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初中数学知识点.doc

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上传者: 木木 2012-04-24 评分 3 0 14 2 64 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《初中数学知识点doc》,可适用于初中教育领域,主题内容包含初中数学知识点相反数:只有符号不同的两个数我们说其中一个是另一个的相反数也称为这两个数互为相反数。的相反数是。用数学语言表述为:若a、b互为相反数则符等。

初中数学知识点相反数:只有符号不同的两个数我们说其中一个是另一个的相反数也称为这两个数互为相反数。的相反数是。用数学语言表述为:若a、b互为相反数则ab=即反之也成立。数a的相反数是a。倒数:若a、b(a、b均不为)互为倒数则ab=即反之也成立。a的倒数是。没有倒数和的倒数是它们本身。有理数和无理数统称为实数。实数分为有理数和无理数也可分为正实数、、负实数。实数与数轴上的点一一对应。有理数分为正有理数、、负有理数它们均是有限小数或无限循环小数也可分为整数和分数整数又分为正整数、、负整数分数又分为正分数、负分数。无理数分为正无理数和负无理数它们都是无限不循环小数。π是无理数是分数是小数是有理数是自然数。绝对值的几何定义:在数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值数a的绝对值记为“|a|”。代数定义:一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数的绝对值是。于是|a|=a|a|=aa。任何一个实数的绝对值都是非负数即|a|。或或若|x|=a(a)则x=a即绝对值的原数的双值性。数轴上两点A()、B()之间的距离为|AB|=||其中点所表示的数为。坐标平面内两点A()、B()的距离为:|AB|=中点C的坐标为()点A到x轴的距离为||到y轴的距离为||到原点的距离为如果=且则直线AB平行于y轴如果=且则直线AB平行于x轴。科学记数法:把一个数写成an的形式(其中a<n是整数)这种记数法叫做科学记数法。记数的方法:()确定aa是只有一位整数数位的数()确定n当原数时n等于原数的整数位数减当原数<时n是负整数它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)。近似数:按某种接近程度由四舍五入得到的数或大约估计数叫做近似数。一般地一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位。一个数的近似数常常要用科学记数法来表示。有效数字:一个近似数从左边第一个不是零的数字起到精确到的位数止所有的数字都叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种:()精确到哪一位数()保留几个有效数字。近似数非零数之间的和尾巴上的都是有效数字。实数大小的比较:在数轴上表示的两个数右边总比左边的大正数大于零负数小于零正数大于一切负数两个负数绝对值大的反而小。实数加法法则:()同号两数相加取相同的符号并把绝对值相加()异号两数相加绝对值相等时和为绝对值不等时取绝对值较大的数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值。加法交换律ab=ba加法结合律(ab)c=a(bc)减去一个数等于加上这个数的相反数即ab=a(b)减法运算的步骤:()将减号变成加号把减数的相反数变成加数()按照加减运算的步骤进行运算。两数相乘同号得正异号得负并把绝对值相乘。实数乘法与加法运算步骤一样第一步确定符号第二步确定绝对值。零乘以任何数都得。乘法交换律ab=ba乘法结合律(ab)c=a(bc)乘法分配律a(bc)=abac两数相除同号得正异号得负并把绝对值相除除以任何一个不等于的数都得除以一个数等于乘以这个数的倒数即ab=a(b)乘方运算的性质:()正数的任何次幂都是正数()负数的奇次幂是负数负数的偶次幂是正数()任何数的偶次幂都是非负数()的偶次幂是的奇次幂是()的任何次幂都是的任何非零次幂都是()负整数指数幂()零指数幂列代数式及代数式的求值:用运算符号把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式单独一个数或一个字母也是代数式代数式分为有理式、无理式有理式又分为整式、分式整式分为单项式、多项式。列代数式时要注意问题的语言叙述所直接或间接表示的运算顺序。一般来说先读的先写要正确使用表明运算顺序的括号列代数式时出现乘法时通常省略乘号数与字母相乘要将数写在字母前面带分数要化成假分数然后再与字母相乘数字与数字相乘仍用“”号:出现除法运算时一般按分数的写法来写。代数式的求值是用代数值代替代数式里的字母按照代数式指明的运算顺序计算出结果。列代数式时如果代数式后跟单位应该将含有加减运算的代数式用括号括起来。同类项:所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项把同类项合并成一项就叫做合并同类项。合并同类项的法则就是字母及字母的指数不变系数相加。同类项与系数的大小没有关系。单项式:数与字母的乘积的代数式叫做单项式单项式中的数字因数叫做单项式的系数一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。单独一个数或一个字母也是单项式。单独一个非零数的次数是。多项式:几个单项式的和叫做多项式。在多项式中每个单项式叫做多项式的项其中不含字母的项叫做常数项一个多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数单项式和多项式统称为整式。π是数是一个具体的数而不是一个字母。