概率论与数理统计复习知识概括[1]

概率论与数理统计复习知识概括[1] 概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(():每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A B(事件B包含事件A )事件A...

概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(():每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A B(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生. 2.A∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生. 3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生. 4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生. 5. AB=( (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生. 6. AB=(且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德•摩根律三. 概率的定义与性质 1.定义对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性对于两两互不相容的事件A1,A2,…(A iAj=φ, i≠j, i,j=1,2,…), P(A1∪A2∪…)=P( A1)+P(A2)+… 2.性质 (1) P(() = 0 , 注意: A为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,A n , P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A B, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n个事件A1,A2,…,A n …+(-1)n-1P(A1A2…A n) 四.等可能(古典)概型 1.定义如果试验E满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,e n};(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e1)=P(e2)=…= P(e n ).则称试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1) (n≥2, P(A1A2…A n-1) > 0) 3. B1,B2,…,B n是样本空间S的一个划分(BiBj=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n, B1∪B2∪…∪B n=S) ,则当P(B i)>0时,有全概率公式 P(A)= 当P(A)>0, P(B i)>0时,有贝叶斯公式P (Bi|A)= . 六.事件的独立性 1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B为相互独立的事件. (1)两个事件A,B相互独立( P(B)= P (B|A) . (2)若A与B,A与 , 与B, , 与中有一对相互独立,则另外三对也相互独立. 2.三个事件A,B,C满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C三事件相互独立. 3.n个事件A1,A2,…,A n,如果对任意k (10) 三.连续型随机变量 1.定义如果随机变量X的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)= ,-∞< x <∞,则称X为连续型随机变量,其中f (x)称为X的概率密度(函数). 2.概率密度的性质 (1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 =1 ; (3) P{x 10). (3)X~N ((,(2 )参数为(,(的正态分布 -(0. 特别, (=0, (2 =1时,称X服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度 , 标准正态分布函数 , ((-x)=1-Φ(x) . 若X～N (((,(2), 则Z= ~N (0,1), P{x1z (}= P{Z<-z (}= P{|Z|>z (/2}= (,则点z (,-z (, (z (/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧(分位点. 注意：((z ()=1-( , z 1- (= -z (. 四.随机变量X的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数 X x 1 x2 … x k … p k p 1 p2 … p k … Y=g(X) g(x1) g(x2) … g(x k) … 若g(x k) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律. 若g(x k) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X的概率密度为fX(x),则求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)常用两种方法： (1)分布函数法先求Y的分布函数FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}= 其中Δk(y)是与g(X)≤y对应的X的可能值x所在的区间(可能不只一个),然后对y求导即得fY(y)=FY /(y) . (2)公式法若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为其中h(y)是g(x)的反函数 , (= min (g (-(),g (()) (= max (g (-(),g (()) . 如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 (= min (g (a),g (b)) (= max (g (a),g (b)) . 第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数 1.定义若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量. 对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数. 2.分布函数的性质 (1)F(x,y)分别关于x和y单调不减. (2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ()=0, F(-(,y)=0, F(-(,-()=0, F((,()=1 . (3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 10,则称 P{X=x i |Y=yj} 为在Y= yj条件下随机变量X的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=xi}>0,则称 P{Y=yj|X=x i} 为在X=xi条件下随机变量Y 的条件分布律. 第四章随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i}= pi ( i =1,2,…) 概率密度f (x) 数学期望(均值)E(X) (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 方差D(X)=E{[X-E(X)]2} =E(X2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 标准差((X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质 1. c为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) . 2.X,Y为任意随机变量时, E (X±Y)=E(X)±E(Y) . 3. X与Y相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X±Y)=D(X)+D(Y) . 4. D(X) = 0 P{X = C}=1 ,C为常数. 三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0

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