平行四边形及其性质、判定

2.平行四边形及其性质、判定 (20070911183958468857)第1题. （2007北京课标，8分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在 中，点 分别在 上， 设 相交于点 ，若 ， ． 请你写出图中一个与 相等的角，并猜想图中哪个四边形 是等对边四边形； （3）在 中，如果 是不等于 的锐角，点 分别在 上，且 ．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论． 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）． （2）答：与 相等的角是 （或 ）． 四边形 是等对边四边形． （3）答：此时存在等对边四边形，是四边形 ． 证法一：如图1，作 于 点，作 交 延长线于 点． 因为 ， 为公共边， 所以 ． 所以 ． 因为 ， ， 所以 ． 可证 ． 所以 ． 所以四边形 是等边四边形． 证法二：如图2，以 为顶点作 ， 交 于 点． 因为 ， 为公共边， 所以 ． 所以 ， ． 所以 ． 因为 ， ， 所以 ． 所以 ． 所以 ． 所以 ． 所以四边形 是等边四边形． 说明：当 时， 仍成立．只有此证法，只给1分． (20070911183959312996)第2题. 如图， 的周长为20，对角线 的长为5，则 的周长为 ． 答案：15 (20070911184000140758)第3题. （2007福建龙岩课改，10分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 答案：解：由①，得 3分 由②，得 6分 原不等式组的解集为 8分 (20070911184002578729)第4题. （2007福建厦门课改，4分）如图，在平行四边形 中， 交 于 ，交 的延长线于 ，若 ， ，则 度；若 ， 厘米，则 厘米． 答案： 度； 厘米 (20070911184005906821)第5题. （2007广东课改，12分）已知：在Rt△ABC中，AB=BC；在Rt△ADE中，AD=DE；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM． （1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①， 求证：BM=DM且BM⊥DM； （2）如果将图8-①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明． 答案：（1）证法1： 在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点， ∴ ． 在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点， ∴ ． ∴ BM=DM，且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上． ∴ ∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM． 证法2： 证明BM=DM与证法1相同，下面证明BM⊥DM． ∵ DM=MC， ∴ ∠EMD=2∠ECD． ∵ BM=MC， ∴ ∠EMB=2∠ECB． ∴ ∠EMD＋∠EMB =2（∠ECD＋ECB）． ∵ ∠ECD＋∠ECB=∠ACB=45°， ∴ ∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM． （2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立． 证明如下： 证法1（利用平行四边形和全等三角形）： 连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H． ∵ DM=MF，EM=MC， ∴ 四边形CDEF为平行四边形. ∴ DE∥CF ，ED =CF. ∵ ED= AD, ∴ AD=CF. ∵ DE∥CF， ∴ ∠AHE=∠ACF． ∵ , ， ∴ ∠BAD=∠BCF. 又∵AB= BC, ∴ △ABD≌△CBF. ∴ BD=BF，∠ABD=∠CBF. ∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC， ∴∠DBF=∠ABC =90°. 在Rt△ 中，由 , ，得BM=DM且BM⊥DM． 证法2（利用旋转变换）： 连结BD，将△ABD绕点B逆时针旋转90°，点A旋转到点C，点D旋转到点 ，得到△ ，则 且 ．连结 ． ∵ EMBED Equation.DSMT4 ∴ ． 又∵ ， ∴ 四边形 为平行四边形． ∴ D、M、 三点共线，且 ． 在Rt△ 中，由 , ，得BM=DM且BM⊥DM． 证法3（利用旋转变换）： 连结BD，将△ABD绕点B逆时针旋转90°，点A旋转到点C，点D旋转到点 ，得到△ ，则 且 ． 连结 ，延长ED交AC于点H． ∵ ∠AHD= 90°－∠DAH= 90°－(45°－∠BAD)= 45°＋∠BAD， ， ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ 四边形 为平行四边形． ∴ D、M、 三点共线，且 ． 在Rt△ 中，由 , ，得BM=DM且BM⊥DM． (20070911184008281582)第6题. （2007广西南宁课改，10分）如图，在 中，点 分别是 边的中点，若把 绕着点 顺时针旋转 得到 ． （1）请指出图中哪些线段与线段 相等； （2）试判断四边形 是怎样的四边形？证明你的结论． 答案：解：（1） 2分 4分 （2）方法一：四边形 是平行四边形 5分 证明： 绕点 顺时针旋转 ，得到 6分 8分 9分 又 是 的中点， 四边形 是平行四边形． 10分 方法二：四边形 是平行四边形 5分 证明： 绕点 顺时针旋转 ，得到 6分 8分 又 分别是 的中点 是 的中位线 9分 四边形 是平行四边形 10分 (200709111840094374)第7题. (2007浙江湖州,8分)将图甲中的平行四边形 沿对角线 剪开，再将 沿着 方向平移，得到图乙中的 ，连结 ， ，除 与 外，你还可以在图中找出哪几对全等的三角形（不能另外添加辅助线和字母）？请选择其中的一对加以证明． 答案：解： ； 4分 证明：在 与 中，由题意得： ， 2分 ， ． 1分 ． 1分 证 相应给分． (20070911184010421725)第8题. （2007河南课改，9分）如图，点 分别是 的边 的中点． 求证： ． 答案：证明： 四边形 为平行四边形， ， ． 4分 又 分别是 的四边中点， ． ． 9分 (20070911184011453504)第9题. （2007广东佛山课改，10分）如图，在Rt△ABC中， ，M是AB的中点，AM = AN，MN∥AC. (1) 求证：MN = AC； (2) 如果把条件“AM = AN”改为“AM⊥AN”，其它条件不变， 那么MN = AC不一定成立. 如果再改变一个条件，就能使 MN = AC成立. 请你写出改变的条件并说明理由. 答案：(1) 【方法一】证明：如图，连结CM．　