是单项式也是整式。整式的加减法则:整式的加减实质上是合并同类项。几个整式相加减通常用括号把每一个整式括起来再用加减号连接起来一般步骤是:()如果遇到括号按去括号法则先去括号()合并同类项。同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘底数不变指数相加即aman=amn(m、n都是正整数)幂的乘方与积的乘方法则:幂的乘方底数不变指数相乘即(am)n=amn(m、n都是正整数)积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂的相乘即(ab)n=ambn(n是正整数)单项式与单项式相乘把它们的系数、相同字母的幂分别相乘其余字母连同它的指数不变作为积的因式。单项式与多项式相乘就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一个项再把所得的积相加多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把所得的积相加。平方差公式:(ab)(ab)=ab完全平方公式:(ab)=aabb完全平方式:aabb特别注意交叉项的正负性和倍。(ab)=(ab)ab同底数幂的除法法则:同底数幂相除底数不变指数相减即aman=amn(am、n都是正整数m>n)零次幂、负整数次幂的意义:a=(a)ap=(ap是正整数)单项式除以单项式:单项式相除把系数、同底数幂分别相除作为商的因式对于只在被除式里含有的字母则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式:一般地多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以这个单项式再把所得的商相加。应该注意整式乘法与除法中的符号运算。把一个多项式化成几个整式的积的形式这种变形叫做把这个多项式分解因式多项式的因式分解常用的方法有:提取公因式法、公式法。分解因式的公式:平方差公式:ab=(ab)(ab)完全平方公式:aabb=(ab)分解因式的一般步骤:提公因式二项考虑平方差公式三项的考虑完全平方公式或十字相乘法四项及以上考虑分组分解法。有时得用换元法(整体考虑)或者比较系数法。几个整式相乘所有最高次项相乘得最高次项最低次项相乘得最低次项。分式:如果除式B中含有字母那么称为分式。当B=时分式无意义当A=0且B时分式的值为0当B时分式有意义。分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式分式的值不变即。分式的乘除法:两个分式相乘把分子相乘的积作为积的分子把分母相乘的积作为积的分母两个分式相除把除式的分子与分母颠倒位置后现与被除式相乘。即。约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去这种变形叫做分式的约分。分子、分母和分式三个符号的同时改变两个其结果不变分数线有时起着括号的作用即。分式的加减法:同分母的加减分母不变把分子相加加减异分母的分式相加减先通分化为同分母的分式然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。即。分式的乘方:混合运算:先乘方再乘除最后加减有括号的先算括号里面的。解分式方程的一般步骤:去分母将分式方程化为整式方程解这个整式方程验根把整式方程的根代入最简公分母若值不为则是原方程的根若值为则是原方程的增根舍去。分式方程的应用:分式方程应用题与一元方程应用题类似不同的是注意双检验:()检验所求的解是不是原方程的解()检验所求的解是否符合题意。注意已知增根求待定字母的取值。分式方程有解的条件为:去分母后的整式方程有解去分母后的整式方程的解不能都为增根。当结果中含有根式时一定要化成最简根式。二次根式的相关概念:()平方根和算术平方根。一般地如果一个正数x的平方等于a即x=a那么这个正数x就叫做a的算术平方根记为我们规定的算术平方根是即。如果一个数x的平方等于a即x=a那么这个数x就叫做a的平方根(也叫二次方根)记为。一个正数有两个平方根只有一个平方根它是本身负数没有平方根。求一个数a的平方根的运算叫做开平方。()立方根。如果一个数x的立方等于a即x=a那么这个数x就叫做a的立方根。正数的立方根是正数的立方根是负数的立方根是负数。一个正数正的平方根叫做它的算术平方根。最简二次根式:被开方数的因数都是整数因式都是整式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。二次根式的化简:二次根式的计算:二次根式的加减法主要是把根式化成最简二次根式后合并同类二次根式。几个二次根式化成最简二次根式后如果被开方数相同这几个二次根式就叫做同类二次根式。两个含有二次根式的代数式相乘如果它们的积不再含有二次根式称这两个二次根式互为有理化因式。把分母中的根号化去叫做分母有理化。两个式子比较大小的方法有:直接比较法、求差比较法、求商比较法、中间量传递另外还有指数形式往往把底数或指数化为相同二次根式还有分母有理化或分子有理化方程(组)及解的概念:含有未知数的等式叫做方程。在一个方程中只含有一个未知数x(元)并且未知数的指数是(次)这样的方程叫做一元一次方程其标准形式为。使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。含有两个未知数并且所含未知数的的项的次数都是的方程叫做二元一次方程。含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。只含有一个未知数的整式方程并且未知数最高次数是的方程叫做一元二次方程其一般形式为。方程或方程组的解法:()等式的性质:等式的两边同时加上(或减去)同一个代数式(或除以同一个不为的数)所得结果仍是等式。