第03章 中值定理、导数应用

nullnull结束第3章 中值定理、导数应用 3.1.1 罗尔定理 3.1.1 罗尔定理 abnull几何解释如图在直角坐标系Oxy中曲线 两端点的连线 平行于 轴,其斜率为零故在曲线弧上定有一点 使曲线在该点的切线平行于弦 ，即平行于 轴。即null则在区间 内至少存在使得3.1.2 拉格朗日中值定理null曲线 处处有不垂直于 轴的切线如图 在直角坐标系Oxy端点连线AB的斜率为所以定理实际是说存在点 ，使曲线在该点的切线T平行于弦AB。即null2.在开区间 内可导，1.在闭区间 上连续；定理3 Cauchy中值定理使得3.1.3 柯西中值定理nullRolle定理是Lagrange定理的特例: 在Lagrange中值定理中如果 则Lagrange中值定理变成Rolle定理； Cauchy定量是Lagrange定理的推广 在Cauchy中值定理中如果 ， 则Cauchy化为Lagrange中值定理。三个中值定理的关系null 如果在某极限过程下,函数f ( x)与g(x)同时趋于零或者同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。 一般分为三种类型讨论：3.2 洛必达法则null定理1 设函数与在的某空心邻域内有定义，且满足如下条件：1． 型未定式．null解解null例3 求 解 此定理的结论对于 时 型未定式同样适用。 例4 求解 null2．　型不定式．的某空心邻域内有定义，且满足如下条件null解: 定理2的结论对于 时的 型未定式的极限问题同样适用。null例6　求解 则可继续使用洛必达法则。即有null如果反复使用洛必达法则也无法确定则洛必达法则失效.的极限。 null例7 求但分子分母分别求导后得此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。 但原极限是存在的，可用下法求得null3．其它型不定式未定式除和型外，还有 型、 型、等五种类型。 型、 型、 型、null型或者 型变为解null型:解 null型未定式:即可化为 型未定式，再化为 型或 型求解。例10 求 解所以null例11 求解 设所以null所以 解null3.3 函数的单调性与极值 定理1 设函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则：1.若在(a,b)内 ,则f (x)在区间(a,b)内单调增加abab3.3.1 函数的单调性及判别法null例2 确定函数 的单调区间.解 所以当 x = -1, x = 1 时 例3 确定函数的单调区间。 3.3.2 函数的极值 函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。 ABCDE极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。从图中可看出,极小值不一定小于极大值，如图中D点是极小值，A点是极大值。 定理3（极值第一判别法）：（1）如果当 时 ，而当 时， 则 在 取得极大值。（）如图所示：在 ，在 ， （）如图所示：在 ，在 ， (4)利用定理3,判断(2)中的点是否为极值点,如果是求极值点的步骤：(1)求函数的定义域(有时是给定的区间);(3)用(2)中的点将定义域(或区间)分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点.(5)求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值. 这三个点将定义域分成四个部分区间，列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 如下极大值极小值 由于 3.3.3 函数的最大值与最小值是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者 最小的就是函数在区间上的最小值。连续函数在区间上的最大值与最小值可通过比较端点处的函数值 和 ;1.区间如下几类点的函数值得到： 上的最大值和最小值。在驻点处函数值分别为在端点的函数值为最大值为最小值为解，得驻点比较上述5个点的函数值，即可得 在区间上的nullM1xyoM2M1xyoM23.4.1 曲线的凹凸与拐点定义1：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方，则称曲线在这个区间上是凹的。如图所示3.4 函数图形的描绘null 如果曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线在这个区间上是凸的。如下图： 当曲线为凹时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而增加，即 是增函数；反之，当曲线为凸时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而减少，即 是减函数。 