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一 专题综述
该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般是2～3个选择题或者填空题，一个解答题，选择题在于有针对性地考查本专题的重要知识点(如三角函数性质、平面向量的数量积等)，解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用．由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题．基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性.
二 考纲解读
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在
3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
4.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）
5.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
三.2012年高考命题趋向
1.在选择题或者填空题部分命制2～3个试题，考查三角函数的图象和性质、通过简单的三角恒等变换求值、解三角形等该专题的重点知识中的2～3个方面．试题仍然是突出重点和重视基础，难度不会太大．
2.在解答题的前两题(一般是第一题)的位置上命制一道综合性试题，考查综合运用该部分知识
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
解决问题的能力，试题的可能考查方向如我们上面的分析．从难度上讲，如果是单纯的考查三角函数图象与性质、解三角形、在三角形中考查三角函数问题，则试题难度不会大，但如果考查解三角形的实际应用，则题目的难度可能会大一点，但也就是中等难度． 由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点：
(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系．
(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题．
(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用这些数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用．
四．高频考点解读
考点一 三角函数的定义
例1 [2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
A．－
【答案】B
【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝
∴cos2θ＝
解法2：tanθ＝
例2 [2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－
【答案】－8
【解析】 r＝
∵sinθ＝－
【解题技巧点睛】以三角函数的定义为载体，求三角函数的值.题目的鲜明特点是给出角的终边上的点的坐标，此时我们要联想到三角函数的定义求解所需三角函数值.
考点二 三角恒等变换
例3 [2011·福建卷] 若tanα＝3，则
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】 因为
例4[2011·浙江卷] 若0<α<
A.
【答案】C
例5 [2011·广东卷] 已知函数f(x)＝2sin
(1)求f
(2)设α，β∈
【解答】 (1)f
(2)∵
∴sinα＝
∴cosα＝
sinβ＝
故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝
【解题技巧点睛】三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:
（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如
，
，
，
，
等.
(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切.
(3)公式变形使用：如
(4)三角函数次数的降升：降幂公式有
，
与升幂公式有
，
.[来源:Z*xx*k.Com]
(5)式子结构的转化：对角、函数名、式子结构化同.
(6)常值变换主要指“1”的变换：
EMBED Equation.DSMT4 等.
（7）辅助角公式：
(其中
角所在的象限由
的符号确定，
角的值由
确定)在求最值、化简时起着重要作,这里只要掌握辅助角
为特殊角的情况即可.实际上是两角和与差的三角函数公式的逆用.如
等.
考点三 三角函数的性质
例6 [2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)
A．f(x)在
C．f(x)在
【答案】A
【解析】 原式可化简为f(x)＝
所以ω＝2.所以f(x)＝
又因为f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，
所以f(x)＝
所以φ＝
所以f(x)＝
所以f(x)＝
例7 [2011·安徽卷] 设f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤
①f数b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)))))
；③f(x)既不是奇函b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,10)))))
0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
【答案】A
【解析】 ∵
∴当k＝0时，φ＝
例10 [2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝sin
A．y＝f(x)在
B．y＝f(x)在
C．y＝f(x)在
D．y＝f(x)在
【答案】D
【解析】 f(x)＝
所以y＝f(x)在
所以函数y＝f(x)的图像关于直线x＝
【解题技巧点睛】
1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．
2．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数y＝sin
3．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．
考点五 与三角相关的最值问题
例11[2011·课标全国卷] 在△ABC中，B＝60°，AC＝
【答案】2
【解析】 因为B＝60°，A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，
由正弦定理，有
所以AB＝2sinC，BC＝2sinA.
所以AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin(120°－A)＋4sinA
＝2(sin120°cosA－cos120°sinA)＋4sinA
＝
＝2
所以AB＋2BC的最大值为2
例12 [2011·湖南卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.
(1)求角C的大小；
(2)求
【解答】 (1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.
因为00.
从而sinC＝cosC.
又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝
(2)由(1)知，B＝
＝
因为0
表
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达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正余弦定理化简式子的最终目的.对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便.根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论；利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝角，但是计算麻烦.
针对训练
一．选择题
1.【2012届河北正定中学高三上学期第二次月考】
若=
（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：由
得
，
所以
=
.
2.【2012届河北正定中学高三上学期第二次月考】
将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式
是（ ）
A．
B．
C． D．
答案：A
解析：的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位可得
.
3.【2012届四川自贡高三一诊】已知函数
，下列结论正确的个数（ ）
①图像关于
对称；
②函数在区间
上的最大值为1；
③函数图像按向量
平移后所得图像关于原点对称.
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：D
解析：当
时，
，所以①正确；
时
，所以②正确；函数图像按向量
平移后所得的解析式为
，所以③正确.
4.【北京市海淀区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试】
函数
的部分图象如图所示，那么
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：C
解析：由图可知，
为函数图象的最高点，
故选C.
