非线性模态综合法的灵敏度分析方法及其应用

第 � 期 兵 ��� 年 ! 月 ∀口∀ 附 � #∃% & �� � 非线性模态综合法的灵敏度 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 及其应用 林砺宗 王晓锋 徐晓莉 ∋南京理工大学 ( 摘要 灵敏度分析对结构 重新设计和结构修改工 作是非常重要的 。 本文 引 用 非线性模 态综合 法)∗+ 导 出了分块线性系统的积分型非线性灵敏度分 析方程 组 , 讨论了迭代求解方法 , 编制 了计算机程序 。 本法可用于求解分块线性系统 的响应对非线性连接参数的灵敏度 & 文中所给算例证 明了本法原理的正确性 & 最 后介绍 了灵敏度分析 的应 用实例 & 关键词 非线性 系统 模态综合 灵敏度分析 应用软件 积分方程 工程中的振动系统有很多是非线性系统 , 非线性系统的振动分析是比较困难的 。 但 有许多非线性系统是由多个线性系统通过一些本构关系呈非线性的元件连接而成的 。 这 种 系统称为分块线性 ∋的非线性 ( 系统 。 文献 � 的以连接元件变形量为广义坐标的非线 性模态综合法 , 可方便地求解这种系统的响应 。 为了使分块线性系统的分析方法更加完 善 , 建立优化设计方法 , 本文 在文献 � 的基础上导出了位移和速度等对非线性连接元件 参数的灵敏度 。 � 非线性模态综合法)�− 简介 该法的基本思想是 . ∋∗( 将分块线性系统假想地分割成各块独立的线性系统 , 即子 系统 , 各块间的相互作 用由等效于连接的非线性元件力的作用来模拟 , ∋! ( 各块线性子 系统的振动可用线性振动的模态理论加以描述 , ∋/( 根据子系统间相连自由度上的力和 位移 ∋或相对状态 ( 满足该等效元件的本构关系的原则 , 将各子系统装配在一起 。 如此 可以得到 , 以等效非线性元件的变形状态为0“义坐标的非线性模态综合积分型方程组 )∗+ 云∋‘( 1 之∋‘( 一 ! · 刀。)必 · , ∋‘( − 一 少 · 2 ∋‘( ∋� & � ( 活∋‘( 1 里∋‘( 一 ! & . 。 )。 & , & 。∋‘( − 一 , & 公∋‘( ∋� & ! ( 式 中 ￡∋‘( 是非线性元件的变形列阵 , 色∋约 是假想的非践性元件内力恒为零时同等载荷 下的 ￡∋3 ( , 4 。〔〕 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示取括号 内的实部 , 2 ∋5 是非线性元件的内力列阵 , 6 ∋5 为总体的 模态响应列阵 , 是各子系统的模态响应列阵 。“∋‘( 的排列 , 即 。∋‘( 1 ∋ ) , ’∋‘(〕7 ⋯ ) , 8 ∋‘(〕7 ⋯叶∋3( 扮 , , 二 是综合得到的剩余柔度矩阵 , 梦 一 名∋7 “(7 梦叮 “ , 扩 为第 “ 子系统的 剩 余柔度矩阵 , ‘ , 是与 6 ∋约 对应的复特征值组成的对角阵 , 必 是综合后的复模态振型矩 阵 , 各子系统振型的转置排列 , 即 一� � ! 年 ! 月收稿 , �� � 9 年 月月定稿 。 兵 工 学 报 � � � 刁年 ! 月 必 1 ) ∋少 ’(7 必 , ⋯ ∋少。(7 必 8⋯ ∋7 , (7 巾’0 ∋� · / ( 扩为第 “ 个子系统的振型矩阵 , 7 “ 是第 “个 系统的装配矩阵 ∋或称变换阵 ( , 其元素 7 乙 表示第 , 非线性元件与 8 子系统的第 ‘自由度之 间的方向余弦 , 元件的方向定义为由连接 点指向另一端点 , 当元件 +与自由度 ‘所在的点不连接时 , 有 全芯一 : 。 