()一元一次方程的解:一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式。()二元一次方程组的解法:解方程组的基本思路是“消元”把“二元”变为“一元”。主要方法有代入消元法和加减消元法。其中代入消元法常用步骤是:要消哪一个字母就用含其它字母的代数式表示出这个字母然后用表示这个字母的代数式代替另外的方程中的这个字母即可。()一元二次方程的解法有配方法、公式法、分解因式法。()一元二次方程EMBEDEquationDSMT的判别式。当>时EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT有两个不相等的实数根当=时EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT有两个相等的实数根当<时EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT没有实数根。()若、是EMBEDEquationDSMT的两实数根则有。()对于一元二次方程EMBEDEquationDSMT方程有一个根为方程有一个根为方程有一个根为关于方程()当时方程有唯一解()当a=时方程无解()当a=b=时方程的解为全体实数。关于方程组()当时方程组有唯一解()当时方程组无解()当时方程组有无数组实数解。用公式法解一元二次方程时首先要将一元二次方程化为一般形式找出a,b,c的值即先计算判别式再用求根公式用配方法解一元二次方程时先将方程二次项系数化为然后两边同时加上“一次项系数一半的平方”。特别注意别漏掉一个根。注意换元法的使用。一元二次方程的近似解的求法实质是利用夹逼方法进行求解的。列方程、方程组解应用题的一般步骤是:审题设未知数列方程或方程组解方程或方程组检验并写出答案。审题是基础找出等量关系建立方程(组)模型是关键。利润率==打a折即降价为原来的。降次的常用方法是:直接开方降次、分解因式降次代入降次。不等式的性质:()基本性质:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式不等号的方向不变()基本性质:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数不等号的方向不变()基本性质:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数不等号的方向要改变。不等式和不等式组的解法:()能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解求不等式的解集的过程叫做解不等式()一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。记住多画画数轴。求一元一次不等式(组)的整数解的步骤:()求出一元一次不等式(组)的解集()找出合适解集范围的整数解、非负数解、正整数解或负整数解。已知不等式组的解集确定不等式中的字母的取值范围有以下四种方法:()逆用不等式组解()分类讨论确定()从反而求解确定()借助数轴确定。一次函数当函数值y>或y<时一次函数转化成不等式利用函数图象、确定函数值和自变量的取值范围。在平面内确定一个点的位置通常需要两个量这两个量可以是两个数也可以是一个角度、一个数。平面内确定物体位置的的方法主要有两类:()定点的位置:线线相交用交点的唯一性位置方位角距离:以某一点为观察点用方位角、目标到达这个点的距离这两个数据来确定目标的位置。()定区域的位置。平面直角坐标系点的坐标特征:()平面直角坐标系有关概念()点的坐标特征:x轴上的点纵坐标为零y轴上的点横坐标为零。即表示为(a,)、(,b)。第一象限点()第二象限()第三象限()第四象限()()对称点的坐标:P(a,b)关于x轴y轴和原点的对称点分别为(a,b),(a,b),(a,b)P(a,b)关于y=xy=x对称的点的坐标为((b,a),(b,a)P(a,b)关于y=yx=x对称的点的坐标为((a,yb),(xa,b)()象限角平分线上的点的特征:第一、三象限角平分线上的点的特征是(a,a)(直线解析式为y=x)第二、四象限角平分线上的点的特征是(a,a)或(a,a)。图形的变化:变化前的点坐标(x,y)坐标变化变化后的点坐标图形变化平移横坐标不变纵坐标加上(或减去)n(n>)个单位长度(x,yn)或(x,yn)图形向上(或向下)平移了n个单位长度纵坐标不变横坐标加上(或减去)n(n>)个单位长度(xn,y)或(xn,y)图形向右(或向左)平移了n个单位长度伸长横坐标不变纵坐标扩大n(n>)倍(x,ny)图形被纵向拉长为原来的n倍纵坐标不变横坐标扩大n(n>)倍(nx,y)图形被横向拉长为原来的n倍压缩横坐标不变纵坐标缩小n(n>)倍(x,)图形被纵向缩短为原来的纵坐标不变横坐标缩小n(n>)倍(,y)图形被横向缩短为原来的放大横纵坐标同时扩大n(n>)倍(nx,ny)图形变为原来的n倍缩小横纵坐标同时缩小n(n>)倍(,)图形变为原来的求与几何图形联系的特殊点的坐标往往是向x轴或y轴引垂线转化为求线段的长再根据点所在的象限醒上相应的符号。求坐标分两种情况:()求交点如直线与直线的交点()求距离再将距离换算成坐标通常作x轴或y轴的垂线再解直角三角形。一般地在某一个变化过程中有两个变量x和y如果给定一个x值相应夺就确定了一个y值那么我们称y是x的函数其中x是自变量y是因变量。函数的表示法有三种:解析法、图象法、列表法。把一个函数关系式的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在平面坐标系内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。即:若点P(x,y)的坐标满足函数关系式则点P在函数图象上反之若点P在函数图象上则P(x,y)的坐标满足函数关系式。描点法画函数图象的步骤:列表、描点、连线。