M1xM2yoM1xyoM2null定理1 设函数 在区间 内具有二阶导数 （1）如果 ∈ 时，恒有 ，则曲线 在 内为凹的； （2）如果 ∈ 时，恒有 ，则曲线 在 内为凸的。 定义2 曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点。 拐点既然是凹与凸的分界点，所以在拐点的某邻域内 必然异号，因而在拐点处 或 不存在。 null例1 求曲线 的凹凸区间与拐点。 解  令 ，得 ， 列表如下有拐点有拐点null 可见,曲线在区间 内为凹的，在区间 内为凸的，曲线的拐点是 和 . 如果函数 在 的某邻域内连续，当在点 的二阶导数不存在时，如果在点 某空心邻域内二阶导数存在且在 的两侧符号相反，则点 是拐点；如果两侧二阶导数符号相同，则点 不是拐点.综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下： （1）求一阶及二阶导数 ， ； （2）求出 及 不存在的点；null（3）以（2）中找出的全部点，把函数的定义域分成若干部分区间，列表考察 在各区间的符号，从而可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。 例2 求曲线 的凹凸区间与拐点。 解 函数的定义域为 当 时， ，故以 将定 义域分成三个区间，列表如下： null 在 处，曲线上对应的点 与 为拐点。 null3.4.2 曲线的渐近线 有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无限远处延伸，如双曲线、抛物线等。有些向无穷远延伸的曲线，越来越接近某一直线的趋势，这种直线就是曲线的渐近线。 定义3 如果曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线。1．水平渐近线如果曲线 的定义域是无穷区间，且有 或 ,则直线 为曲线 的渐近线，称为水平渐近线.如下图 nullxyoxyo例3 求曲线 的水平渐近线。 解 因为 所以 是曲线的一 条水平渐近线，如图示null2、铅直渐近线 如果曲线 满足 或 则称直线 为曲线 的铅 直渐近线（或垂直渐近线），如图例４　求曲线 的铅直渐近线。 解 因为 所以 是曲线的一条铅直渐近线。如前页图所示null3.4.3 函数图形的作法 函数的图形有助于直观了解函数的性质，所以研究函数图形的描绘 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 很有必要，现在综合上面对函数性态的研究，可以得出描绘函数图形的一般步骤如下： （1）确定函数的定义域； （2）确定函数的奇偶性（曲线的对称性）和周期性； （3）确定函数的单调区间和极值; （4）确定曲线的凹凸区间和拐点； （5）考察曲线的渐近线； （6）算出一些点，特别是曲线与坐标轴的交点坐标。（7）用平滑的曲线连接各点。null解 （1）定义域为:（2）求函数的增减区间、极值、凹凸区间及拐点；因为 ，令 得 ； 令 得 列表如下:null（3）渐近线：因为 所以 为水平渐近线； 又因为 ， 所以 为铅直渐近线。 （4） 描出几个点：xyo如图所示作出函数图形null 例6 在经济学中，会经常遇到函数 试作出函数的图形。 解 （1）定义域：（－∞，+∞）； （2）奇偶性：由于 ，故 为偶函数，其图形关于 轴对称； （3）增减、极值、凹凸及拐点： 因为令 ，得 ； 令 ，得 ， ，null（4）渐近线 所以 是水平渐近线。 先作出函数在 内的图形，然后利用对称性作出区间 内 的图形，如图 null列表讨论如下其中 ， ； 3.5 导数在经济中的应用 3.5.1 函数的变化率——边际函数 边际成本是总成本的变化率。 设C为总成本，下面介绍几个常见的边际函数:1．边际成本 则有总成本函数 平均成本函数 边际成本函数 时的总成本，平均成本及边际成本。解 由 令 得边际成本于是当 时总成本 平均成本 Q 为多少时，平均成本最小?例3 在例1中，当产量解 所以,当Q = 20时平均成本最小。null2．收益 平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。 设P为商品价格，Q 为商品量，R 为总收益， 为平均收益， 为边际收益，则有 需求函数 总收益函数 平均收益函数 边际收益函数 null需求与收益有如下关系: 总收益 平均收益 边际收益总收益与平均收益及边际收益的关系为 求销售量为30时的总收益，平均收益与边际收益。例4 设某产品的价格和销售量的关系为解 总收益 平均收益 边际收益 3．利润 在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量的函数，分别记为和，则总利润可表 示为最大利润原则:取得最大值的必要条件为 即所以取得最大利润的必要条件是:边际收益等于边际成本 例5 已知某产品的需求函数为 成本函数为 问产量为多少时总利润 L 最大?解 已知 ,于是有令 得所以当Q=20时总利润最大 例6某工厂生产某种产品，固定成本20000元，每生产 一单位产品，成本增加100元。已知收益解 根据题意，总成本函数为是年产量的函数问每年生产多少产品时总利润最大?