解题方法与技巧
穿 心
利用向量巧解三角形“四心"的问题
安徽来安县大英中学 (239234) 汤自赢
平面向量既具有几何性质如平行、垂直、夹角等特
征，又具备代数性质，我们可利用向量解决直线或射线、
线段经过三角形的四心(重心、垂心、外心、内心)问题．
一
、 三角形的垂心是三角形三条高的交点
判断一点为垂心的方法：(1)两条高线的交点；(2)
该点和顶点的连线和对边垂直．
【例 1】 P是AABC所在平面上一点，若P ·P百
一 商 ·茏 一 · ，则P为AABC的( )．
A．重心 B．垂心 C外心 D．内心
分析
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：由 ·商 一商 · 得力 ·(P---1-F~)一
0，而 一 ==：c--I，所以商 · 一0，就是说商 J_蔬 ．
同理， 上蔬 ， 上荫 ，所以P为AABC的垂心．
【例 21 AABC的外接圆的圆心为 0，若0再一0
+0 +0e，则 H 为△ABC的( )．
A 重心 B．垂心 C．外心 D．内心
分析：若 一 + + ，则 一 一 +
，即 === +
取 BC中点D，连接 OD，因为 0为外心，OD垂直平
分BC．所以 一 + 一2 ，故AH／／OD，0D上
BC，AH_上IBC 同理，BH上AC，CH上BA．所 以 H 为
△ABC的垂心 ．选 B．
二、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
判断一点为外心的方法 ：(1)两条边的垂直平分线
的交点；(2)该点到三角形三个顶点的距离相等．
【例 3】 △ABC的垂心为 H，0为平面上 的一点 ，
若 一 + + ，则 O为AABC的( )．
A．重心 B垂心 C外心 D内心
分析 ：若 一 + + ，则 一 = +
，即 一 + 取 BC中点D，连接 OD，OD平分
BC．所以 一 + =2 ，故 AH／／OD，AH上
BC，0D上BC所以 0D垂直平分BC．同理可证 0E垂直
平分 船 (E为 AB的中点)，所以0为△ABC的外心．选 C
三、三角形的内心是三角形三内角平分线的交点
判断一点为内心的方法 ：(1)两内角平分线的交点；
(2)该点到三角形三边的距离相等；(3)三角形 内角平分
线性质定理的逆定理．
【例 4】 0为z~ABC所在平面内一定点，若ABC平
面内有一动点 P满足关系~o-7 一o-I+ ( +
l^ 13l
)， ∈[0，+。。)，则点 P经过AABC的( )．
1^ J
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
分析：本题的关键是弄清楚 ( + )表示
什么向量，如图1可议~丽A--~
一
A--b， 一磕 测 和
分别是AB、AC方向上的单位
N-N删 + 的方
ZItONGXUE JIAOXUE CANKAO
A
图 1
C
向为 BAC的角平分线 的方向．所以 P的轨迹一定通
过△ABC的内心，选 D．
四、三角形的重心是三角形三条中线的交点
判断一点为重心的方法：(1)两条中线的交点；(2)
中线上的点到顶点的距离是到对边中点距离的二倍．
【例 51 在AABC中，若 + + 一0，则 0为
△ABC的 ( )．
八 重心 B垂心 C．外心
分析：若 + + ===0，则
o-I一一(碡 + )，若取 BC中点
D， + 一2 ，因为 +
+ 一0，所 以 一一2 ，．。．A、
O、D共线且AD平分 BC．．．．点 0在
BC边的中线上，同理，点 0分别在
AB、AC边 的 中线 上，．‘．点 0 为
△ABC的重心 ．选 A．
D．内心
A
B D C
图 2
【例 61 0为AABC所在平面~--fg点，若ABC平
面内有 点P满足关 系式 一 +
—IX ~ l s—inC)， ∈(。，+。。)，则 AP经过△ABc的(
J．
A 重心 B垂心 c 夕 D．内
分析 ：由 一 + + )得
一 ( + )，因为 I I sinB=
l l s．nc，所 以 一 ( + )一
一^面‘2 (D为BC的中点)，所以A、P、D共
线．即AP经过AABC的重心 ．选 A．
通过以上例题可以看出，用向量判断一线经过三角
形的四心情况时，要利用三角形的四心 I9_质和向量的有
关运算 ，进行综合分析，结合图象得出结论．
(青任编辑 金 铃 )
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