6 ∋3( 可以写成 。∋‘( 一且〔、 · ∋‘一 , ;〕· 。 ∋·( · ‘· ∋� & ( 式中 < “ ∋‘( 为子系统 8 的模态坐标下的单位脉冲响应函数组成的对角阵 , 口∋3 ( 为模态坐 标下广义力 列阵 , 且有 口∋3 ( = 必7 · 2 ∋3 ( 。 而 2 ∋5 列阵中的元素由元件的本构关系确定 2 0∋‘( 1 2 0〔￡∋‘( , 云 ∋‘( , ‘〕 , 1 � , ! , ⋯⋯ 0 ∋ � & 9 ( 式中 0 为总的非线性连接的数 目 & 方程 ∋� & � ( 、 ∋� & !( 和 ∋� & 9( 构成了非线性模态综合法 的积分型方程组 。 ! 灵敏度分析 毫无疑问 , ∋∗ & 9( 式是由许多已知参数决定的 , 任一参数的变化都将影响到响应的历 程 。 利用这一点 , 可通过改变这些参数来控制系统响应的分布情况和幅值大小 , 达到优 化结构的 目的 。 但不同参数对响应的影响程度不同 , 究竟调整哪些参数最有效果 > 因此 , 首先要解决结构响应对参数变化的敏感度问题 , 这可用灵敏度分析方法来达到 。 设 ? 为 某非线性元件本构关系中的一个参数 , 在 ∋∗ & � ( 、 ∋∗ & !( 式两边求对 ? 的偏导数 , 于是有 云 & , 1 一 ! · 4 。 ) 必 · 。& , ∋‘(〕 ∋! & � ( ￡ & , 1 一 ! · 4 。)必 · 注 · 。& ? ∋‘(」 ∋! & ! ( 其 中下标 “ & ≅’’ 表示对 ? 的偏导数 , 这里注意到 ∋� & �( 、 ∋∗ & !( 式中右边第一项与元件 本构关系永远无关的事实 , 故其对 ? 的偏导数为零 , 右边最后一项为高阶模态的剩余柔 度项 , 其贡献一般说来很小 , 再考虑到 梦 为方阵 , 占用计算机 内存较大 , 该项矩阵乘积 的运算量也较大 , 故本文建议将此项忽略 , 而用多取几阶模态的办法来保证分析结果满 足工程的精度要求 。 方程 ∋! & � ( 和 ∋! & ! ( 中的 。& ? ∋‘( 可以写成 。·? ∋‘( 一且〔、 ·∋‘一(;〕· 。 ·? ∋‘, · ‘· ∋! & / ( 且有 口 & ? ∋3( 1 必7 · 2 & ? ∋3( ∋! · 刁( 由于非线性元件的本构关系不仅与所在连接自由度的状态有关 , 还可 能与其它自由 度的变形量 、运动和内力有关 , 所以 2 & ? ∋3 ( 的表达式较为复杂 , 就其中的第 , 个元素而言 , 其 灵敏度表达式为 。 」& 。 ∋‘( 一 典华 & , & 。∋‘( Α 兰廷卫 & 丢& 。 ∋‘( Α 竺乒! , 一 � , ! , ⋯ , , ∋! & 9 (滋 ’ 一 ’ ? 、 一 ‘ ’ 心 7 一 ’ ? “ 一 ’ 8刀 ‘ 一 ’ 一” 一 “ Β Β 一‘灿 滋 & 。,式中最后一项 只表示 口 , ∋3 ( 对其中显含的 ? 的导数 , 若 ? 不属于 2 , ∋3( 表达式中的参数 , 则此项为零 。 显然 , ∋! & �( = ∋! & 9( 式构成了灵敏度问题的非线性积分方程组 , 用数值迭代法可解 得未知函数 ￡ & ? ∋‘( , ￡& , ∋的 和 2 & ? ∋3 ( 。 作者根据上法 , 在 ΧΔ Ε 一 ΦΓ 微机 胜编制 了应用程 序 。 