5.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】
若
是函数
图象的一条对称轴，当
取最小正数时（ ）
A．
在
单调递减
B．
在
单调递增
C．
在
单调递减
D．
在
单调递增
答案：A
解析：化简函数的解析式为
依题意可知:
当
EMBED Equation.DSMT4 取得最小正数是2，故函数的解析式为
由
,可知函数的单调递增区间为
当
函数的一个单调递增区间为
因
故正确答案为A.
6.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】
若
（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B
解析：将
代入
整理为：
故答案为B.
7.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】
已知
的部分图象如图所示，则
的表达式为 （ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B
解析：由函数的图像可知，
排除C、D；又因函数过点
代入验证B满足条件.
8.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】
在
中，，，，则
A.或
B.
C.
D.
答案：C
解析：由正弦定理
，又
，
，∴
，则
为锐角，故
.
9.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】
函数
为奇函数，该函数的部分图像如图所示，
、
分别为最高点与最低点，且
，则该函数图象的一条对称轴为
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：由
为奇函数，得
，又
，∴
.结合图象知
，∴
，∴
，当
时，
，∴
是其一条对称轴.
10.【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】
已知函数
EMBED Equation.DSMT4 的图像关于直线
对称，且
，则
的最小值为( ） A.
B.
C.
D.
答案：Ａ
解析：由题设
，于是
最小可以取2.
11．【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】
已知函数的图象的一条对称轴是，则函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
答案: A
解析:由函数的图象的一条对称轴是
得
，解得
，所以函数 的最大值是
.
12．【2012届河北正定中学高三上学期第二次月考】若的内角所对
的边满足，且，则的最小值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：由余弦定理可得：
所以有
二．填空题
13.【2012大同市高三学情调研】在中，内角A、B、C依次成等差数列，，则外接圆的面积为_____.
答案：
解析：由题意可得B=600，由余弦定理得：
，所以
,
由正弦定理可得
,
.
14【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】
已知
，且
，则
的值为
答案：
解析： 由
，且
，得
，
所以
.
15.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】
在
中，
边上的高为
则AC+BC= .
答案：
解析：依题意，利用三角形面积相等有:
利用余弦定理可知
解得：
又因
16.【2012届无锡一中高三第一学期期初试卷】如图，两座相距60m
的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB
的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是 ．
答案:
解析:考查解三角形及和差角公式;
,而
,
三、解答题
17.【北京市海淀区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试】
在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，
，
.
（Ⅰ）求
及
的值；
（Ⅱ）若
，求
的面积.
解：（Ⅰ）因为
，
所以
. ………………………………………2分
因为
，
所以
. ………………………………………3分
由题意可知，
.
所以
. ………………………………………5分
因为
.………………………………………6分
所以
. ………………………………………8分
（Ⅱ）因为
，
， ………………………………………10分[来源:学科网]
所以
.
所以
. ………………………………………11分[来源:学。科。网Z。X。X。K]
所以
. ………………………………………13分
18.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】
如图，在平面直角坐标系中，锐角
和钝角
的终边分别与单位圆交于
，
两点．
⑴如果
、
两点的纵坐标分别为
、
，求
和
；
⑵在⑴的条件下，求
的值；
⑶已知点
，求函数
的值域．
解：（1）根据三角函数的定义，得
，
．
又
是锐角，所以
． ( 4分)
（2）由（1）知
．
因为
是钝角，所以
．
所以
． ( 8分)
（3）由题意可知，
，
．
所以
，
因为
，所以
，
从而
，因此函数
的值域为
． ( 12分)
19【湖北省八校2012届高三第一次联考】
已知幂函数上是增函数，，
（1）当时，求的值；
（2）求的最值以及取最值时x的取值集合.
解：（1）依题设得 ，
……………………（6分）
20.【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】
在
中，角
所对的边分别为
．已知
．
（Ⅰ）若
．求
的面积；
（Ⅱ）求
的取值范围．
解：（1）
EMBED Equation.3
由三角形正弦定理可得：
，
，
……5分
……7分
（2）
……11分
，
……12分 则
……14分
21.【惠州市2012届高三第二次调研考试】
已知函数
，
（1）求该函数的最小正周期和最小值；
（2）若
，求该函数的单调递增区间.
解：（1）
………… 4分
所以
………… 6分
（2）
………… 8分
令
，得到
或
， ………… 10分
与
取交集, 得到
或
,
所以，当
时，函数的
. ………… 12分
22.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】
在
中，角的对边分别为
,且
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，求
面积的最大值.
解析：（I）因为
，所以
. …………1分
又
=
+
=
. ……………6分
（II）由已知得
， …………7分
又因为
， 所以
. …………8分
又因为
，
所以
，当且仅当
时，
取得最大值. …………11分
此时
.
所以的面积的最大值为
. ……………13分
23.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】
在
中，
，
，
，求
及
的值.
解析：由
，得
因为
，
所以
，
若
，则
，这与
矛盾，
所以
，即
………………………………5分
所以
，
即
，
因为
，所以
……………………………………………………8分
由正弦定理，有
，
所以
………………………………………………………12分
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浙公网安备 33021202002483