要使函数关系式有意义:函数关系式形式自变量取值范围整式函数全体实数分式函数使分母不为零根式函数偶次根式使被开方数非负奇次根式全体实数零指数、负指数形式函数使底数不为零正比例函数与一次函数的概念:()一次函数:形如(kkb是常数)的函数叫做一次函数。()正比例函数:形如k是常数)的函数叫做正比例函数。()正比例函数与一次函数的关系:正比例函数是一次函数的特殊情形。一次函数的图象和性质:()图象:一次函数的图象是过点()(b)的一条直线正比例函数的图象是过点()(k)的直线|k|越大(k)就越远离x轴直线与x轴的夹角越大|k|越小(k)就离x轴越近直线与x轴的夹角越小()性质:k>时y随x增大而增大k<时y随x增大而减小()图象跨越的象限:k>,b>经过一、二、三象限k<,b>经过一、二、四象限k>,b<经过一、三、四象限k<,b<经过二、三、四象限。即k>一三k<二四b>一二b<三四。()直线和的位置关系为:相交于y轴上b>b=b<增减性k>y随着x增大而增大k<y随着x增大而减小用割补法求面积基本思想是全面积等于各部分面积之和在割补时需要注意:尽可能使分割出的三角形的边有一条在坐标轴上这样表示面积较为方便。坐标平面内图形面积算法:把图形分割或补为底边在坐标轴或平行于坐标轴的直线上的三角形、梯形等。求函数的解析式往往运用待定系数法待定系数法的步骤:()设出含待定系数的函数解析式()由已知条件得出关于待定系数的方程(组)解这个方程(组)()把系数代回解析式。仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系:()一元一次方程kxb=y(y是已知数)的解就是直线上y=y这点的横坐标()一元一次不等式ykxby(y,y是已知数且y<y)的解集就是直线上满足yyy那条线段所对应的自变量的取值范围。()一元一次不等式kxby(或kxby)(y是已知数)的解集就是直线上满足yy(或yy)那条线段所对应的自变量的取值范围。反比例函数的定义及解析式求法:()定义:形如(kk是常数)的函数叫做反比例函数其自变量取值范围是x()解析式求法:应用待定系数法求k值由于k=xy故只需要已知函数图象上一点即求出函数的解析式。反比例函数的图象和性质:(1)图象:反比例函数的图象是双曲线当k>时双曲线的两个分支在第一、三象限当k<时双曲线的两个分支在第二、四象限。(2)性质:当k>时在每一象限内y随x的增大而减小当k<时在每一象限内y随x的增大而增大图象是关于原点对称的中心对称图形又是轴对称图形其对称轴为y=xy=x。正、反比例函数图象及性质对比:k值函数性质k>k<(k)图象性质y随着x增大而增大y随着x增大而减小(k)图象性质y随着x增大而减小y随着x增大而增大()利润最大、费用最低等一类问题往往可通过建立函数模型进行解决()运输等问题可采用列表或画图的方法来分析其数据间的关系这样易于理清错综复杂的数据对解题有极大的帮助()方案设计问题往往先建立不等式转化为求不等式的整数解的问题。二次函数的定义和解析式求法:(1)形如(a、b、c为常数a)的函数叫二次函数()用待定系数法求二次函数解析式其解析式有三种形式。一般式:主要用于已知抛物线上任意三点的坐标交点式:其中()与()是抛物线与x轴的两点交点的坐标主要用于已知与x轴两个交点的坐标或两点间的距离及对称轴顶点式:其中(hk)是抛物线的顶点坐标主要用于已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值。二次函数的图象是一条抛物线它具有以下性质:()抛物线的顶点坐标是()对称轴是直线当a、b同号时对称轴在y轴的左侧当a、b异号时对称轴在y轴的右侧当b=时对称轴为y轴。()当a>时开口向上当a<时开口向下|a|决定抛物线开口大小|a|越大抛物线开口越小|a|越小抛物线开口越大。()当a>时y有最小值当a<时y有最大值。()增减性:对于二次函数。若a>当时y随x的增大而减小当时y随x的增大而增大若a<当时y随x的增大而增大当时y随x的增大而减小。()抛物线与y轴交点为(,c)当c>时交点在y轴的正半轴当c<时交点在y轴的负半轴当c=时经过原点。对于抛物线a的符号由开口方向确定b由对称轴确定c由抛物线与y轴的交点确定ab由对称轴确定abc由x=时y的符号确定abc由x=时y的值确定。即抛物线经过(abc)、(abc)、(abc)等点。求两个函数图象的交点坐标就是把两个函数的解析式联立成方程组求出的解就是交点坐标。直线与抛物线的交点有三种情况:当方程组有两解时有两个交点(>)当有一个解时即有一个交点(=)当没有解时即不存在交点(<)。构造二次函数模型求最大(小)值。选择题的解题办法:数形结合的观察法、特殊值法、验证法、排除法、直解法。对于抛物线与x轴交点A()、B()则()|AB|=||=对称轴函数关系式点坐标线段长几何知识的应用。在统计中我们把所要考察对象的全体叫做总体。总体中每一个考察对象叫做个体。当总体中个体数目较多时一般从总体中抽取一部分个体这一部分个体叫做总体的一个样本。样本中个体的数目叫做样本容量。平均数:()()其中()其中是数据的权。总体中所有个体的平均数叫做总体平均数。样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。众数、中位数与平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势。众数:在一组数据中出现次数最大的数据叫做这组数据的众数(众数不唯一)。中位数:把一组数据按从小到大的顺序排列处在最中间位置上的一个数据(或是最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。方差是反映一组数据波动大小的特征数方差越大这组数据的波动越大。叫做样本的方差它可衡量样本波动大小(离散程度)叫做样本的标准差也是用来衡量样本波动大小样本标准差与原始数据的度量单位一致。另:扇形统计图及应用:()扇形统计图是表示部分在总体中所占的百分比它不能直接得到具体的数量是用圆代表总体扇形代表部分。