2)利用正交多项式构造 Gauss 求积公式；（例：P103 例 4.11 例：P105
例 4.12）
• (3)利用 Gauss 型求积公式构造奇异积分的数值方法。（例：P107 例 4.14）
５、特殊积分的处理技术。
五、方程求根
1 简单迭代法：
（1）迭代函数 的构造和选择；
（2）整体（P203Th7.1）与局部（P206Th7.2）收敛定理；
（3）加速收敛的方法。（P209-P210Th7.4）
2 收敛阶的判断方法：
（1）根据定义判断；P207 定义 7.2
（2）用 的高阶导数判断（局部收敛）。P207Th7.3
3 Newton 迭代及其各种改进。
4 例。
六 、线性代数方程组的解法
A. 直接法、
⒈ 方法：
;
.
{求积节点给定 定求积节点、系数均未给
∫=ba dxxklkA )( ∏
≠
= −
−= n
kj
j j
xkx
jxxxkl
1
)(
梯形
simpson{
先验误差
事后误差估计{
① Gauss 顺序消去法；
② 列主元 Gauss 消去法；
③ 直接三角分解法（不选主元）；
④ 平方根法和改进的平方根法；
⑤ 追赶法。
⒉ 以上各方法的算法步骤。
⒊ 误差分析。
⒋ 向量、矩阵的范数、条件数、谱半径。
⒌ 矩阵的三角分解定理。
B. 迭代法、
⒈ 方法：
① Jacobi 迭代法；
1( )JB D L U
−= − +
② Gauss-Seidel 迭代，
③ SOR 方法，
⒉ 上述三种方法的算法步骤。
⒊ 收敛性定理：
① 充要条件；
② 充分条件；
③ 系数矩阵 A严格对角占优，则 Jacobi 迭代、G-S 迭代必收敛。
④ SOR 方法收敛的必要条件：
（由 导( ) 1sBρ <
出）P192 定理 6.25 定理 6.26
⑤ SOR 方法收敛的有关定理。
4 例。
七、方程求根
1 简单迭代法 ：
（1）迭代函数 的构造和选择；
（2）整体(P203Th7.1)与局部(P206Th7.2)收敛定理；
（3）加速收敛的方法。P209-P210Th7.4
2 收敛阶的判断方法：
（1）根据定义判断；P207 定义 7.2
（2）用 的高阶导数判断（局部收敛）。P207 Th7.3
3 Newton 迭代及其各种改进。
4 例。
1( )GB D L U
−= − +
[ ]1( ) (1 )SB D L D Uϖ ϖ ϖ−= + − −
( ) 1Bρ <
1B <
20 <<ϖ
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