第二章 微分方程模型

null第二章 微分方程模型第二章 微分方程模型利用微分方程解决的问题通常可以分为两类： （1）要求把未知变量直接表示为已知量的函数 （2）只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势 在实际问题中，体现为“增长”、“衰变”、“边际”等问题。第二章 微分方程模型 §2-1 微分方程的定解 §2-2 微分方程的建模步骤 §2-3 微分方程建模实例第二章 微分方程模型null §2-1 微分方程的定解问题 一、基本概念 二、微分方程的定解问题 三、微分方程的平衡解与稳定性 null一般地，n阶微分方程的形式是 或 若在区间I上存在具有n阶导数的函数 ，满足 则 称为微分方程的解。一、基本概念 1、微分方程的解null微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数，且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解就称为微分方程的通解。 独立任意常数：指不能合并而使任意常数的个数减少。 微分方程的定解 确定微分方程的通解中任意常数后的微分方程的解。一、基本概念 2、微分方程的通解与定解null1、一阶微分方程的定解问题 求微分方程 满足初始条件 的定解，称为一阶微分方程的定解问题。 记作 3、n阶微分方程的定解问题 2、二阶微分方程的定解问题 记作二、微分方程的定解问题 null1、平衡解 即微分方程不变化的解，也就是常数解。 一般地，一阶微分方程 （2－1－1） 右端不显含自变量t，代数方程 的实根 称为微分方程的平衡解。 例： 的解y=a，y=b都是该方程的平衡解 2、平衡解的稳定性 如果从任意可能的初始条件出发，微分方程（2-1-1）的解x（t）都满足 则称平衡解x=x0是稳定的；否则称x=x0是不稳定的。三、微分方程的平衡解与稳定性 1、平衡解含义 2、平衡解的稳定性定义 null（1）求（2-1-1）的解，利用定义判断 （2）不求（2-1-1）的解，利用f（x）在x=x0处的展式 通解为 ①当 时， ，平衡解x=x0稳定 ②当 时， ，平衡解x=x0不稳定 例：捕鱼问题、湖水污染问题等 三、微分方程的平衡解与稳定性 3、判断方法 null第二章 微分方程模型 §2-1 微分方程的定解 §2-2 微分方程的建模步骤 §2-3 微分方程建模实例 null §2-2 微分方程的建模步骤 一、引例 二、微分方程的建模步骤 null一、引例—人的体重变化问题 1、提出问题 2、分析问题1、提出问题 （1）某人的摄入热量是2500Ca/天，其中1200Ca用于基本的新陈代谢 （2）健身训练中消耗是16Ca/天·kg （3）以脂肪形式贮藏的热量100%地有效 （4）1kg脂肪含热量10000Ca 求此人的体重随时间变化的规律 2、分析问题 （1）将体重看成时间的连续函数 （2）体重的变化=输入-输出 =扣除基本新陈代谢之外的净吸收量-进行健身训练时的消耗一、引例—人的体重变化问题 3、建模 4、求解一、引例—人的体重变化问题 3、建模 4、求解3、建模 设人的体重为W（kg） 每天净吸收量=2500-1200=1300（Ca） 每天净输出=16W（Ca） 每天体重变化 4、求解 设一天开始时的体重为W（0）=W0，解得人的体重随时间变化规律为：二、微分方程的建模步骤二、微分方程的建模步骤1、翻译或转化 根据实际问题给出的信息转化为导数问题。 （1）速率、增长、衰变、边际、改变、变化等都可以转化为导数问题 （2）很多问题遵循模式 “净变化率=输入率-输出率” 2、单位同一 微分方程模型中每一项都应该有相同的物理单位。 3、给定条件 关于所研究问题在某一特定时刻的信息，利用其确定微分方程解中的有关常数。 4、建立模型寻找 之间的关系，建立微分方程模型。第二章 微分方程模型第二章 微分方程模型 §2-1 微分方程的定解 §2-2 微分方程的建模步骤 §2-3 微分方程建模实例 null§2-3 微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 三、捕鱼问题 四、飞机的降落曲线问题微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 1、提出问题 2、分析问题 微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 1、提出问题 2、分析问题 1、提出问题 设一只恶狼与一只兔子相遇,兔子位于恶狼正西 100m处。再假设它们同时互相发现了对方并同时起跑,兔子往正北方向60m处的巢穴逃窜, 恶狼追捕兔子。如果兔子和恶狼都作匀速跑动,且狼的速度是兔子速度的2倍, 那么问兔子能否逃脱恶狼的追捕? 2、分析问题 建立坐标系，如图所示。 设兔子的初始位置为坐标原点0,狼在x轴上点 A处,兔子的巢穴在 y 轴 上点 B，则有 （1）|OA|=100, |OB|=60 （2）兔子的运动轨迹为沿y轴做匀速直线运动 （3）狼的运动轨迹则是一条连续曲线 （4）在任意一个相同的时刻,曲线上狼的位置与y轴上兔子的位置的连线恰好是曲线上该点处的切线 微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 3、建立模型 微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 3、建立模型 设狼的运动轨迹方程为y=f(x),则当兔子跑到点 N(0,h)时,狼在点M(x,y)处 , 由于狼的速度是兔子速度的2倍,所以在相同的时间内,狼跑的总路程也是兔子跑的总路程的 2 倍。