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数学压轴
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
突破训练:数列
1. 已知数列
为等差数列,每相邻两项
,
分别为方程
,(
是正整数)的两根. w(1)求
的通项公式;(2)求
之和;
(3)对于以上的数列{an}和{cn},整数981是否为数列{
}中的项?若是,则求出相应的项数;若不是,则说明理由.
2. 已知二次函数
的图像经过坐标原点,其导函数为
,数列
的前n项和为
,点
均在函数
的图像上.
(Ⅰ) 求数列
的通项公式;
(Ⅱ) 设
,
是数列
的前n项和,求使得
对所有
都成立的最小正整数m.
3. 已知函数
,数列{
}是公差为d的等差数列,数列{
}是公比为q的等比数列(q≠1,
),若
,
,
(1)求数列{
}和{
}的通项公式;
(2)设数列{
}的前n项和为
,对
都有
…
求
4. 各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn,函数
(其中p、q均为常数,且p>q>0),当
时,函数f(x)取得极小值,点
均在函数
的图象上,(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)
(1)求a1的值;
(2)求数列
的通项公式;
(3)记
的前n项和Tn.
5. 已知函数
且任意的
、
都有
(1)若数列
(2)求
的值.
6. 已知函数
,若数列:
成等差数列.
(1)求数列
的通项
;
(2)若
,令
,求数列
前
项和
;
(3)在(2)的条件下对任意
,都有
,求实数
的取值范围.
7. 已知函数
,当
时,
(1) 证明:
(2) 若
,求实数
的值。
(3) 若
,记
的图象为C,当
时,过曲线上点
作曲线的切线
交
轴于点
,过点
作切线
交
轴于点
,……依次类推,得到数列
,求
8. 设函数
.
(1)若
在定义域内为单调函数,求
的取值范围;
(2)证明:①
;
②
9. 某公司按现有能力,每月收入为70万元,公司分析部门测算,若不进行改革,入世后因竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得入世第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元,如果进行改革,即投入技术改造300万元,且入世后每月再投入1万元进行员工
培训
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,则测算得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn=an+b,且入世第一个月时收入将为90万元,第二个月时累计收入为170万元,问入世后经过几个月,该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.
10. 已知奇函数
(Ⅰ)试确定实数a的值,并证明f(x)为R上的增函数;
(Ⅱ)记
求
;
(Ⅲ)若方程
在(-∞,0)上有解,试证
.
11. 已知
,数列
满足
,
。(
)
(1) 判断并证明函数
的单调性;
(2) 数列
满足
,
为
的前
项和。证明:
<
。
12. 已知数列
的前
项和为
,若
,
(1)证明数列
为等差数列,并求其通项公式;
(2)令
,①当
为何正整数值时,
:②若对一切正整数
,总有
,求
的取值范围。
13. 如图,将圆分成个区域,用3种不同颜色给每一个区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色
方法
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种数记为。求
(Ⅰ);
(Ⅱ)与的关系式;
(Ⅲ)数列的通项公式,并证明。
14. 设
是两个数列,点
为直角坐标平面上的点.
(Ⅰ)对
若三点
共线,求数列
的通项公式;
(Ⅱ)若数列{
}满足:
,其中
是第三项为8,公比为4的等比数列.求证:点列
(1,
在同一条直线上,并求出此直线的方程.
15. 已知数列
中,
,且
是函数
的一个极值点。
(1)求数列
的通项公式;
(2)若点Pn的坐标为
,过函数
图象上的点
的切线始终与
平行(点O为坐标原点);求证:当
时,不等式
对
成立。
16. 函数
的反函数为
,数列
满足:
,数列
满足:
,
(1)求数列
和
的通项公式;
(2)记
,若对任意的
,恒有
成立,求实数
的取值范围.
17. 已知曲线y=
,过曲线上一点
(异于原点)作切线
。
(I)求证:直线
与曲线y=
交于另一点
;
(II)在(I)的结论中,求出
的递推关系。若
,求数列
的通项公式;
(III)在(II)的条件下,记
,问是否存在自然数m,M,使得不等式m
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
1.解:(1) 设等差数列
的公差为d,由题意得
由
得
由
另解:由
得
(其余略)
(2)
(10分)
(3)
∵n是正整数,
是随n的增大而增大,
又
<981,
>981
∴ 整数981不是数列{
}中的项.
2.解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得
a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
又因为点
均在函数
的图像上,所以
=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-
=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 (
)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知
=
=
,
故Tn=
=
EMBED Equation.3 =
(1-
).
因此,要使
(1-
)<
(
)成立的m,必须且仅须满足
≤
,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.
3.解:(1)数列{
}为等比数列, ∴
为等比数列,
又∵
,
∴
,解得d=2,
∴
又∵
为等比数列,∴
而
,∴
∵
,
,∴
,
∴
(2)由
…
①
…
②
①-②得
∴
对于
,
,
,知其为等比数列
∴
,
,
∴
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
4.解:(I)解:
令
当x=变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(0,
)
(
,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)在x=1处取得最小值,即a1=1.
(II)
EMBED Equation.3 ,
由于a1=1,所以
……………………①.
又
…………………………②。
①-②得
,所以{an}是以a1=1,公差为
的等差数列,
.
(Ⅲ)
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.3
5.解:(1)
而
EMBED Equation.3
(2)由题设,有
又
得
上为奇函数. 由
EMBED Equation.3
得
于是
故
6.解:(1) 由
求得
,所以
,
求得
.
(2)
,
,错位相减得
(3)
,所以
为递增数列.
中的最小项为
,所以
.
