利用微分中值定理证明不等式

利用微分中值定理证明不等式* 庞永锋 赵彦晖 � (西安建筑科技大学 理学院数学系 � 西安 � 710055) 摘 要 � 给出利用 Lagr ange中值定理和 Cauchy 中值定理证明不等式的方法和步骤, 同时用一些 例子进行说明. 关键词 � 不等式; Lag range中值定理; Cauchy 中值定理; 辅助函数. 中图分类号 � O173. 1 不等式的证明是高等数学中的难点, 也是各类数学考试的重点. 常用的方法是利用导数判断 函数的单调性, 进而证明不等式成立. 在高等数学的教材中还给出了利用微分中值定理证明不等 式的方法, 但是由于构造辅助函数有难度, 同时需要一定的技巧, 因此它相对于上述方法而言使 用不多. 本文给出利用微分中值定理证明不等式的方法和步骤, 同时给出一些例子说明这个方 法, 希望能加深学生对微分中值定理的理解, 并对学生证明不等式有所帮助. 首先给出使用微分中值定理证明不等式的步骤: (1) 构造辅助函数 f ( x ) ; (2) 构造微分中值定理需要的区间[ a, b] ; (3) 利用 � � ( a, b) , 对 f �(�) 进行适当的放缩. 其次给出利用微分中值定理证明[ 1, 2] 中几个不等式的例子. 例 1 � 求证: 当 x > 1时, 2 x > 3- 1 x . 证明 � 设辅助函数 f ( t) = 2 t, 在[ 1, x ] 上对 f ( t) 使用 Lag range中值定理, 则 f ( x ) - f (1) = f�( �) ( x - 1) , � � � (1, x ) . 即 2 x - 2 = 1�( x - 1) . 由于 � � (1, x ) , 则有 1 �> 1 x > 1 x . 因此 2 x - 2 = 1 �( x - 1) > x - 1 x . 整理可得 2 x > 3- 1 x . 例 2 � 求证: 当 x > 0时, 1+ x ln( x + 1 + x 2) > 1 + x 2 . 22 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATH EMATICS � � � � � � � � � Vol. 12, No. 5 Sep. , 2009 * 收稿日期: 2008- 11- 25,修改日期: 2009- 07- 08. 基金项目:陕西省教育厅自然科学专项基金(编号 08JK344) ;西安建筑科技大学人才基金项目( RC0817) . 证明 � 设辅助函数 f ( t) = ln( t + 1+ t2) , 在[ 0, x] 上对 f ( t) 使用 Lagrange中值定理, 则 ln( x + 1 + x 2 ) = x 1 + �2 , � � � (0, x ) . 因此 1+ x ln( x + 1 + x 2) = 1 + �2 + x 2 1 + �2 . 由于 � � (0, x ) , 则 1+ �2 + x 2 1 + �2 > 1+ x 2 1 + x 2 = 1 + x 2 . 因此 1 + x ln( x + 1 + x 2 ) = 1 + �2 + x 2 1+ �2 > 1 + x 2 . 例 3 � 求证: 当 x � (0, � 2 ) 时, tanx > x + x 3 3 . 证明 � 令 f ( t) = tant- t , F( t) = t 3 , 在[ 0, x ] 上对 f ( t) , F( t ) 使用 Cauchy 中值定理, 则 tanx - x x 3 = tan2� 3�2 , � �� ( 0, x ) . 由于 � � (0, x ) � (0, � 2 ) , 则 tan�> �, 进而tan2� 3�2 > 13 .因此 tanx - x x 3 = tan2� 3�2 > 13 . 整理可得 tanx > x + x 3 3 . 文献[ 2] 要求证明当 x � (0, � 3 ) 时, tanx > x - x 3 3 成立.利用例 3很容易证明该不等式, 并 对它进行了推广. 例 4 � 求证: 当 x > 0时, ln(1+ x ) > arctanx 1 + x . 证法一 � 令 f ( t ) = ln(1+ t) , F( t ) = arctant , 在[ 0, x ] 上使用 Cauchy 中值定理, 则 ln( 1+ x ) arctanx = 1 + �2 1 + �, � � � (0, x ) . 由于 � � (0, x ) , 则 1 + �2 1 + �> 11 + x . 因此 ln( 1+ x ) ar ctanx > 1 1 + x . 整理可得 ln(1 + x ) > arctanx 1 + x . 证法二 � 设 f ( x ) = ln( 1+ x ) - arctanx 1 + x 定义在[ 0, + � ) 上,则 23第 12 卷第 5 期 庞永锋,赵彦晖:利用微分中值定理证明不等式 f�( x ) = x 2 (1 + x ) (1 + x 2) + arctanx 1+ x 2 . 当 x > 0时, f �( x ) > 0, 故 f ( x ) 在[ 0, + � ) 上严格单调递增.从而由 f ( x ) > f (0) = 0即得 ln(1 + x ) > arctanx 1 + x . 由上述两种方法的证明可以看出, 利用中值定理证明思路灵活, 计算简单. 使用单调性证明 思路简单, 但是计算相对复杂. 例 5 � 求证: 当 x > 0时, x - x 2 2 < ln(1 + x ) < x - x 2 2( 1+ x ) . 证法一 � 设辅助函数 f ( t) = ln(1+ t) - t, F( t ) = t2 , 在[ 0, x ] 上对 f ( t) , F( t ) 使用Cauchy 中值定理, 则 f ( x ) - f ( 0) F( x ) - F( 0) = f �(�) F�(�) , � � � � (0, x ) . 即 ln(1 + x ) - x x 2 = - 1 2(1 + �) . 由于 � � (0, x ) , 则 - 1 2 < - 1 2(1 + �) < - 12(1+ x ) . 因此 - 1 2 < ln(1 + x ) - x x 2 < - 1 2(1 + x ) . 整理可得 x - x 2 2 < ln(1 + x ) < x - x 2 2(1+ x ) . 证法二 � 设 f ( x) = ln(1+ x) - x+ x 2 2 , g( x) = ln(1+ x) - x + x 2 2(1+ x ) , x � [ 0, + � ), 则 f �( x ) = x 2 1+ x , g�( x ) = - x 2 2(1 + x ) 2 . 当 x > 0时, f �( x ) > 0, g�( x ) < 0, 则 f ( x ) 在[ 0, + � ) 上严格单调递增, g( x ) 在[ 0, + � ) 上 严格单调递减. 故当 x > 0时, 由 f ( x ) > f (0) = 0, � g( x ) < g (0) = 0, 可得 x - x 2 2 < ln(1 + x ) < x - x 2 2(1+ x ) . 从例 5的两种证明方法也可以看出, 利用中值定理证明可以收到毕其功于一役的效果. 而使 用单调性证明就必须构造两个辅助函数分别讨论才能完成证明. 总之, 在证明不等式时要对需要证明的不等式进行适当的变形, 才能构造辅助函数与中值定 理成立需要的区间, 进而利用微分中值定理证明不等式. 参考文献 [ 1] 同济大学应用数学系, 高等数学(上) [ M ] . 5 版. 北京:高等教育出版社, 2002. [ 2] 华东师范大学数学系, 数学分析(上) [ M ] . 3 版. 北京: 高等教育出版社, 2001. 24 高等数学研究 � � � � � � � � � � � � � � � � 2009 年 9 月