第02章 导数与微分

nullnull第2章 导数与微分1.1 导数的概念 1.2 导数的运算 1.3 微分结束null2.1.1 引出导数概念的实例例1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示, 在曲线上任取两点 和 ，作割线 ，割线的斜率为2.1 导数的概念null这里 为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角， 当 时，点N沿曲线趋于点M。若上式的 极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线 MT的斜率，即null当 趋向于0时，如果极限设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产量Q 从 变到 时，总成本相应地改变量为 当产量从 变到 时，总成本的平均变化率存在，则称此极限是产量为 时总成本的变化率。例2 产品总成本的变化率null定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义， 属于该邻域，记 若 存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为或2.1.2 导数的概念null导数定义与下面的形式等价：若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.null三、左导数与右导数 左导数: 右导数:显然可以用下面的形式来定义左、右导数定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.null三、导数的几何意义 当自变量 从变化到 时，曲线y=f(x)上的点由 变到此时 为割线两端点M0，M的横坐标之差，而 则为M0，M 的纵坐标之差，所以 即为过M0，M两点的割线的斜率.null 曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲 线y=f(x)无限接近 时的极限位置M0P，因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：所以，导数 的几何意义是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0))处的切线斜率.M0Mnull 设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为： 而当 时,曲线 在 的切线方程为(即法线平行y轴).当 时,曲线 在 的法线方程为而当 时,曲线 在 的法线方程为null例3 求函数 的导数 解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取极限: 同理可得: 特别地, . null例4 求曲线 在点 处的切线与法线方程. 解:因为 ,由导数几何意义,曲线 在点 的切线与法线的斜率分别为: 于是所求的切线方程为: 即 法线方程为:即null2.1.4 可导性与连续性的关系定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导，则f(x)在点x0 处连续.证 因为f (x)在点x0处可导，故有根据函数极限与无穷小的关系,可得:两端乘以 得:由此可见:即函数y = f (x)在点x0 处连续.证毕.null例5 证明函数 在x=0处连续但不可导.证 因为所以 在x =0连续而即函数 在x=0处左右导数不相等,从而在x=0不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件即可导定连续,连续不一定可导.null2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则2.2 导数的运算特别地,如果可得公式null注：法则（1）（2）均可推广到有限 多个可导函数的情形例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均 可导，则null例2 设null解：例3 求y = tanx 的导数null例4 求 y = secx 的导数　null基本导数公式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 2.2.2 基本初等函数的导数nullnullnull 2.2.3 复合函数的导数nullnull证 因为 的反函数 2.2.4 反函数的求导法则null因此在对应的区间（-1，1）内有null1. 隐函数的导数例9 求方程 所确定的函数的导数解：方程两端对x求导得2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 。 即nullnullnull两边对x求导，由链导法有 解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：null两边对x求导得null此即参数方程所确定函数的求导公式2.参数方程所确定的函数的导数变量y与x之间的函数关系有时是由参数方程确定的，其中t 称为参数null 曲线t =1在处的切线斜率为于是所求的切线方程为 y =－xnull二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数2.2.6 高阶导数nullnull2.3.1 微分的概念2.3 微分nullnull记为null于是函数，称自变量的微分，上式两端同除以自变量的微分，得因此导数也称为微商．可微函数：如果函数在区间(a , b)内每一点都可微， 则称该函数在(a , b)内可微。f (x)在点x0 处的微分又可写成f(x) 在(a,b)内任一点x处的微分记为nullnull2.3.2 微分的几何意义null2.3.3 微分的运算法则1. 微分的基本公式：null续前表null2. 微分的四则运算法则设u=u(x)，v=v(x)均可微 ，则null3．复合函数的微分法则 利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐 函数的微分.null null 由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个 不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即 可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常 把函数的导数与微分的运算统称为微分法． 在高等数学中，把研究导数和微分的有关内 容称为微分学．null2.3.4 微分在近似计算中的应用上式中令（2）（3）公式(1) (2) (3)可用来求函数f(x)的近似值。nullnullnull