()圆心角定义:顶点在圆心的角叫圆心角圆心角的大小等于该部分百分比乘以。()画扇形统计图的步骤:计算百分比圆心角画上扇形标上百分比。()两个扇形统计图中在整体数量相等的情况下根据扇形的大小也可判断部分数量是多还是少。()在一个扇形统计图中可以得到两个部分之间的比例。条形统计图能清晰地表示出每个项目的具体数量扇形统计图能清晰地表示出各个部分点总体的百分比。频数:将一组数据按照统一的标准分成若干组每个小组内的数据的个数。频率:每个小组的频数与数据总数的比值叫这一小组的频率。频率=。直方图中小长方形的高与频率成正比因此其高的比即是各小组频率之比或各小组频数之比。求一个样本的频率分布情况的步骤:()计算最大值与最小值的差()决定组距与组数()决定分点()列频率分布表()绘制频率分布直方图、扇形统计图、折线统计图。一些性质和规律:数据平均数方差标准差一般地我们把一组数据中其值过大(或过小)的数据看作异常值有异常值的一组数据其平均数会受到此数据的影响这时用中位或众数来描述一组数据的一般水平比较合适。在一定条件下可能出现不同的结果究竟出现哪一种结果随机遇而定带有偶然性的现象叫做随机现象。在随机试验中如果一件事情可能发生也可能不发生则称它们为随机事件。在一定的条件下必然会发生的事情叫做必然事件。在一定的条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件。必然事件与不可能事件都是确定的这些事件称为确定事件。一个事件发生的可能性大小叫做该事件发生的概率一个事件发生的概率取值范围为~。求概率有树状图和列表法两种列出所有可能结果的方法。概率是可以在直线上表示出来的。在丰富的图形世界中我们常见的几何体分类为:棱柱体、圆柱体、圆锥体、棱锥体、台体与球体。常见的立体图形特征:球体是由曲面围成的圆锥的底面是圆侧面是曲面棱锥的底面是多边形侧面是三角形圆柱的底面是圆侧面是曲面棱柱的底面是多边形侧面是正方形或长方形。点、线、面的关系:面面相交形成线线线相交形成点点动成线线动成面面动成体。正方体的展开图是六个正方形棱柱的展开图是两多边形与一个长方形圆锥的展开图是一个圆与一个扇形圆柱的展开图是两个圆与一个长方形。截面:用一个平面去截一个几何体截出的面叫做截面。截面的形状:用一个平面去截一个几何体截出的截面形状一般有正方形、长方形、三角形、梯形与圆等。我们从不同方向看同一个物体时可看到不同的图形把从正面看到的图形叫做主视图从左边看到的图形叫做左视图从上面看到的图形叫做俯视图。画在视图时主、俯视图要求长对正主、左视图要高平齐左、俯视图要宽相等。物体在光线的照射下会在地面或墙壁上留下它的影子这就是投影现象。太阳光线可以看成平行光线像这样的光线所形成的投影称为平行投影当投射线与投影面垂直时这样形成的投影叫做正投影。在平行投影中物体是互相平行的影子也是互相平行的常把四边形的问题转化为直角三角形问题来解。探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的像这样的光线所形成的投影称为中心投影。我们看物体眼睛的位置称为视点由视点发出的线称为视线眼睛看不到的地方称为盲区。直线上两点间的部分叫做线段在直线上某一点和这一点一旁的部分叫做射线这一点叫做端点。经过两点有且只有一条直线即两点确定一条直线两点之间线段最短连结两点的线段的长度叫做两点间的距离。应该注意用字母表示它们的方法。三线之间的关系:类型端点的个数延伸性延长线和反向延长线直线向两端无限延伸无射线向一端无限延伸有反向延长线线段无既有延长线也有反向延长线。直角:的角平角:的角周角:的角。设一个角为α若<α<则α叫锐角若<α<则α叫钝角度=分分=秒周角=平角=直角。如图和是同位角和是内错角和是同旁内角和是对顶角和是邻补角。把一条线段分为两条相等的线段的点叫做线段的中点。若αβ=则α与β互余。若αβ=则α与β互补。余角和补角是对两个角之间的数量关系而言的与两个角的位置没有多大的关系互为邻补角的两个角与两个角的位置有关。从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成两个相等的角这条射线叫做这个角的平分线。角平分线上的点到角两边距离相等。到角两边距离相等的点在角的平分线上。三角形三内角平分线的交点叫做三角形的内心。在求三角形内部所形成的角时应想到三角形内心定理。一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线这两个角叫做对顶角。对顶角相等是常用的性质。两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时我们就说这两条直线互相垂直其中一条直线叫做另一条直线的垂线它们的交点叫做垂足。经过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线直线外一点与直线上各点连结的线段中垂线段最短。从直线外一点向已知直线作垂线这一点和垂足之间的线段的长度叫做点到直线的距离。过线段的中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。同位角相等两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补两直线平行平行于同一直线的两条直线平行垂直于同一直线的两条直线平行。两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补两平行线间的距离处处相等夹在两平行线间的平行线段相等过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。三角形按边分类:三角形按角分类:三角形任意两边的和大于第三边三角形任意两边的差小于第三边。三角形的内角和等于度三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角在直角三角形中两个锐角互余同(等)角的余(补)角相等。