江苏省泰州中学2010-2011学年度第二学期高一数学期中试卷
江苏省泰州中学2010-2011学年度第二学期高一数学期中试卷
(总分160分,考试时间120分钟)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.不等式
的整数解共有 ▲ 个.
2.在
中,如果
,那么
= ▲ .
3.在等差数列
中,当
时,它的前10项和
= ▲ .
4.在
中,
所对的边分别是
,已知
,则
的形状是 ▲ .
5.海上有
两个小岛相...
江苏省泰州中学2010-2011学年度第二学期高一数学期中试卷
(总分160分,考试时间120分钟)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.不等式
的整数解共有 ▲ 个.
2.在
中,如果
,那么
= ▲ .
3.在等差数列
中,当
时,它的前10项和
= ▲ .
4.在
中,
所对的边分别是
,已知
,则
的形状是 ▲ .
5.海上有
两个小岛相距
EMBED Equation.3 ,从
岛望
岛和
岛所成的视角为
,从
岛望
岛和
岛所成的视角为
,则
岛和
岛之间的距离
= ▲
EMBED Equation.3 .
6.若
为等比数列
的前
项的和,
,则
= ▲ .
7.设关于的不等式
的解集为,且,则实数的取值范围是 ▲ .
8.若
,则
▲ .
9.已知等比数列
满足
,
l,2,…,且
,则当
时,
▲ .
10.在
中,
所对的边分别是
,若
,且
,则
= ▲ .
11.设
是正项数列,它的前
项和
满足:
,则
▲ .
12.已知
,则
的最小值是 ▲ .
13.洛萨
科拉茨(Lothar Collatz, 1910.7.6-1990.9.26)是德国数学家,他在1937年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数
,如果
是偶数,就将它减半(即
);如果
是奇数,则将它乘3加1(即
),不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.如初始正整数为3,按照上述变换规则,我们得到一个数列:3,10,5,16,8,4,2,1.对洛萨
科拉茨(Lothar Collatz)猜想,目前谁也不能证明,更不能否定.现在请你研究:如果对正整数
(
为首项)按照上述规则施行变换后的第六项为1(注:1可以多次出现),则
的所有可能的取值为 ▲ .
14.我们知道,如果定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数、,总有不等式成立,则称函数为该区间上的向上凸函数(简称上凸). 类比上述定义,对于数列,如果对任意正整数,总有不等式:成立,则称数列为向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列满足如下两个条件:
(1)数列为上凸数列,且;
(2)对正整数(),都有,其中.
则数列中的第五项的取值范围为 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.(本小题满分14分)
设函数,若不等式的解集为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若函数在上的最小值为1,求实数的值.
16.(本小题满分14分)
在
中,
所对的边分别是
.
(Ⅰ)用余弦定理证明:当
为钝角时,
;
(Ⅱ)当钝角△ABC的三边
是三个连续整数时,求
外接圆的半径.
17.(本小题满分15分)
在
中,
所对的边分别是
,不等式
对一切实数
恒成立.
(Ⅰ)求
的取值范围;
(Ⅱ)当
取最大值,且
时,求
面积的最大值并指出取最大值时
的形状.
18.(本小题满分15分)
设
是等比数列
的前
项和,
,
,
成等差数列.
(Ⅰ)求数列
的公比
;
(Ⅱ)求证:
,
,
成等差数列;
(Ⅲ)当
,
,
EMBED Equation.3 成等差数列时,求
的值.
19.(本小题满分16分)
某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖,该企业计划从今年起,10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元,企业员工每年净增人.
(Ⅰ)若,在计划时间内,该企业的人均年终奖是否会超过3万元?
(Ⅱ)为使人均年终奖年年有增长,该企业每年员工的净增量不能超过多少人?
20.(本小题满分16分)
将数列
中的所有项按第一排三项,以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:记表中的第一列数
构成的数列为
,已知:
①在数列
中,
,对于任何
,都有
;
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为
的等比数列;
③
.请解答以下问题:
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)求上表中第
行所有项的和
;
(Ⅲ)若关于
的不等式
在
上有解,求正整数
的取值范围.
江苏省泰州中学2010-2011学年度第二学期高一数学期中试卷参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.
2.
3.
4.直角三角形 5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由条件得
, 4分
解得:. 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得, 8分
的对称轴方程为,在上单调递增, 10分
时,
, 12分
解得.. 14分
16.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)当
为钝角时,
, 2分
由余弦定理得:
, 5分
即:
. 6分
(Ⅱ)设
的三边分别为
,
EMBED Equation.3 是钝角三角形,不妨设
为钝角,
由(Ⅰ)得
, 9分
,
当
时,不能构成三角形,舍去,
当
时,
三边长分别为
, 11分
, 13分
外接圆的半径
. 14分
17.(本小题满分15分)
解:(Ⅰ)由已知得:
, 4分
. 5分
6分
(Ⅱ)
当
取最大值时,
. 8分
由余弦定理得:
,
, 12分
当且仅当
时取等号,此时
, 13分
由
可得
为等边三角形. 15分
18.(本小题满分15分)
解:(Ⅰ)当
时,
,
,
,
,
EMBED Equation.3 ,
,
不成等差数列,与已知矛盾,
. 2分
由
得:
, 4分
即
,
,
(舍去),
6分
(Ⅱ)
,
,
EMBED Equation.3 ,
,
成等差数列. 9分
(Ⅲ)
,
,
成等差数列
,
或
,则
, 11分
同理:
或
,则
,
或
,则
,
或
,则
,
的值为
. 15分
19.(本小题满分16分)
解:(Ⅰ)设从今年起的第年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为万元.
则; 4分
解法1:由题意,有, 5分
解得,. 7分
所以,该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标. 8分
解法2:由于,所以 7分
所以,该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标. 8分
(Ⅱ)解法1:设,
则
,13分
所以,,得. 15分
所以,为使人均发放的年终奖年年有增长,该企业员工每年的净增量不能超过23人.16分
解法2: 13分
由题意,得,解得. 15分
所以,为使人均发放的年终奖年年有增长,该企业员工每年的净增量不能超过23人. 16分
20.(本小题满分16分)
解:(Ⅰ)由
,得数列
为常数列。故
,所以
. 4分
(Ⅱ)∵
,
∴表中第一行至第九行共含有
的前63项,
在表中第十行第三列. 7分
故
,而
,∴
. 9分
故
. 10分
(Ⅲ)
在
上单调递减,
故
的最小值是
. 11分
若关于
的不等式
在
上有解,
设
,则必须
. 12分
(或
),
,函数
当
且
时单调递增. 14分
而
,
,所以
的取值范围是大于4的一切正整数. 16分
� EMBED Equation.3 ���
PAGE
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_1364276174.unknown
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