值得注意的是 , 在进行灵敏度分析求解时 , 应同时对响应求解 , 因为 ∋! & �( 式中要 第 刁 期 非线性模态综合法的灵敏度分析方法及其应用 /� 求响应值确定非线性元件的变形和运动状态 。 / 应用实例 / & � 在结构至新设计中的应用 对于弹性炮架火炮 , 发射时炮架受到比炮膛合力小得多的后坐力 , 它的大小和变化 规律与炮膛合力有关 , 很大程度上还决定于炮架与后坐部分之间的缓冲装置或反后坐装 置的力学特征 。 由于过大的后坐力是引起全炮振动和跳动的主要原因 , 所以控制后坐力 的大小或改变它的变化规律是提高火炮射击精 度的重要措施之一 。 某高炮的缓冲装置为弹簧式缓冲机 , 主要组成部分 为弹簧和阻尼轮)Η. 。 阻尼轮 利用摩擦消耗后坐部分的运动能童 。另外 , 后坐部分靠导轨支撑 , 相对运动时接触面 处有较大的摩擦力 。 这样 , 除了缓冲机提 供阻力之外 , 还有导轨的摩擦力 , 构成了 非线性问题 。 文献 ! 给出了缓冲机的分块 线性系统 力学模型和物理参数 , 以及用非 线性模态综合法求解的后坐位移响应曲线 和后坐 力计算曲线 。 本文用前述原理求解 了后坐力对弹簧刚度值 Ι 和初力 # 。的灵 犷犷霖砒砒;、 .ϑϑϑ&&& Κ �����⋯⋯& &飞之二未未 图 / & � 第一后坐过程的后坐力及其灵敏度 # Λ吕& / & � 7 < ∃ Μ∃ ΓΝ ∗∗ ΟΝ Μ∃ ∃ 8 ≅ Π Λ3Θ Θ ∃ ≅ Θ Λ3ΛΡ Λ3Σ Λ≅ Μ < ∃ 五ΜΘ 3 ΜΓΓ Ν Λ∗∗Λ≅ Τ ΦΜ仪ΥΠ ς Μ∃ 敏度 。 图 / & � 中曲线 ∋” 为第一次后 坐复进阶段的后坐力 , 曲线 ∋! ( 为对 Ι 的灵敏 度 , 曲 线 ∋/( 为对 # 。的灵敏度 。 因第一次复进结束后有剧烈的撞击出现 , 导致灵敏度增大了很 多 , 难以与前面的伺时绘出 ∋数量级相差太大 ( , 图中已截断 。 一般说 , 最大 ∋指绝对值 ( 后坐力是主要参数 , 图 / & � 中最大后坐力为 ! � Ω Ξ ∗Ψ , 而 实际测量值为 / � !Ω ! Ψ 。 最大后坐力对 ΖΒ 的灵敏度值为 一 � & � Ξ Ξ [ 一 :! , 负号表 明增大 刚度可使后坐 力变小 , 即绝对值变大 , 反之可使最大后坐力变小 。 此即表 明减小缓冲簧 刚度可减小最大后坐力 , 有利于提高射击精度 。 图中最大后坐力对 # 。 的灵敏度为 : & / ! 。 在重新设计的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 中 , 对 Χ3Β 取增里 △Ι = 一 Ω ΞΩ 丫 �: /Ψ ϑ ∴ , 对 # 。 取增 量 么# 。 = 一 � Ξ :Ψ 。 根据灵敏度概念 , 最大后坐力的增星近似地为 △尸 ∴ 。 、 1 一 ∋一 � & �Ξ Ξ 入 � :! · 八 ‘ Α : & / ! · △户’ Ν ( 1 一 � & / � Ξ Ψ 即最大后坐 力将减小 � / � ΞΨ 。 实测结果表 明 , 按上述方案进行重新设计的火炮 , 最大后 坐 力减小了 �] : ! Ψ , 与估计值相差不大 。 可见 , 灵敏度分析具 有明显的工程实用意义 , 只 要应用本文方法就可进行方案的 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 , 无需逐个方案进行实验 , 从而缩短时间 , 降低费 用 , 提高工作效率 。 / & ! 