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2010年
广东省深圳市中考数学试卷
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如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).
(1)直接写出A、C两点的坐标;
(2)平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N,设直线m运动的时间为t(秒).
①若MN=AC,求t的值;
②设△OMN的面积为S,当t为何值时,S=.
考点:相似三角形的应用。
专
题
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:综合题;分类讨论。
分析
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:(1)因为四边形OABC是矩形且点B的坐标为(4,3),所以可知,OA=CB=4,OC=AB=3,故可知A、C两点的坐标;
(2)①可以分为两种情况:当M、N分别在OA、OC上时,可证明△OMN∽△OAC,由题意可求得OM的长,即可求得t的值;当M、N分别在AB、BC上时,可证明△BMN∽△BAC,由题意可求得BM的长,即可由相似三角形的性质求得t的值,综合以上两种情况即是要求的t值.
②可以分为两种情况:当M、N分别在OA、OC上时,可证明△OMN∽△OAC,由题意可求得OM、ON的长,即可求得面积的
表
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达式,再由面积为可得t的值;当M、N分别在AB、BC上时,由△DAM∽△AOC,可得AM,由△BMN∽△BAC,可得BN,即可得BM、CN,由S=矩形OABC的面积﹣Rt△OAM的面积﹣Rt△MBN的面积﹣Rt△NCO的面积,可得关于t的表达式,再由面积为可得t的值,综合以上两种情况即是要求的t值.
解答:解:(1)A(4,0),C(0,3);
(2)①x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,直线m运动的时间为t时,
可以分为两种情况:
当M、N分别在OA、OC上时,如下图所示:
∵直线m平行于对角线AC
∴△OMN∽△OAC
∴==
∴t=2s;
当M、N分别在AB、BC上时,如下图所示:
∵直线m平行于对角线AC
∴△BMN∽△BAC
∴==
∴t=6
综上所述,当t=2或6时,MN=AC
②当0<t≤4时,OM=t,
由△OMN∽△OAC,
得,
∴ON=t,S==
∴t=2;
当4<t<8时,
如图,∵OD=t,∴AD=t﹣4.
由△DAM∽△AOC,可得AM=(t﹣4)
∴BM=6﹣t.
由△BMN∽△BAC,可得BN=BM=8﹣t
∴CN=t﹣4
S=矩形OABC的面积﹣Rt△OAM的面积﹣Rt△MBN的面积﹣Rt△NCO的面积
=12﹣﹣(8﹣t)(6﹣t)﹣
=﹣+3t,
∴﹣+3t=
解得
取t=4+2
故当t=2或4+2时,△OMN的面积S=.
点评:本题考查了相似三角形的判定和性质以及分类讨论思想.
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