此时总利润是多少?从而可得总利润函数为 令 得由于 ,故 时利润最大此时 即当生产量为300个单位时, 总利润最大,其最大利润为25000元. 设某企业某种产品的生产量为 个单位, 代表总成本, 代表边际成本,每单位产品的平均成本为 在生产实践中,经常遇到这样的问题,即在既定的生产规模条件下,如何合理安排生产能使成本最低,利润最大?4．成本最低的生产量问题 于是由极值存在的必要条件知，使平均成本为极小的生产量应满足 ,于是得到一个经济学中的重要结论: 使平均成本为最小的生产水平（生产量 ），正是使边际成本等于平均成本的生产水平（生产量）。 试求使平均成本最小的产量水平。 ,由于所以 是平均成本 的最小值点也就是平均成本最小的产量水平 此时 即 时,边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小. 5．库存管理问题 在总需求一定的条件下，企业所需原材料的订购费用与 保管费用是成反比的。 订购批量大,次数少,费用就小,保管费用就相应增加； 订购批量小,次数多,费用就大,保管费用就相对较少。 因此就有一个如何确定订购批量使总费用最少的问题。下面我们只研究等批量等间隔进货的情况，它是指某种物资的库存量下降到零时，随即到货，库存量由零恢复到最高库存，每天保证等量供应生产需要，使之不发生缺货。 假设某企业某种物资的年需用量为R,单价为P,平均一次因此订货费用为2）保管费用 在进货周期内都是初始最大，最终为零，订货费用为C1 ，年保管费用率（即保管费用与库存商品价值之比）为Ｃ２，订货批量为 　，进货周期（两次进货间隔)Ｔ，进货周期Ｔ，则年总费用由两部分组成：１)订货费用　每次订货费用为Ｃ1，年订货次数为　　所以全年每天平均库存量为　　，故保管费用为 于是总费用故可用求最值法求得最优订购批量 ， 最优订购次数以及最优进货周期Ｔ，此时总费用最小。　　解 设最优订购批量为　则订购次数为 例8 某种物资一年需用量为24000件，每件价格为40元， 年保管费率12%,为，每次订购费用为64元，试求最优订购批量最优订购次数，最优进货周期和最小总费用（假设产品的销售是均匀的）于是订货费用为，保管费用为 从而总费用 又因为于是当件时总费用最低，从而最优订货批量 (件/批) 最优订货批次 (批/年) 最优进货周期 (天)(全年按360天计) 最小进货总费用 (元) 令　　　 得 (件/批) null3.5.2 函数的相对变化率—函数的弹性1、弹性定义2 设函数在点与自变量的相对改变量之比称为函数从到当时，的极限称为在导数，也就是相对变化率，或称弹性。两点间的相对变化率，或称两点间的弹性处的相对记作 处可导,函数的相对改变量null是 的函数,若 可导 即为定值。对一般的的弹性函数。函数 在点 的弹性 反映了随着 的变化 变化幅度的大小,也就是 随 变化反映的强烈列程度或灵敏度.表示在 ,当 产生1%的变化时, 近似的称为当为定值时则有改变null( 为常数）的弹性函数。 例9 求函数 在 处的弹性. 解例10 求幂函数 解 可以看到，幂函数的弹性函数为常数，即在任意点 处弹性不变，所以称为不变弹性函数 null为商品在价格为Ｐ时的需求价格弹性．记为　　即2．需求弹性与供给弹性 (1)需求弹性“需求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有 能力购买的商品量。通常需求是价格的函数，P 表示商品的价格,Q 表示需求量， 称为需求函数。 定义3 设某商品的需求函数在P处可导,称 解 需求函数为例11 已知某商品的需求函数 求 时的需求弹性并说明其意义 说明P=5时，价格上涨1%，需求量减少0.5％说明P=10时，价格与需求的变动幅度相同说明P=15时，价格上涨1%，需求量减少1.5％ （2）供给弹性 “供给”是指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有 可供出售的商品量。通常供给是价格的函数，P表示商品的价格，Q表示供给量，称为供给函数我们用D表示需求曲线，用表示供给曲线，如图示．定义4 设某商品的供给函数 　　　　在Ｐ处可导，称　　　　　　　 为商品在价格即为Ｐ时的供给弹性，记　　当　　　　时，需求量 大于供给量 ，供不应求， 会形成抢购黑市等，将导致价格上涨，Ｐ增加；　（3）均衡价格 均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格。在图中是在需求曲线Ｄ与供给曲线Ｓ的交点Ｅ处的处的横坐标Ｐ＝Ｐ０，此时需求量与供给量均为 ,称均衡商品量当　　　　时，需求量 小于供给量 ，供大于求；商品滞销。这种状况也不会持久，必然导致价格下跌， P减小 。　总之，市场上商品价格将围绕均衡价格摆动 null 而将　　　 的商品称为富有弹性商品．由于　　　　　　　，而边际收益当　　　　时，　　　，Ｒ取得最大值．3.边际收益与需求弹性的关系由此可知，当 　　　　时，　　　，Ｒ递增，即价格上涨会使总收益增加；价格下跌会使总收益减少．当 　　　 时，　　　，Ｒ递增，即价格上涨会使总收益减少；价格下跌会使总收益增加．在经济学中，将　　　 的商品称为缺乏弹性商品， 将　　　 的商品称为单位弹性商品，