因而有初始条件 （2－3－1） （2－3－2） 由直线的两点式方程以及弧长公式可得 （2－3－3） （2－3－4） 由式（2－3－3）得 ，代入到式（2－3－4）中,得微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 3、建立模型 两边对 x 求导, 并运用公式 得到恶狼捕食兔子的数学模型 （2－3－5）微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 3、建立模型 微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 4、求解模型 （1）令 ， 则式（2－3－5）可以转化为 （2）运用分离变量法求解得 其中， 为常数。微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 4、求解模型 （3） 又由 得微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 4、求解模型 5、解的讨论 4.求解模型 （4）利用初始条件 得 （5）模型的解,即狼的运动轨迹方程为 5、解的讨论 由于 ,所以狼没有追上兔子,或者说兔子能够安全地 逃进它的巢穴中。 此模型还可以用来做描述导弹在追击某个做直线运动目标时的数学 模型。微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 4、求解模型 5、解的讨论 null§2-3 微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 三、捕鱼问题 四、飞机的降落曲线问题 微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 1、问题的提出 在现代城市自动化交通管理中，各交通路口都施行信号灯光管制。具体方法是在交通路口处设置了红、黄、绿灯，而在绿灯灭到红灯亮的过渡阶段，就要用黄灯来控制。黄灯点亮的时间少，会造成有些车辆因来不及停车而越过十字路口的停车线，但又由于红灯亮了而过不了十字路口，势必造成交通混乱；黄灯时间过长又会浪费时间，从而降低道路利用率，甚至造成交通堵塞。 这就需要建立一个黄灯点亮最佳时间的数学模型。微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 1、问题的提出 微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 2、分析问题 正常行驶的车辆在十字路口附近突然看到前面黄灯亮了时，驾驶员首先要做出决定：是停车还是继续行驶通过十字路口。 1、当决定停车时，必须有一定的刹车距离，以确保能使车辆来得及停在停车线以外。 2、当决定通过十字路口时，必须有足够的时间使他能够在红灯亮之前完全通过十字路口。 （1）驾驶员做出决定的时间 ( 反应时间 ) （2）车辆由刹车开始到停住车的时间 （3）车辆以法定最快的速度通过一个典型车身和路口宽度 (即十字路口处同一条路上两条停车线之间的距离)所需的时间。 微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 2、分析问题 微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 3、量的分析 4、模型假设3、量的分析 车辆行驶的时间t、速度v、行驶距离x 十字路口处同一条路上两条停车线间距离I 典型车辆车身长L、车辆全部重量(包括车身和载重)为W 刹车时车辆与地面的摩擦系数μ 每次黄灯亮的时间T 4、模型假设 在公路上车辆都能正常行驶且遵守交通规则 在所考虑的街道上，车辆的法定最高行驶速度为 v0 车辆在十字路口附近行驶速度均为法定最高速度 黄灯亮时车辆通过十字路口的速度保持为v0 反应时间均为t0，车辆以速度v0行驶距离I+L所需时间为 t2 车辆按速度v0行驶时，开始刹车到车辆停止行进的时间为t1，同时所经过的路程为x0 微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 3、量的分析 4、模型假设微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 5、符号意义说明T ——黄灯应亮时间 T1——驾驶员反应时间 T2 ——汽车通过十字路口时间 T3——匀速驶过刹车距离的驾驶时间 v0 ——法定行驶速度 I——十字路口长度 L ——典型车身长度 m——汽车质量 f ——刹车摩擦系数 x（t）——汽车行驶距离 t1——刹车时间微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 5、符号意义说明微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 6、建模与求解 求T1、 T2T＝ T1+ T2+ T3 （1） T1的计算 可以根据统计数据或经验得到，一般可以取为1秒。 （2） T2的计算 注：汽车尾部必须通过路口 微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 6、建模与求解 求T1、 T2微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 6、建模与求解 求T3 由牛顿第二定律，车辆在刹车过程中满足微分方程： （1）一次积分 (2-3-6) （2）x=0条件下，再积分一次 (2-3-7)微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 6、建模与求解 求T3 （3）在刹车的最后v=0，所经过的时间t1 由（2－3－6）得 (2-3-8) （4）x（t1） (2-3-8)代入(2-3-7)得 （5）求T3 微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 6、建模与求解 求T 7、模型分析6、建模求解 黄灯亮的最佳时间 7、模型分析 T关于v0的曲线图如图 T*的求解：利用初等数学的公式，对于任意非负实数α和 b，均有 可求得 T 的极值T*为 微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 6、建模与求解 求T 7、模型分析null §2-3 微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 三、捕鱼问题 四、飞机的降落曲线问题 微分方程建模实例 三、捕鱼问题 （一）、提出问题 （二）、分析问题（一）、提出问题 考察一个渔场： （1）鱼量在天然环境下按一定规律增长 （2）捕鱼越多，所获得的经济效益越大 （3）但捕捞的鱼过多，会造成鱼量的急剧下降而影响以后的捕鱼数量 。 目标：在鱼的总量保持稳定的条件下，控制捕捞使持续产量或经济效益 最大。 （二）、分析问题 （1）存在阻滞增长 （2）鱼的总量保持稳定，暗示着会用到平衡解稳定性的讨论。微分方程建模实例 三、捕鱼问题 （一）、提出问题 （二）、分析问题微分方程建模实例 三、捕鱼问题 （三）、建模与求解 1、目标为鱼量稳定条件下捕捞量最大（1）量的分析 x(t)——时刻t渔场中鱼量 x0——平衡解 r ——鱼量的自然增长率 K——捕捞率 xm——渔场资源条件所限制的 鱼量最大值 ym——最大捕捞量 （2）无捕捞情况 x(t)服从阻滞增长模型,则有 微分方程建模实例 三、捕鱼问题 （三）、建模与求解 1、目标为鱼量稳定条件下捕捞量最大（3）有捕捞情况 假设条件：单位时间捕鱼量与渔场鱼量成正比 （2－3－9） （4）平衡解讨论 令 得平衡解 （2-3-10） 对（2－3－9），令 得 微分方程建模实例 三、捕鱼问题 （三）、建模与求解 1、目标为鱼量稳定条件下捕捞量最大（4）平衡解讨论 ①当 Kr 时， x0是不稳定的平衡解，需要改变捕捞方法以保证鱼量稳定 （5）捕捞系数K的选取 图解法讨论在保持鱼量稳定的条件下，如何选取捕捞系数K使捕捞量 最大。 微分方程建模实例 三、捕鱼问题 （三）、建模与求解 1、目标为鱼量稳定条件下捕捞量最大 微分方程建模实例 三、捕鱼问题 （三）、建模与求解 1、目标为鱼量稳定条件下捕捞量最大（5）捕捞系数K的选取 令 ①由于f1（x）在原点的切线为y=rx，从而当K0, 经营者会增加捕捞强度。 ②若 K>kα, L（K）<0, 这时必定有经营者退出经营。 ③kα是盲目捕捞下的临界强度，等于最大效益下捕捞率的两倍。 ④盲目捕捞下, 渔场稳定鱼量 完全由成本一价格比决定，所以当捕捞成本下降或鱼的价格上升时，鱼量迅速减少，出现捕捞过度。 null §2-3 微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 三、捕鱼问题 四、飞机的降落曲线问题 微分方程建模实例 飞机的降落曲线问题 1、问题的提出在研究飞机的自动着陆系统时 , 技术人员需要分析飞机的降落曲线。 根据经验 , 一架水平飞行的飞机 , 其降落曲线是一条立方抛物线 , 己知 飞机的飞行高度为 h, 飞机的着 陆点为坐标原点 , 且在整个降落过程中, 飞机的水平速度始终保持为常数 u，出于安全考虑 , 飞机的垂直加速 度的绝对值最大不得超过 （g 为重力加速度）。 求 :（1） 若飞机从 处开始下降 , 试确定飞机的降落曲线 ; （2）求开始降落时下降点 所能 允许的最小值 .微分方程建模实例 飞机的降落曲线问题 1、问题的提出微分方程建模实例 飞机的降落曲线问题 2、模型假设 3、建模求解(1)2、模型假设 假设飞机降落时在铅直平面内飞行 , 其降落曲线是该铅直平面内的一 条 平面曲线 。以飞机着陆点为原点 , 以铅直面与地面的交线为 Z 轴建立平 面直角坐标系 ,y 表示飞机的飞行高度 。 3、建模求解（1） 设飞机的降落曲线为 且满足条件 解方程组得 由曲线光滑有 降落曲线 微分方程建模实例 飞机的降落曲线问题 2、模型假设 3、建模求解(1)微分方程建模实例 飞机的降落曲线问题 3、建模求解(2)飞机的垂直速度 飞机的水平速度 有 垂直加速度H（x）为 微分方程建模实例 飞机的降落曲线问题 3、建模求解(2)根据设计要求有 则x0必须满足 飞机所需的降落距离不得小于 例如当飞机以水平速度每小时 540 千米 , 高度 1000 米飞临机 场上空时 ,