2012�ê�Æ
V AN ILLA
1 ©Û
1. Rn¥8ÜS´;8�duS´k.48.
2. LãÚy²õ�¼êLagrange{���TaylorЪ.
3.
∫ 1
0
dx
∫ √x
x
sin y
y
dy.
4. b½n ≥ m > 1,¯´Ä3ëY��N�F : Rn → Rn − {0}, p → F (p), ¦
�F�JacobiÝ
�??m,
lim
p→∞
F (p) =∞,why?
5. �fn(x)´¢¶Rþ�k.�ëY¼ê,÷v∀[a, b] ∈ R,k lim
n→∞
∫ b
a
fn(x)dx = 0.y
²:é∀[c, d] ∈ R±9[c, d]þýéÈ�¼êg(x),ðk lim
n→∞
∫ b
a
g(x)fn(x)dx = 0.
6. �F (x, y, z)ÚG(x, y, z)Ñ´«D ∈ R3þëY�¼ê,÷vN�(x, y, z)→ (F (x, y, z),
G(x, y, z))�JacobiÝ
�3Dþ??1,
¼êF (x, y, z)�FÝþgrad(F )3Dþ?
?Ø0.b½3:p0 = (x0, y0, z0) ∈ D,F (x0, y0, z0) = G(x0, y0, z0) = 0.y²:3:p0�
�U ∈ D,¦�3Uþ¼ê§|F (x, y, z) = G(x, y, z) = 0¼ê§F (x, y, z) = 0Ó
).¯3Dþùü|§´ÄÓ),why?
7. �f(x), g(x)Ñ´«m(a, b)þn���¼ê,e3:x0 ∈ (a, b)þf(x), g(x)�0k��ê
Ñ�,K¡f(x), g(x)3x0?k�.y�f(x), g(x)3(a, b)¥pØÓ�:x1, . . . , xt©
Ok1 − 1, . . . , kt − 1�,
n = k1 + · · ·+ kt.y²:é∀x ∈ (a, b),∃y ∈ (a, b)¦�
f(x) = g(x) +
f (n) − g(n)
n!
(x− x1)k1 . . . (x− xt)kt .
2 ê
1. �V´êPþ�k5m,
Vþ5CA�,z"õªg(x)©)
gϪ�¦È�/ª:
g(x) =
m∏
i=1
(x− λi)ti(i 6= jKλi 6= λj)
y²:e3h(x) ∈ P (x)¦�(x − λi)ti |(h(x) − λi),∀i = 1, . . . ,m,K(i)h(A)é�z;
(ii)h(A)−A´"C.
1
2. �A,Bn�
,D = AB −BA
DA = AD,y²Dn = 0.
3. �VêPþ�n5m,W1, . . . ,WkV�ýfm,y²:
(a) 3V¥�αØáu?ÛWj, j = 1, . . . , k.
(b) 3V�|Äα1, . . . , αn÷vαi /∈
⋃k
j=1Wj, ∀i = 1, . . . , n.
(c) UV�ýfm,-CU , {W |WV�fm
W ⊕ U = V },KCU¥¹káõ
�.
4. �Vnî¼m,A ∈ L(V )´��C.
(a) y²:V©)
½��üü���A−fm�Ú.
(b) �ε1, . . . , εn; η1, . . . , ηnV�ü|IO��Ä,
(ε1, . . . , εn) = (η1, . . . , ηn)A.y²:
A =
cos〈ε1, η1〉 cos〈ε2, η1〉 . . . cos〈εn, η1〉
cos〈ε1, η2〉 cos〈ε2, η2〉 . . . cos〈εn, η2〉
...
... . . .
...
cos〈ε1, ηn〉 cos〈ε2, ηn〉 . . . cos〈εn, ηn〉
(c) (½�î¼mþ1a��Ý
91�a��Ý
�/ª,¿Ñnî
¼mþ��C�qIO.(=,«{z�L«/ª).
3 AÛ
1. ¦n
l1 :
y − x = 0z − 1 = 0 , l2 :
y + x = 0z + 1 = 0 , l3 :
y = 0z = 0
Ñ��¤�)�¡�§.
2. ���C
x′ = x+ y + 3z
y′ = x+ 5y + z
z′ = 3x+ y + z
¦3p���þ,¦�3dCeEC3p���þ;¿ò¤��C
L«��CÚ©Oé3p���1�� C�¦È.
3. y²:©OáuV�Ô¡
x2
a2
− y
2
b2
= 2z (1)
þ�üxpR�1�:�;,´¡(1)²¡2z = b2 − a2��^V
.
2
分析
代数
几何
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