一般来说较大线段大于另两线段之和时就能构成三角形。全等三角形的判定:SAS、ASA、AAS、SSS、HL。全等三角形的性质:对应角相等对应线段(边,高,中线,角平分线)相等、周长相等、面积相等。判定两个三角形全等的基本思路:()有两个角对应相等时找夹边对应相等或任一对应边相等()有两边对应相等时找夹角对应相等或第三边相等()有一边和一角对应时找等角的另一边对应相等或另一角对应相等。等腰三角形的性质:两个底角相等顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形的判定:如果一个三角形的两个角相等那么这两个角所对的边相等。等边对等角等角对等边大角对大边大边对大角。任何一个图形的对称轴都是直线。等腰三角形是轴对称图形它的对称轴只有一条:底边上的高所在直线。等边三角形的对称轴有三条。等边三角形的内心、外心、重心、垂心重合。等边三角形的性质:三边都相等三个角都相等每一个角都等于。等边三角形的判定:三条边都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是的等腰三角形是等边三角形。三角形的主要线段:名称定义交点交点的性质中线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段重心重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的倍角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交这个角的顶点和交点之间的线段内心内心到三角形三边的距离相等高三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段垂心直角三角形的性质:两锐角互余角所对的直角边等于斜边的一半斜边上的中线长等于斜边的一半。直角三角形的判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。涉及与三角形的高有关的问题时要注意分类讨论主要是分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。勾股定理:直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方则这个三角形是直角三角形。已知直角三角形的两边长要求第三边时有两种情况:第三边是斜边或已知两边中较大边为斜边。对于含特殊角的三角形通常作高构造直角三角形然后利用勾股定理和三角形函数解答。射影定理如图:在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。经过平移对应线段、对应角分别相等对应点所连的线段平行且相等。确定一个图形平移后的位置除需知道原来的位置外关键条件是平移的方向和平移的距离。在平面内将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度这样的图形运动称为旋转这个定点叫做旋转中心转动的角度叫做旋转角。旋转的性质:旋转后的图形与原图形的大小和形状不改变旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等对应点到旋转中心的连线所成的角彼此相等都等于旋转角。作简单的平面图形绕定点旋转一定角度后的图形只要把平面图形上的关键点都绕定点旋转一定角度然后按原来的式样连结这些点而成。旋转需要知道旋转方向和旋转角度。常用对应点和旋转中心的连线所夹角确定旋转角常用两组对应点连线的中垂线交点确定旋转中心。旋转度的整数倍时图形位置不改变。注意区别对应线段和对应点的连线是不同的。多边形的任何一边向两方向延长如果其他各边都在延长所得直线的同旁这样的多边形叫做凸多边形它的每一个内角均小于。n边形的内角和为(n)。任意多边形的外角和均为。平行四边形的性质:对边平行对边相等对角相等对角线互相平分。平行四边形的判定:两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形。平行四边形是中心对称图形但不一定是轴对称图形。一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等两条对角线互相垂直平分每条对角线平分一组对角。一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是平行四边形。菱形的两条对角线把菱形分成全等的等腰三角形或直角三角形。菱形是中心对称图形也是轴对称图形它的对称就是它的两条对角线所在直线。有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的对边平行且相等矩形的四个角都是直角矩形的两条对角线互相平分且相等。有三个角都是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形。矩形的两条对角线把矩形分成全等的直角三角形和等腰三角形。矩形是中心对称图形也是轴对称图形它的对称轴是过对角线交点平行于边的两条直线。正方形的判定:有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形是正方形一组邻边相等的矩形是正方形一个角是直角的菱形是正方形对角线相等且垂直平分的四边形。正方形的性质:除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外还具有:对角线与边夹角为S=a(a是边长)。正方形既是中心对称图形也是轴对称图形它的对称轴有四条:两条对角线所在直线和两条过对角线交点的平行于边的直线。正方形旋转度不变。梯形的性质:一组对边平行另一组对边不平行中位线平行于底边且等于两底和的一半。