抽象函数的常见解法

抽象 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 的常见解法 2005年3月 抽象函数是指函数的三种 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。下面谈谈这类问题常见的几种解法： 一、赋值法 先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。 例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。 解： 令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1， ∴ f(1) = 1 f(2)= f(1) +2 f(3) = f(2) +3 … f(n) = f(n－1) +n 各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n = eq \f(n(n+1),2) ∴ f(x) = eq \f(x(x+1),2) 例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x∈R, y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。 分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。 证明：令x = y = 0 ∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0) ∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1 令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y) ∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R, ∴ f(x)是偶函数 例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0 恒有f(xy) = f(x) + f(y) 求证：当x > 0时, f( eq \f(1,x) ) = －f(x) 分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x· eq \f(1,x) )可求得。 证明：令x = y = 1，则f(1) = f(1) + f(1)，∴ f(1) = 0 又令y = eq \f(1,x) ，x > 0，则 f(1) = f(x) + f( eq \f(1,x) ) ∴ f(x) + f( eq \f(1,x) ) = 0 即f( eq \f(1,x) ) = －f(x) 二 定义法 在熟练掌握函数的定义、性质的基础上，对题中抽象函数给出的条件进行分析研究，运用定义、性质进行化简、变形，寻找解决问题的方法。 例4函数f(2x)的定义域是[－1,1],则f(x)定义域为 f(log2x)定义域为___________ 分析:认真理解复合函数定义域的定义,区分好题中三个定义域所指的变量x。 解： ∵ －1≤x≤1 ∴ eq \f(1,2) ≤2x≤2 ∴ f(x)定义域为[ eq \f(1,2) , 2] ∴ eq \f(1,2) ≤log2x≤2 ∴ eq \r(,2) ≤x≤4 ∴ f(log2x)定义域为[ eq \r(,2) ,4] 例5 已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间[0,1]上是增函数，则 f(－6.5)、f(－1)、f(0)的大小关系为_________________ 分析:利用周期性,把各个变量表示在同一区间内,再结合其单调性,求出相应的函数值,比较大小。 解： ∵f(x)是周期为2的偶函数 ∴ f(－6.5) = f(－6.5+ 3×2)= f(－0.5) = f(0.5) f(－1) = f(1) 又∵f(x)在[0,1]上是增函数，∴f(0)< f(0.5)< f(1) 故f(0)< f(－6.5)< f(－1) 例6 定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,若f(x)=lg(10x+1),x∈R则g(x) =_____h(x) = ______ 分析:由题中条件,结合函数的奇偶性,求出f(x)及f(－x)的解析式,再求出g(x)和h(x)。 解：依题意有g(x) + h(x) = f(x) = lg(10x+1) (1) 又∵g(x)是奇函数，h(x)是偶函数 ∴ g(－x) + h(－x) = f(－x) 即－g(x) + h(x) = f(－x) = －lg(10x+1) (2) 由(1)、(2)得 g(x) = eq \f(x,2) , h(x) = lg(10x+1)－ eq \f(x,2) 三、穿脱法 解决这类抽象函数，通常是根据函数变量相等、函数值相等或单调性、奇偶性、周期性等性质，对函数进行“穿脱”，从而达到相应的目的.常见的方法是变量代换。 例7已知f(x)是奇函数，当x > 0时，f(x) = x(1+x ) , 求当x< 0 时，f(x)的解析式。 分析: 利用变量间的代换,把x<0表示成－x>0,先求出相应f(－x),再结合函数的奇偶性,求出f(x)。 解： 令x < 0，即－x > 0 ∴ f(－x) = (－x)(1－x) 又∵f(x)是奇函数 ∴ －f(x) = －x(1－x) ∴ f(x) = x(1－x) 例8 已知f(x)是周期为2的函数，且在区间[－1,1 ]上表达式为 f(x)=－x＋1则在[2k+1 ,2k+3 ], k∈Z上的表达式为_________ 分析:利用周期性把要求区间转化为已知的区间,结合条件求出表达式。 解：设t∈[－1,1 ]，则2k+2+t∈[2k+1 ,2k+3 ], 令T = 2k+2+t，则t = T－2k－2 又∵f(x)是周期为2的函数 ∴f(2k+x) = f(x) ∴f(T) = f(2k+2+t) = f(t) = －t+1= －(T－2k－2)+1=－T+2k+3 ∴f(x) = －x+2k+3 ,x∈[2k+1 ,2k+3 ] 四、图象法 即借助图形或图像的直观性，数形结合来得到问题的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 此类方法很常见也很有效,它避开了一些烦杂的计算,必须认真地体会. 例9 若奇函数f(x)在区间[3,7 ]上是增函数，且最小值为5，最大值为7，试判断在[－7,－3]上的单调性及最值情况 分析:利用题中条件,结合奇函数图象关于原点对称,可求出f(x)在相应区间的情况. 解：根据奇函数的图象关于原点对称的性质 不妨作图如下：由图可知 f(x)在[－7,－3]上是增函数 最小值为－7，最大值为－5 例10已知y = f(x)是 最小正周期为2的偶函数，它在区间[0 ,1 ]上的图象,如图所示线段AB，则在区间[1,2]上，f(x)的解析式是____________ 分析:利用函数为偶函数,可画出[－1,0]的函数图象,再利用周期性可得到[1,2]的图象,最后根据图象的情况求出解析式。 解：∵f(x)是偶函数，周期为2，故可知f(x)在[1,2]的图象为线段BC，其中B（1,1）,C(2,2) 故在[1,2]上f(x)的解析式为y = x 例11已知f(x)是R上的奇函数，当x< 0时，f(x)为减函数， 且f(2)=0，则f(x)>0的解为______________ 分析:利用函数的奇偶性及在x<0的函数图象,可知函数在x>0的图象情况,故可解出在x∈R,f(x)>0的解。 解：∵f(x)在R上是奇函数 且 f(x)在x<0为减函数 ∴f(0) = 0 且 f(x)在x>0为减函数 又∵f(2) = 0，∴f(－2) = 0, 可知f(x)在R上的图象大致如右图： 故f(x)> 0的解为x<－2或0 0，求证Tn+1>Tn (n∈N) 分析:通过赋值可解1),再结合题中条件利用放缩法可求得2) 解：1)∵f(ab) = af(b) + bf(a) 令a = b = 0, 则 f(0) = 0 f(0) + 0f(0) ∴ f(0) = 0 令 a = b = 1 , ∴ f(1) = 0 2)∵Tn = f(2n)，且Tn> 0，n∈N ∴ f(2) > 0 ∴ Tn+1 = f(2 n+1) = f(2×2n) = 2f(2n) + 2 nf(2) > 2Tn>Tn 以上是高中阶段求抽象函数的常见题型及相应的思路、解法。希望通过上面的举例,能让同学们理解掌握这类问题的常用求法,并能达到举一反三,触类旁通的效果。 � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� PAGE 1