null线性代数总复习线性代数总复习二、定义、定理及重要结论一、知识脉络三、题型分析及典型例题
nullnull矩
阵nullnullnull矩阵的定义矩阵的定义定义、定理null 方阵 列矩阵 行矩阵 方阵 列矩阵 行矩阵 同型矩阵和相等矩阵 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称
它们是同型矩阵． 同型矩阵和相等矩阵 零矩阵 单位矩阵 零矩阵 单位矩阵矩阵相加交换律结合律矩阵相加数乘矩阵运算规律数乘矩阵 矩阵相乘 矩阵相乘null运算规律 全排列 全排列 逆序数 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为
偶数的排列称为偶排列． 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆
序数． 逆序数计算排列逆序数的方法 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数
码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，
每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．方法2方法1计算排列逆序数的方法 对 换定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改
变奇偶性．推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数． 对 换 n阶行列式的定义 n阶行列式的定义null n阶行列式的性质 n阶行列式的性质null 行列式按行（列）展开１）余子式与代数余子式 行列式按行（列）展开null２）关于代数余子式的重要性质克拉默法则克拉默法则null克拉默法则的理论价值定理定理方阵的运算n阶方阵的幂方阵的运算null方阵的行列式运算规律一些特殊的矩阵转置矩阵一些特殊的矩阵null对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵null上三角矩阵 主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三
角矩阵．下三角矩阵 主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三
角矩阵．null伴随矩阵逆矩阵定义逆矩阵null相关定理及性质 分块矩阵 矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于
论证． 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则
相类似． 分块矩阵初等变换的定义初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换null 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是
同一类型的初等变换． 矩阵的等价反身性传递性对称性 矩阵的等价 初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵． 初等矩阵null （１）换法变换：对调两行（列），得初等
矩阵 ．null （２）倍法变换：以数 （非零）乘某行（
列），得初等矩阵 ．null （３）消法变换：以数 乘某行（列）加到另
一行（列）上去，得初等矩阵 ． 行阶梯形矩阵 经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩
阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全
为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的
行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）
后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第
一个非零元．例如 行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一
步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一
个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都
为0．例如 行最简形矩阵 矩阵的标准形 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到
矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩
阵，其余元素都为0．例如 矩阵的标准形null 所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一
个等价类，标准形 是这个等价类中形状最简单的
矩阵． 矩阵的秩定义 矩阵的秩定义 矩阵秩的性质及定理定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数． 矩阵秩的性质及定理null 线性方程组有解判别定理定理定理 线性方程组有解判别定理线性方程组的解法 齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形
矩阵，写出通解． 非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯
形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有
解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出
通解．线性方程组的解法 初等矩阵与初等变换的关系定理 初等矩阵与初等变换的关系定理推论 向量的定义分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量． 向量的定义定义nullnull向量的相等零向量分量全为0的向量称为零向量．负向量 向量的线性运算向量加法 向量的线性运算null数乘向量 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运
算，满足下列八条运算规则：nullnull除了上述八条运算规则，显然还有以下性质： 线性组合 若干个同维数的列（行）向量所组成的集合
叫做向量组．定义 线性组合 线性表示定义 线性表示null定理定义 线性相关定义 线性相关定理null定理null 向量组的秩定义 向量组的秩null等价的向量组的秩相等．定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于
它的行向量组的秩．定理 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量
组B的秩不大于向量组A的秩．推论１null推论２推论３（最大无关组的等价定义） 向量空间 向量空间null 子空间定义 子空间 基与维数定义 基与维数null 齐次线性方程组向量方程 齐次线性方程组nullnull解向量null解向量的性质性质１性质２定义null定理定义 非齐次线性方程组向量方程 非齐次线性方程组null解向量的性质性质１性质２解向量 线性方程组的解法（１）求齐次线性方程组的基础解系 线性方程组的解法null 第一步：对系数矩阵 进行初等行变换，使其
变成行最简形矩阵nullnull 第三步：将其余 个分量依次组成 阶
单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系null（２）求非齐次线性方程组的特解nullnull即为所求非齐次线性方程组的一个特解． 向量内积的定义及运算规律定义 向量内积的定义及运算规律null 向量的长度定义向量的长度具有下列性质： 向量的长度null 向量的夹角定义 向量的夹角 正交向量组的性质 所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零
向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正
交基．定理定义 正交向量组的性质null施密特正交化方法null第一步 正交化null第二步 单位化 正交矩阵与正交变换定义 正交矩阵与正交变换null定义 若 为正交矩阵，则线性变换 称为
正交变换．正交变换的特性在于保持线段的长度不变． 方阵的特征值和特征向量定义 方阵的特征值和特征向量null 有关特征值的一些结论 有关特征值的一些结论 有关特征向量的一些结论定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性
组合仍是属于这个特征值的特征向量． 有关特征向量的一些结论 相似矩阵定义 矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；
(3)传递性． 相似矩阵 有关相似矩阵的性质 有关相似矩阵的性质null (4) 能对角化的充分必要条件是 有 个线
性无关的特征向量．１１ 实对称矩阵的相似矩阵１１ 实对称矩阵的相似矩阵 二次型定义 二次型null二次型与它的矩阵是一一对应的． 二次型的标准形定义 二次型的标准形 化二次型为标准形 化二次型为标准形null 正定二次型定义 正定二次型 惯性定理 惯性定理null注意 正定二次型的判定 正定二次型的判定null
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