在最优化设 计中的应用 某双管高炮结构 ⊥ 卜设 有炮管支点 ∋或称三 支点 ( , 即从摇 架前端伸出一根悬臂梁与外 仲的炮管 固接 , 从 而提高了炮管的刚度 , 减小了炮管 自身的弯曲振动 。 根据分块线性系 统的分析方法 & 全炮可分 为 9 个子结构 , 其中 / 个为弹性子结构 , ! 个为刚性体 。 在非线 性连接方面 & 考虑到了部件 ∋即子结构 》之问的间隙和 火炮与十壤之间的单面约束 。 数 值分析结果表明 , 若将三支点分离 , 则双方之问的相对位移达 Θ∴ 。、 之多 。 显然 , 如此大 兵 工 学 报 � �� Π 年 ! 月 的相对位移适合于安装摩擦式减振器 , 这种减振器 只需将原来的连接方式改为摩擦力的 相互作用即可实现 。 但究竟需要多大的摩擦 力仍是一个问题 。 下面以第一发至第二发之 间的炮口 响应曲线加以讨论 。 首先假设摩擦 力 Ο = − 5: :Ψ 。图 / & ! 给出了此时的新响应 曲线与原响应曲线的对比 。 可以看出 , 减振效果差别不大 。 但是 , 图中的新灵敏度曲线即新响应对 Ο 的灵敏度表明 , 减小 Ο 值可使新响应曲线的后两个波峰降低 , 而使波谷 < 升 , 即对该频率的振动起到减 振作用 。 于是取 Ο = � : 5Ψ , 图 / & / 给出了类似的 / 条曲线 , 将新响应曲线 ∋Ο 一 � : :Ψ ( 与新灵敏度曲线对照可知 , 增大 Ο 值可使该振动的幅值更小 。 可知 , 在 � : :Ψ 一 ∗: : :Ψ 之 间存在 Ο 的最佳值 。 ⋯⋯, & , ,断冲今彬彬... 一写 ” 叭叭一一 新灵敏度度 图 / & ! 三支点采用 �::: Ψ 的摩擦力连接的响应和灵敏度 #ΛΤ & / & ! 7 % ∃ Μ ∃ ΘΦΝ ≅ Θ ∃ 8 ≅ Π ΛΜΘ Θ∃ ≅ ΘΛ3ΛΡ ΛΜΣ Λ≅ 七< ∃ Γ8Θ ∃ Ν Ο � :: :Ψ ΟΜ Θ∃ 3ΛΝ ≅ ΟΝ Μ ∃∃ 8 3 3< ∃ 3< ΛΜΠ Θ ς ?ΦΝ Μ3Λ≅ 吕 ΦΝ Λ≅ 3 原响应 、丫新响应; ;‘ ;孟胜�& 新灵敏度 图 / & / 三支点采用 �:: Ψ 摩擦力连接时响应及灵敏度 #地 & / & / 7 <∃ Μ ∃Θ ? Ν ≅ Θ ∃ 8 ≅ Π Λ3Θ Θ∃ ≅ ΘΛ3ΛΡ ΛΜΣ ��一 Χ< ∃ ∃ 8Θ ∃ Ν Ο � ::Ψ ΟΜΛ∃ 3ΛΝ ≅ 8 3 Μ< ∃ 3< ΛΜΠ Θ ς ΦΦΝ Μ 3Λ≅ 吕 ΦΝ Λ≅ ∗ 进一步的分析结果表 明 , 了 1 !9 5Ψ 具有很好的减振效果 。 图 / & 给出了原响应曲线 与 Ο 1 ! 9 5Ψ 时的新响应曲线的 比较 。 可以 看出振荡的幅值明显减小 。 图中新灵敏度曲线 为 Ο = ! 9 : Ψ 时的响应对 Ο 的灵敏度 。 可以看出第二个波峰和波谷对应的灵敏度都接近 于 零 , 此即说 明 , 再改变 Ο 值几乎不会使振动幅值减小 , 显然 Ο 一 ! 9 5Ψ 已经接近了局优 或全优解 。 因此 , 应用本文的灵敏度分析技术 , 某些复杂非线性 系统的响应优化问题也可容易 第 期 非线性模态综合法的灵敏度分析方法及其应用 ∗ 0 口 & 、 ] , 新响应 之、 ϑ 二尹 原响应 门 , & 新灵敏度 图 / & 扭 三支点摩擦力为最佳值时的响应和灵敏度 # ΛΘ & / & 7 < ∃ Μ ∃Θ ? Ν ≅ Θ ∃ 8 ≅ Π Λ3Θ Θ∃ ≅ ΘΛΜΛΡΛ 3Σ Λ≅ 3< ∃ Γ8 Θ∃ Ν Ο 8 ≅ Ν Φ3Λ∴ ς ∴ ΟΜ ΛΓ 3ΛΝ ≅ ΟΝ Μ & 8 3 3< ∃ 3< ΛΜΠ Θς ΦΦΝ Μ3Λ≅ Τ ΦΝ Λ≅ 3 地得到解决 。 