………………………………………………………1分 在Rt△ABC中， ，M是AB的中点，∴CM=AM， ………………………2分 ∴ ． ∵AM=AN，∴ ． ∵MN∥AC，∴ ， ∴ ．……………………………………………………………………………………4分 ∴ ．∴AN∥CM， ……………………………………………………………5分 ∴四边形ACMN是平行四边形． 　………………………………………………………………6分 ∴MN=AC．　……………………………………………………………………………………………………7分 【方法二】如图，连结CM．　…………………………………………………………………………1分 证△ACM≌△MNA. …………………………………………………………………………………………6分 ∴MN=AC． ………………………………………………………………………………………………7分 （注：其它证法，酌情给分） (2) 把“M是AB的中点”改为“过C点作AB的垂线，垂足为M点”． ……9分 理由是：易知CM//AN，又MN∥AC ，有四边形ACMN是平行四边形．……10分 （注：改“Rt△ABC”为“等腰Rt△ABC”，酌情给分） (20070911184012656278)第10题. (2007湖北襄樊非课改，6分)如图， 中， 是对角线 的中点，过点 的直线分别交 于 两点．求证： ． 答案：证明： 四边形 是平行四边形， EMBED Equation.DSMT4， ． 2分 ． EMBED Equation.DSMT4， ， EMBED Equation.DSMT4， 4分 EMBED Equation.DSMT4， 5分 ． 6分 (20070911184013718883)第11题. （2007江苏常州课改，5分）已知，如图，在 中， 的平分线交 边于点 ． 求证： ． 答案：证明： 四边形 是平行四边形， ， ． ． 1分 平分 ， ． 2分 ． 3分 ． 4分 又 ， ． 5分 (20070911184014609809)第12题. （2007江苏南通课改，3分）如图，在 中，已知 ， ， 平分 交 边于点 ，则 等于（ ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 答案：B (20070911184015437508)第13题. （2007辽宁沈阳课改，8分）如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG． 求证：四边形GEHF是平行四边形． 答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD，AB∥CD ∴∠GBE＝∠HDF　　…………………………………………………2分 又∵AG＝CH ∴BG＝DH 又∵BE＝DF ∴△GBE≌△HDF　…………………………………5分 ∴GE＝HF，∠GEB＝∠HFD ∴∠GEF＝∠HFE ∴GE∥HF ∴四边形GEHF是平行四边形．　……………………………8分 (20070911184016546450)第14题. (2007山东威海课改，3分) 与 如图放置，点 分别在边 上，点 在边 上．已知 ， ，则 的度数（ ） A．等于 B．等于 C．等于 D．条件不足，无法判断 答案：B (20070911184017484554)第15题. （2007山西课改，2分）已知 中， 的平分线交 于 ，且 ， ，则 的周长等于 ． 答案：10 (20070911184018734217)第16题. （2007四川德阳课改，7分）如图，已知 中，点 为 边的中点，延长 相交于点 ．求证： ． 答案：证明： 四边形 是平行四边形， 　　　　　 ，即 ． 1分 　　　　　 ， ． 　　　　　 为 的中点， 　　　　　 ． 4分 　　　　　 ． 6分 　　　　　 ． 7分 (20070911184019625675)第17题. (2007四川乐山课改,3分)如图（1），在平面四边形 中， ， 为垂足．如果 ，则 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｂ (20070911184020796963)第18题. (2007四川眉山课改,3分)如图， 和 都是等腰直角三角形， ，四边形 是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A． 以点 为旋转中心，逆时针方向旋转 后与 重合 B． 以点 为旋转中心，顺时针方向旋转 后与 重合 C．沿 所在直线折叠后， 与 重合 D．沿 所在直线折叠后， 与 重合 答案：B (20070911184021671342)第19题. （2007浙江金华课改，4分）国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有 ， ，那么下列说法中错误的是（ ） A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 答案：C (20070911184022421901)第20题. （2007浙江舟山课改，4分）右图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是（ ） Ａ．这两个四边形面积和周长都不相同 Ｂ．这两个四边形面积和周长都相同 Ｃ．这两个四边形有相同的面积，但I的周长大于Ⅱ的周长 Ｄ．这两个四边形有相同的面积，但I的周长小于Ⅱ的周长 答案：D �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� 图1 �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� 图2 A B C D �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� Ｅ Ｄ Ｆ Ｃ Ｂ Ａ �EMBED Word.Picture.8��� 图① 图-② �EMBED Word.Picture.8��� M D B A C E H F M D B A C E �EMBED Equation.DSMT4��� M D B A C E H �EMBED Equation.DSMT4��� . _ A _ B _ �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� A B C D A B C C1 A1 D1 图甲 图乙 A E B F D C G H A N B C M A N B C M �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� A B C D E �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� 1 2 3 �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� A E B C D �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� 黄 蓝 紫 橙 红 绿 A G E D H C F B _1251124354.unknown _1251124585.unknown _1251124701.unknown _1251124775.unknown _1251124858.unknown _1251124915.unknown _1251124923.unknown _1251124927.unknown _1251124929.unknown _1251124933.unknown _1251124934.unknown _1251124930.unknown _1251124928.unknown _1251124925.unknown _1251124926.unknown _1251124924.unknown _1251124919.unknown _1251124921.unknown _1251124922.unknown _1251124920.unknown _1251124917.unknown _1251124918.unknown _1251124916.unknown _1251124880.unknown _1251124885.unknown _1251124913.unknown _1251124914.unknown _1251124889.unknown _1251124891.unknown _1251124893.unknown _1251124887.unknown _1251124882.unknown _1251124883.unknown _1251124881.unknown _1251124862.unknown _1251124876.unknown _1251124878.unknown _1251124879.unknown _1251124877.unknown _1251124864.unknown _1251124865.unknown _1251124875.unknown _1251124863.unknown _1251124860.unknown _1251124861.unknown _1251124859.unknown _1251124804.unknown _1251124828.unknown _1251124833.unknown _1251124841.unknown _1251124856.unknown _1251124857.unknown _1251124855.unknown _1251124843.unknown _1251124837.unknown _1251124839.unknown _1251124835.unknown _1251124830.unknown _1251124831.unknown _1251124829.unknown _1251124815.unknown _1251124826.unknown _1251124827.unknown _1251124819.unknown _1251124823.unknown _1251124825.unknown _1251124821.unknown _1251124817.unknown _1251124806.unknown _1251124807.unknown _1251124805.unknown _1251124779.unknown _1251124784.unknown _1251124802.unknown _1251124803.unknown _1251124788.unknown _1251124793.unknown _1251124801.unknown _1251124791.unknown _1251124786.unknown _1251124781.unknown _1251124782.unknown _1251124780.unknown _1251124777.unknown _1251124778.unknown _1251124776.unknown _1251124725.unknown _1251124746.unknown _1251124771.unknown _1251124773.unknown _1251124774.unknown _1251124772.unknown _1251124750.unknown _1251124754.unknown _1251124756.unknown _1251124758.unknown _1251124752.unknown _1251124748.unknown _1251124741.unknown _1251124743.unknown _1251124744.unknown _1251124742.unknown _1251124727.unknown _1251124739.unknown _1251124740.unknown _1251124737.unknown _1251124738.unknown _1251124728.unknown _1251124726.unknown _1251124721.unknown _1251124723.unknown _1251124724.unknown _1251124722.unknown _1251124703.unknown _1251124719.unknown _1251124720.unknown _1251124717.unknown _1251124718.unknown _1251124704.unknown _1251124702.unknown _1251124626.unknown _1251124676.unknown _1251124680.unknown _1251124690.unknown _1251124694.unknown _1251124698.unknown _1251124700.unknown _1251124696.unknown _1251124692.unknown _1251124682.unknown _1251124683.unknown _1251124681.unknown _1251124678.unknown _1251124679.unknown _1251124677.unknown _1251124652.unknown _1251124672.unknown _1251124674.unknown _1251124675.unknown _1251124673.unknown _1251124654.unknown _1251124670.unknown _1251124671.unknown _1251124655.unknown _1251124653.unknown _1251124633.unknown _1251124650.unknown _1251124651.unknown _1251124637.unknown _1251124641.unknown _1251124649.unknown _1251124639.unknown _1251124635.unknown _1251124629.unknown _1251124631.unknown _1251124627.unknown _1251124610.unknown _1251124615.unknown _1251124624.unknown _1251124625.unknown _1251124623.unknown 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