nullnull第八章 二重积分null复习定积分1.曲边梯形的面积2. 定积分思想：分割、近似、求和、取极限.第一节第一节三、二重积分的性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 第八章 8-1 二重积分的概念与性质(1) 曲顶柱体的定义:底： xoy 面上的闭区域 D顶: 连续曲面侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面１．曲顶柱体的体积8-1 二重积分的概念与性质一、引例Dnull(2)求曲顶柱体体积的意义：由空间曲面所围成的任意空间立体的体积都可以转化为曲顶体积的体积的代数和.null(3)求曲顶柱体的体积特点：平顶.null(3)求曲顶柱体的体积null(3)求曲顶柱体的体积null(3)求曲顶柱体的体积null(3)求曲顶柱体的体积null(3)求曲顶柱体的体积null(3)求曲顶柱体的体积nullD处理该类问题的基本思路： 无限细分(化曲为直)、无限求和！null步骤如下：用若干个小平顶柱先分割曲顶柱体的底，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积，体体积之和近似并取典型小区域，null２．求平面薄片的质量有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .度为其面密 设D 的面积为 ,则若非常数 ,仍可用(常数)“分割，近似，求和,
取极限” 解决.所有小块质量之和近似等于薄片总质量:其中：null两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“分割，近似，求和, 取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: (3) 极限值均取决与一个函数与其定义区域.二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积 , 在D上的二重积分.积分和是定义在有界闭区域 D上的有界函数 , 则称称为积分变量null1.对定义的说明：表示一个确定的数值，有关，积分变量所使用的字母无关，即(1)定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.平面薄片的质量为：null2.二重积分的几何意义即当被积函数大于零时，当被积函数小于零时，二重积分二重积分是柱体的体积．特殊地：若在D上,则D的面积是柱体的体积的负值.？null则面积元素为3.直角坐标系下的面积元素如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作？null性质１当k为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质1,性质2统称为线性性质.null性质３对区域D具有可加性性质４性质５若在D上特殊地则有null性质6（二重积分中值定理）(二重积分估值不等式)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，则性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续，使得证：由闭区域上连续函数的介质定理，使例1. 比较下列积分的大小:例1. 比较下列积分的大小:其中解: 积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位从而于直线的上方, 故在 D 上 null解例2比较积分与的大小，其中D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).三角形斜边方程为在D内有故于是因此例3. 估计下列积分之值例3. 估计下列积分之值解: D 的面积为由于积分性质5即: 1.96 I 2null解例4区域D的面积在D上由性质6知null解在D上，例5估计积分的值，其中D是圆形区域：而区域D的面积由性质6知所以即null四、利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算二重积分.nullnull注意:（轮换对称性），null例6解由轮换对称性，有null五、小结定义：性质:2.二重积分:思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处.二重积分与定积分有类似的性质.1.定积分:null作业：P280,5,7(4),8(1)预习：从338到345页例7. 证明:例7. 证明:其中D 为解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .null定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，思考题解答:被积函数为定义在平面区域上的二元函数．的一元函数，积分的积分区域为区间，且此值只与被积函数及积分区域有关．而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在区间上不同的是定要求:复习上期所学的积分公式和积分法则(直接法,换元法,分部法).思考与练习思考与练习被积函数相同, 且非负, 解: 由它们的积分域范围可知1. 比较下列积分值的大小关系:2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则的大小顺序为 ( )提示: 因 0 < y <1, 故故在D上有3. 计算3. 计算解:六、曲顶柱体体积的计算六、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的
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