等腰梯形另具有:两腰相等同一底上的两底角相等对角互补对角线相等以两底的中点连线为对称轴的对称图形。直角梯形另具有:一个底角是直角。梯形的判定:一组对边平行另一组对边不平行的四边形叫做梯形。同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形两对角线相等的梯形是等腰梯形两腰相等的梯形是等腰梯形。有一个角是直角的梯形是直角梯形。当梯形的两条对角线互相垂直时常常平移对角线创造直角三角形。作高构造直角三角形是梯形中常用的辅助线。梯形有问题常常平移一对角线把梯形转化为三角形。梯形中常见的辅助作法:(虚线表示辅助线)三角形两边中点的连线叫做三角形的中位线三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。连结梯形的两腰中点的连线叫做梯形的中位线梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。梯形中位线与梯形两对角线的交点间的距离等于两底差的一半。尺规作图。要求掌握下列基本作图的作法:作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角作已知角的平分线作已知线段的点垂线(即垂直平分线)尺规作图。已知三边作三角形已知两边及其夹角作三角形已知两角及其夹边作三角形已知底边及底边上的高作等腰三角形。尺规作图。会过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。对于尺规作图题会写已知、求作、和作法。有时还需要证明。如果沿着一条直线对折两个图形能够互相重合那么这两个图形叫做以这条直线为对称轴的对称图形如果沿着一条直线对折一个图形在这条直线两旁的部分能够互相重合那么这个图形叫做轴对称图形。轴对称的两个图形全等对称轴垂直平分对称点的连线两个图形关于某一条直线对称它们的对应线段或其延长线的交点在对称轴上两个图形的对称点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称。轴对称指的是两个图形的关系而轴对称图形是指一个图形。当两个图形关于某直线成轴对称时如果把这两个图形看成一个整体(即一个图形)则它也是轴对称图形。常见的轴对称图形有:直线、射线、线段、角、等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形等。镜子里的图象与物体之间成轴对称关系此时我们称之为镜面对称它和轴对称及轴对称图形是有区别的。物体翻折形成轴对称。把一个图形绕着某点点旋转后如果它与另一个图形重合就说这两个图形关于这个点对称这个点叫做对称中心。如果一个图形绕着中心旋转后能够与自身重合那么这个图形叫做中心对称图形。关于中心对称的两个图形是全等的关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分这个性质的逆命题也成立。用相同的正多边形密铺的条件是:周角为正多边形的一个内角度数的整数倍时用这样的正多边形进行密铺。几种正多边形的组成各取其中一个内角相加恰好为一个周角时这样的正多边形的组合能进行平面图形的密铺。(当围绕一点拼在一起的几外多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时即能进行密铺。)四条线段a,b,c,d中如果那么a,b,c,d叫做成比例线段简称比例线段。在比例式(或a:b=b:c)中b叫做a和c的比例中项。比例的基本性质:EMBEDEquationDSMTad=bc合比性质:EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT等比性质:EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)且使AC是AB和BC的比例中项(即AC=ABBC)则称线段AB被C黄金分割点C叫做线段AB的黄金分割点其中两条线段的比与单位的选择无关但在求线段的比时一定要用同一长度单位。两角对应相等两三角形相似两边对应成比例且夹角相等两三角形相似三边对应成比例两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形斜边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似。全等三角形是相似三角形的特例位似图形也是特殊的相似图形。证明线段等积或比例式的常用方法是:设法找出比例式(或转化后)所蕴含的几个字母看是否存在可由“三点”确定的两个相似三角形。相似应该注意对应点、对应线段。相似三角形的对应角相等相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例相似三角形的周长比等于相似比面积比等于相似比的平方。利用相似三角形面积比求相似比是常用技巧测量不能到达顶部的物体的高度构造相似三角形利用其性质解答是常用方法。证明等积式或比例式时如果不能直接找到相似三角形则用以下方法寻找过渡量。寻找中间比利用等长线段转化等积转化。各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形相似多边形的比叫做相似比。相似多边形的对应角相等对应边成比例相似多边形的周长比等于相似比面积比等于相似比的平方。比例尺是图上长度与实际长度的比值也就是图上图形与实际图形的相似比。相似三角形的面积比等于周长比的平方。如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在直线都经过一个点那么这样的两个图形叫做位似图形这个点叫做位似中心这时的相似比又称位似比。位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。将一个多边形放大或缩小一般利用位似定义位似中心可取在多边形内或在一条边上或在某一顶点上或多边形外。