7.解:(1)证明:由
即
8.解:(1)
∵
在
单调,
∴
≤0或
≥0在
恒成立,
即
或
在
恒成立,
∴
≤0或
≥1.
(2)① 设
=
,则
,
当
时,
=0
当
时,
>0 ∴
递增,当
时,
<0 ∴
递减,
∴
∴
=
≤0 即
(
>0)
② 由①,
又
>
∴左边=
≤
右边
∴原不等式成立
9.解:入世改革后经过n个月的纯收入为
万元
不改革时的纯收入为
又
(7分)
由题意建立不等式
即
答:经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.
10.解:(I)
得
设
在R上单调递增
(II)
(III)
又f(x)为奇函数,且在R上为单调增函数
当
欲使
上有解
(10分)
即
即
11.解:(1)
≥0,仅当
时,
,故
在R上单调递增。
(2)
为奇函数,
,
由(1)知当
时,
,即
也就是
在
上恒成立。
由已知得
所以
所以
EMBED Equation.3
=
12.解:(1)令
,
,即
由
∵
,∴
,
即数列
是以
为首项、
为公差的等差数列, ∴
(2)①
,即
②∵
,又∵
时,
∴各项中数值最大为
,∵对一切正整数
,总有
恒成立,因此
13.解:(Ⅰ) 当时,不同的染色方法种数 ,
当时,不同的染色方法种数 ,
当时,不同的染色方法种数 ,
当时,分扇形区域1,3同色与异色两种情形
∴不同的染色方法种数 。
(Ⅱ)依次对扇形区域染色,不同的染色方法种数为,其中扇形区域1与不同色的有种,扇形区域1与同色的有种
∴
(Ⅲ)∵
∴
………………
将上述个等式两边分别乘以,再相加,得
,
∴,
从而。
(Ⅲ)证明:当时,
当时, ,
当时,
,
故
14.解:(Ⅰ)因三点
共线,
得
故数列
的通项公式为
(Ⅱ)由题意
由题意得
EMBED Equation.3
当
时,
EMBED Equation.3 .当n=1时,
,也适合上式,
EMBED Equation.3
因为两点
的斜率
EMBED Equation.3 为常数
所以点列
(1,
在同一条直线上,
且方程为:
,即
.
15.解:(1)
∴
∴
∴
,…
∴
,∴
时,
∴
综上
(2)由
得
∴
∵
,
∴
∴
16.解:(1)∵
,∴
,
∴
,即
,
∴数列
是以
为首项,公差为1的等差数列,
∴
,即
由于
,
∴
两式相减得,当
时,
,即
,
它对
也适合,∴
(2)
,得
①
,
∴
,
②
,
,∴
∴
由①②可得,对一切
都有
的
的取值范围为
17.解:(I)y′=
EMBED Equation.3
(II)
(III)
①
②
②-①得:
此时M=2,m=0
18.解:(I)(1)当
时,
,命题成立。
(2)假定
时命题成立,即
那么,
因此,当
时,命题也成立
综合(1)(2)对任何自然数n命题都成立
(II)
,
…
19.解:(1)由表知,每年比上一年多造林400亩.
因为1999年新植1400亩,故当年沙地应降为
亩,但当年实际沙地面积为24000亩,所以1999年沙化土地为200亩.
同理2000年沙化土地为200亩.
所以每年沙化的土地面积为200亩
(2)由(1)知,每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.
设2000年及其以后各年的造林亩数分别为
、
、
、…,则n年造林面积总和为:
由题意:
化简得
解得:
故8年,即到2007年可绿化完全部沙地.
20.解:(I)∵
,
,
,
∴
. 即
.
又
,可知对任何
,
,所以
.
∵
,
∴
是以
为首项,公比为
的等比数列.
(II)由(I)可知
=
(
).
∴
.
.
当n=7时,
,
;
当n<7时,
,
;
当n>7时,
,
.
∴当n=7或n=8时,
取最大值,最大值为
.
(III)由
,得
(*)
依题意(*)式对任意
恒成立,
①当t=0时,(*)式显然不成立,因此t=0不合题意.
②当t<0时,由
,可知
(
).
而当m是偶数时
,因此t<0不合题意.
③当t>0时,由
(
),
∴
∴
. (
)
设
(
)
∵
=
,
∴
.
∴
的最大值为
.
所以实数
的取值范围是
.
21.解:(1)依题意
,
∴
,(*)
∴
,
∵
, ∴
.
∴数列{
}是以b1为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)得
,
又由(1)中的(*)式得:
,
∴
,
由
,
,
得:
解得:
.
22.解:(1) 由
求得
,所以
,
求得
.
(2)
,
,错位相减得
(3)
,所以
为递增数列.
中的最小项为
,所以
.
23.解:由
得
,可求得
.
(2)
,所以
.
设
,要使
在其定义域
内单调,只要
在
满足
或
恒成立.
分
三种情况求得:
或
.
(3)(i)设
,则
.易知当
时
取极大值点,所以
,即有
.
(ii)
又
,有
,令
得
.
EMBED Equation.DSMT4
24.解:(1)
,
.
要使函数f(x)在定义域
内为单调函数,则在
内
恒大于0或恒小于0,
当
在
内恒成立;
当
要使
恒成立,则
,解得
,
当
EMBED Equation.3 恒成立,
所以
的取值范围为
.
(2)根据题意得:
,
于是
,
用数学归纳法证明如下:
当
EMBED Equation.3 ,不等式成立;
假设当
时,不等式
成立,即
也成立,
当
时,
,
所以当
,不等式也成立,
综上得对所有
时,都有
.
(3) 由(2)得
,
于是
EMBED Equation.3 ,
所以
,
累乘得:
,
所以
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
� EMBED Equation.3 ���
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