结论 ∋” 本文导出的灵敏度分析方法是正确的 , 数值求解的方法是可行的 , ∋!( 本文所编灵敏度分析软件是成功的 , 具有较高的计算精度和较强的适应性 , ∋/( 本文的灵敏度分析方法具有很大的实用价值 , 可用于指导结构的重新设计和最 优化设计 。 参 考 文 献 ∗ 林砺宗 & 结构分析的非线性模态综台法 & 振动与冲击 , �� �� ∋ ( ! 林砺宗 & 用非线性模态综合法模拟某高炮的后坐运动 & 工程力学 & �� �� ∋ ( . 】/Ξ _ [Ψ _ Χ7 Χ⎯ Χ7 α ∀ Ψ ∀βα _ 污 Δ α 7 χ[ Ψ5 ΨβΧΨ [ ∀ 4 Ε 5 δ ∀ β _ αΨ 7χ [ _ 污 Ε [7 χ5 δ β Λ≅ β . ! : 九� ε 8 砚Τ φ 自Ν+ 尸砚Τ φ 理 φ 她: �, ∋Ψ 8 ≅ +ΛΜ, � ς ≅ ΘΡΓ ΜΘ Λ3Σ ΝΟ Θ ∃Λ∃ ≅ ∃ ∃ 色 7 ∃ ∃ < ≅ Ν ∗Ν Τ Σ ( ∀ % Θ 3 Μ8 Γ 3 7 < ∃ Φ8 Φ∃ Μ ΦΜ ∃ Θ ∃ ≅ 3‘ 3 γ一∃ Λ≅ 3 ∃Θ Μ 8 ∗ ∃ 6 ς 8 3ΛΝ ≅ 一Θ ∃ 3 ΟΝ Μ 3 < ∃ Θ ∃ ≅ Θ Λ3 ΛΡ Λ3Σ 8 ≅ 8 ∗ΣΘ ΛΘ Ν Ο ≅ Ν ≅ ∗Λ≅ ∃ 8 Μ ΘΣ Θ 3 ∃ ∴ Θ Ν Ο ΦΛ∃ ∃ ∃ 一% Σ 一ΦΛ∃ ∃ ∃ ∗Λ≅ ∃ 8 Μ Λ3Σ ς Θ Λ≅ Τ ≅ Ν ≅ ∗Λ≅ ∃ 8 Μ ∴ ΝΠ 8 ∗ ΘΣ ≅ 3< ∃ Θ ΛΘ ∃ 6 ς 8 3 ΛΝ ≅ Β Θ ∃ 3 3 8 η Λ≅ Τ 3 < ∃ Π ∃ ΟΝ Μ ∴ 8 3 ΛΝ ≅ Θ Ν Ο 3< ∃ ≅ Ν ≅ ∗Λ≅ ∃8Μ ∃∗∃∴ ∃ ≅ 3Θ 8Θ 3 < ∃ Τ ∃ ≅ ∃ Μ 8 ∗ΛΗ ∃ Π ∃ Ν Ν Μ Π Λ≅ 8 3∃ Θ · ∀ ΦΜ Ν Θ Μ 8 ≅ Λ Θ Ν Ο3 ι 8 Μ ∃ < 8 Θ % ∃ ∃ ≅ % ς Λ∗3 ς Φ Ν ≅ ΧΔ Ε 一 ΦΥ ΓΝ ∴ Φς 3∃ Μ Θ & Χ3 ∃ 8 ≅ % ∃ ς Θ ∃ Π 3Ν Γ8 ∗∃ ς ∗8 3∃ 3 < ∃ Θ ∃ ≅ Θ Λ3 ΛΡ Λ3Σ Ν Ο Μ ∃ ΘΦΝ ≅ Θ ∃ Θ Ν Ο ≅ Ν ≅ ∗Λ≅ ∃ 8 Μ Θ ΣΘ 3∃ ∴ Θ 3Ν 3 < ∃ Φ8 Μ 8 ∴ ∃ 3∃ Μ Θ Ν Ο 3 < ∃ ≅ Ν ≅ ∗Λ ≅ ∃ 8 Μ Λ≅ Β 3 ∃ Μ Ο8 ∃ ∃ Θ · ∀ ΦΦ∗Λ∃ 8 3ΛΝ ≅ Θ Ν ≅ 3 < ∃ Μ ∃ Π ∃ Θ ΛΘ ≅ 8 ≅ Π Ν Φ3 Λ∴ 让8 3 ΛΝ ≅ Ν Ο Θ 3 Μ ς ∃ 3ς Μ ∃ Θ 8 Μ ∃ 3< ∃ ≅ 38 η ∃ ≅ 8Θ �∗∗ς Θ 3Μ 8 3 ΛΡ ∃ ∃ ϕ 8 ϕ∗飞Φ∗∃ Θ & Ι ∃ Σ ι Ν ΜΠ Θ ≅ Ν ≅ ∗Λ≅ ∃ 8 Μ Θ Σ Θ 3∃ ∴ , ∴ Ν Π 8 ∗ ΘΣ ≅ 3< ∃ Θ ΛΘ , Θ ∃ ≅ Θ Λ3 ΛΡ Λ3 Σ 8 ≅ 8 ∗ΣΘ ΛΘ , 8 ΦΦ ∗Λ∃ 8 3 ΛΝ ≅ Θ Ν Ο3 Β ι 8 Μ∃ & ΛΜ一3∃ Τ Μ 8 ∗ ∃ 6 ς 8 3ΛΝ ∗∗