位似图形是特殊位置上的相似图形所以位似图形具有相似图形的所有性质。锐角三角函数的定义:正弦、余弦、正切、余切。求几何图形中锐角的三角函数值必须在直角三角形中求解若没有直角三角形需先构造。锐角三角函数的增减性:当角度在~间变化时正弦、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)余弦、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。锐角三角函数都不可取负值当<α<时<sinα<<cosα<特殊角的三角函数值:αsinαcosαtanαcotα互余两角的三角函数之间的关系:若A为锐角则有sinA=cos(A)、cosA=sin(A)、tanA=cot(A)、cotA=tan(A)即换名函数。同角三角函数之间的关系:若A为锐角则有sinAcosA=、tanAcotA=由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。(可用锐角三角函数的定义勾股定理直角三角形两锐角互余等进行求解。)对于含特殊角的斜三角形的计算问题通常转化为直角三角形解决转化的方法就是作斜三角形的高构造直角三角形已知三角形两边和其中一边的对角的问题解答时一般需分类讨论。利用锐角三角函数值巧妙设元(未知数)从而求出相应边长是常见技巧也是平面几何其他类型计算题的常见技巧。求多边形的面积通常转化为求三角形面积。注意四边形中直角三角形的构造。在测量时视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的叫仰角在水平线下方的叫俯角。如图坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度i或坡比)即其中坡角α是坡面与水平线的夹角。如图方向角:指南或指北的方向线与目标方向线构成小于的角叫做方向角。东北方向指北偏东方向东南方向指南偏东方向西北方向批北偏西方向西南方向指南偏西方向。对于不能直接求解的问题要设法找到与之过渡的线段长或角的度数特别是两个三角形的公共角或公共线段。运用三角函数知识钥匙时尽量选择用乘法计算的关系式可归纳为“有斜用弦无斜用切求对用正求邻用余宁乘勿除”。解面积问题常用的两种思维方法:()切割法把图形分割成一个或几个直角三角形与其他特殊图形的组合()粘贴法此法大都通过延长线段来实现。判断一件事情的语句叫做命题每个命题都是由条件和结论两部分组成命题分为真命题和假命题两种正确的命题叫做真命题错误的命题叫做假命题两个命题的条件和结论互换称这两个命题为互逆命题其中一个命题是另一个的逆命题。公认的真命题称为公理除了公理外其他命题的正确性都通过推理的方法证实推理的过程称为证明经过证明的真命题称为定理。要说明一个命题是假命题只需举一个反例即可。证明两条直线平行主要是从“角”方面去考虑即找同位角相等、内错角相等、同旁内角互补证明时选择哪一类需用由条件决定运用平行线的性质解题时若“三线八角”不完整一般需通过作辅助线补充完整。在几何证明中出现线段的垂直平分线时一般存在等腰三角形。在证明两条线段的和等于第三条线段时常用“截长”法或“补短”法若在较长的线段上截取一段等于某已知线段之一再证余下的部分等于另一已知线段此法为“截长”法。反之为“补短”法。当待证结论中出现线段的平方和或平方差时应考虑构造直角三角形利用勾股定理来处理。构造平行四边形依据平行四边形的性质证明线段相等、角相等是常见方法。证明线段的倍分关系常借助于矩形性质的推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。利用正方形中的直角构成的直角三角形通过勾股定理及其逆定理的计算来证明垂直也是常用方法。圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。点和圆有三种位置关系即在圆外、在圆上、在圆内。点到圆心的距离(d)与圆的半径(r)的大小决定了点和圆的三种位置关系反之亦然。即d>r点在圆外d=r点在圆上d<r点在圆内。圆是轴对称图形其对称轴是经过圆心的任意一条直线。(直径或半径所在的直线就是该圆的对称轴)垂径定理:()垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两长弧()平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧()平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧()弦的中垂线经过圆心并且平分弦所对的两条弧()圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角也相等相等的圆周角所对的弧相等(注意条件:在同圆或等圆中)。弧的度数、圆心角、圆周角之间的关系:()圆心角等于所对弧的度数()圆周角等于所对弧的度数的一半。圆的内接四边形对角互补它的一个外角等于这个角的内对角直径(或半圆弧)所对的圆周角是直角。运用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小比较判断直线和圆的三种位置关系:相离(d>r)、相切(d=r)、相交(d<r)。有时得构造这个距离。在直角三角形中利用面积法求斜边上的高是常用方法。切线的性质定理及推论:若一条直线满足()垂直于切线()经过切点()经过圆心三者中任意两条便可推出第三条。切线的判定一般有三种方法:()切线的定义()如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径那么这条直线是圆的切线()若一条直线过半径的外端且垂直于这条半径那么这条直线是圆的切线。证明一条直线是圆的切线常要添加辅助线如果直线与圆有一个公

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