一、选择题
1.(2012·秦皇岛模拟)直线x+eq \r(3)y+1=0的倾斜角是( )
A.eq \f(π,6)
B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3)
D.eq \f(5π,6)
解析:由直线的方程得直线的斜率为k=-eq \f(\r(3),3),设倾斜角为α,则tanα=-eq \f(\r(3),3),所以α=eq \f(5π,6).
答案:D
2.已知点A(1,-2),B(m,2),且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-2=0,则实数m的值是( )
A.-2
B.-7
C.3
D.1
解析:由已知kAB=2,即eq \f(4,m-1)=2.∴m=3.
答案:C
3.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1在x轴上的截距为1,则实数m是( )
A.1
B.2
C.-eq \f(1,2)
D.2或-eq \f(1,2)
解析:令y=0则(2m2+m-3)x=4m-1,
∴x=eq \f(4m-1,2m2+m-3)=1.
∴m=2或-eq \f(1,2).
答案:D
4.已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k).若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2,则直线l2的方程为( )
A.x+3y-5=0
B.x+3y-15=0
C.x-3y+5=0
D.x-3y+15=0
解析:由条件知kl1=3,kl2=-k,
∴3×(-k)=-1.∴k=eq \f(1,3).即kl2=-eq \f(1,3).
又过点(0,5),∴l2:y=-eq \f(1,3)x+5.
即x+3y-15=0.
答案:B
5.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),当x<0时,f(x)>1,方程y=ax+eq \f(1,a)
表
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示的直线是
( )
解析:∵f(x)=ax且x<0,f(x)>1,
∴0
1.
又∵y=ax+eq \f(1,a),
令x=0得y=eq \f(1,a),
令y=0得x=-eq \f(1,a2)
∵|-eq \f(1,a2)|>eq \f(1,a),故C项图符合要求.
答案:C
二、填空题
6.若A(-2,3),B(3,-2),C(eq \f(1,2),m)三点共线,则m的值为________.
解析:由kAB=kBC,即eq \f(-2-3,3+2)=eq \f(m+2,\f(1,2)-3),得m=eq \f(1,2).
答案:eq \f(1,2)
7.经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为________.
解析:设所求直线方程为eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1,
由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(-\f(2,a)+\f(2,b)=1,,\f(1,2)|a||b|=1,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a=-1,,b=-2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a=2,,b=1.))
∴2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求.
答案:2x+y+2=0或x+2y-2=0
三、解答题
8.在△ABC中,已知A(5,-2)、B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:
(1)顶点C的坐标;
(2)直线MN的方程.
解:(1)设C(x0,y0),则AC中点M(eq \f(5+x0,2),eq \f(y0-2,2)),
BC中点N(eq \f(7+x0,2),eq \f(y0+3,2)).
∵M在y轴上,∴eq \f(5+x0,2)=0,x0=-5.
∵N在x轴上,∴eq \f(y0+3,2)=0,y0=-3.
即C(-5,-3).
(2)∵M(0,-eq \f(5,2)),N(1,0).
∴直线MN的方程为eq \f(x,1)+eq \f(y,-\f(5,2))=1.
即5x-2y-5=0.
9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程:
(1)过定点A(-3,4);(2)斜率为eq \f(1,6).
解:(1)设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴,y轴上的截距分别是-eq \f(4,k)-3,3k+4,
由已知,得(3k+4)(eq \f(4,k)+3)=±6,
解得k1=-eq \f(2,3)或k2=-eq \f(8,3).
故直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=eq \f(1,6)x+b,
它在x轴上的截距是-6b,
由已知,得|-6b·b|=6,∴b=±1.
∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.
10.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解:(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距都为零,截距相等,
∴a=2,方程即3x+y=0.
若a≠2,由于截距存在,∴eq \f(a-2,a+1)=a-2.
即a+1=1.∴a=0.
方程即x+y+2=0.
(2)法一:将l的方程化为
y=-(a+1)x+a-2,
∴欲使l不经过第二象限,当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(-a+1≥0,,a-2≤0.))
∴a≤-1.
综上可知,a的取值范围是a≤-1.
法二:将l的方程化为
(x+y+2)+a(x-1)=0(a∈R),
它表示过l1:x+y+2=0与l2:x-1=0的交点(1,-3)的直线系(不包括x=1).由图像可知l的斜率-(a+1)≥0时,l不经过第二象限,∴a≤-1.