余元公式的两种证明方法

余元公式的两种证明方法第 30卷第 11期 2 0 1 1年 1 1月怀化学院学报 JOURNAL OF HUAIHUA UNIVERSITY Vo1．3O．No．11 NOV．．2011 余元公式的两种证明方法何郁波，罗思雯 (怀化学院数学系，湖南怀化 418008) 摘要：余元公式是数学分析中一个很重要的公式，利用 Euler公式，通过广义积分及无穷级数的运算，用两种方法证明了余元公式．关键词：’余元公式； Euler公式；归结原则：一致收敛中图分类号...

第 30卷第 11期 2 0 1 1年 1 1月怀化学院学报 JOURNAL OF HUAIHUA UNIVERSITY Vo1．3O．No．11 NOV．．2011 余元公式的两种证明方法何郁波，罗思雯 (怀化学院数学系，湖南怀化 418008) 摘要：余元公式是数学分析中一个很重要的公式，利用 Euler公式，通过广义积分及无穷级数的运算，用两种方法证明了余元公式．关键词：’余元公式； Euler公式；归结原则：一致收敛中图分类号：O172．2 文献标识码：A 文章编号：1671—9743(2011)11—0071—04 数学分析中的余兀公式 r(p)r(1一p)=—si—n p~r，00 设 = ∈ (0，1)，其中 )，>0，则 B(p，g)_j。南，在 (9)式中令 q=1一P，则得 B(p，1一 =j。．因为 1_(_旦L) 1 ：日(p，1一p)且 r(1)：l， r() 一、 ’ 、一 ’ 所以由引理 1和引理 2即得余元公式 2 余元公式的积分证明法下面给出余元公式的另一种证明方法．引理 3 已知函数f( )=1+ ，则当 m 0，则5。丁： J 一 + C + d b一 0c = ⋯ lim IN = lim I — N +』== N ： lim詈I Jv一+∞ Z J—N ： lim~-ln( +2c +d)I： + Ⅳ — + + ∞ + b一 0c b— O,C b一口0 证毕．由引理 3，引理 4，利用归结原则，立即可得下面引理．引理 5 设 P >1，则有公式 I(p)= 七 ¨ 成立．证明首先设 P = ，其中 m，n∈ z 且 n> m．令 = ，则 Z m + l ‘ ∞ I(p)=(2m+1)J √0 由引理 3及 (16)、(17)式知，当 k：1，2，⋯，n时有： 2± r — I ∞ 南2m=毒 + (15) (16) (17) (18) (19) (20) 其中。 =A + =一 ( 2 +牙2 m+1)，6 =一一 = ( 2+面 c 一 1( + 以 = ： I I = 1．于是：互 1／一、一 6 一 = ( 2 +元 )一 ( 2 一1+ 2 m+1)( + )=一 ( 2+J一元2 m+1)( 一贾 ) (21) (22) 在 (20)式两边求 (一∞，+o。)上的定积分，由 (21)、(22)式并结合引理4可得』==( +去 dx=⋯lim IN 赫 = 一 2 2m+l， 7~"T 2 3 其中表示 Imx复数的虚部．因此，当 n，m ∈ Z ，且 n> m时，则有 P = >1．由(10)，(19)，(23)式立即得 m + 1 = 南 + 丌 k = l 2 (24) 南 d 一+ 一1 一一+ +一一C 一2 0一+ ∑ ：万方数据 · 74 · 怀化学院学报 2011年 11月 = 丌从而当 p= 时，I~t(24)，(25)式知，(p)= P k =l sin(2k一1)0 ：吾砉 2sin0[c0s(2 _2) 一 ] = 1 (1⋯ ) 而 cos2nO：cos(2m +1)丌：一1，所以 )=p sin0=÷ ． ” + ∞ 1 显然当n>1时，广义积分I dt关于P o一致收敛，所以，(p) J 0 l + t ‘ 结原则，任取实数 P>1，则存在数列{P }使得 p = 1 ，n，m ∈ z ，n> m 且 lira P =P．由(26)式知，对任意实数 P>1，有，(p)：． p “ 证毕．利用引理5，立即可得到余元公式 (1)．事实上，当 0 下册 )[M]．北京：高等教育出版社，2001． [2]刘玉琏，傅沛仁等．数学分析讲义 (下册)[M]．北京：高等教育出版社，2008 [3]黄玉民，李成章．数学分析 (下册)[M]．北京：科学出版社，2004． (25) (26) 1 当p>l时连续．由归 Two Proofs for the Formula of Complement Variable HE Yu—bo． LUO Si—wen 丌 slnpa" (Department of Mathematics，Huaihua University，Huaihua，Hunan 418008) Abstract：In the mathematic analysis，the formula of complement variable is very impo~ang．In this paper，we use Euler s formula， generalized integral and series to give two proofs of the formula of complement variable． Key words： Formula of complement variable； Euler’S formula； ending principle； uni~rm convergence ⋯ p 协一一 ∑ p Il = 一丌一 p 一●一p 万方数据余元公式的两种证明方法作者：何郁波，罗思雯作者单位：怀化学院数学系,湖南怀化,418008 刊名：怀化学院学报英文刊名： Journal of Huaihua University 年，卷(期)： 2011,30(11) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hhxyxb201111019.aspx

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