四年级奥数学习之还原问题(彩色版,含解答)

目    录 课 本 第 1讲   整数计算综合 .................................................1 第2讲   还原问题 .....................................................7 第3讲   数阵图初步 ..................................................13 第4讲   竖式问题 ....................................................20 第5讲   几何图形剪拼 ................................................26 第6讲   路程、时间、速度 ............................................32 第 7讲   行程中的线段图 ..............................................40 第8讲   简单抽屉原理 ................................................45 第9讲   基本直线形面积 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载  ..........................................51 第 10讲   底、高的选取与组合 ..........................................59 第 11 讲   变倍问题 ....................................................66 第 12讲   和差倍中的分组比较 ..........................................71 第 13讲   年龄问题 ....................................................76 第 14讲   数列数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 规律 ................................................80 第 15讲   复杂数表估算 ................................................86 第 16讲   加法原理与乘法原理 ..........................................93 第 17讲   乘法原理进阶 ...............................................101 第 18讲   火车行程 ...................................................107 第 19讲   统筹规划 ...................................................115 第20讲   游戏对策 ...................................................122 目 录 7 还原问题 课 本 2 还原问题 我们以前遇到过的应用题，大都是已知“起因”和“经过”，需要算出“结果”的问 题．举一个简单的例子：猪八戒吃了 10块西瓜，没有吃够，又吃了 5块西瓜才罢休，那 么猪八戒一共吃了10 5 15+ = （块）西瓜．如果交换已知与所求，问题则变成：猪八戒吃了 一些西瓜后，又吃了 5块，这时它一共吃了 15块西瓜，那么猪八戒原来吃了15 5 10− = （块） 西瓜．这时我们已知“经过”和“结果”，需要反求出“起因”． 本讲中我们就将遇到这样一类应用题：开始时的状态不知道，只知道中间的过程以 及结束时的状态．这时我们需要从最后结果出发，利用已知条件一步一步倒推，逐步接 近最开始的状态，直至解决问题．这种思考问题的方法叫做倒推法（还原法）． 我们在倒推求解问题时，常常通过逆运算来还原：加法用减法还原，减法用加法还原， 乘法用除法还原，除法用乘法还原．即原来是加（减）几，还原时要变成减（加）几；原来 是乘（除）几，还原时要变成除（乘）几． 8 四 年 级 上册第 2 讲 分析 我们把一个数经过的四步计算过程用下面的示意图来表示，看看能先算 出哪个数呢？ 练习 1.将一个自然数减去 18，然后乘 4，再除以 7，得到的商是 23，余数是 3．请问这 个自然数是多少？ 分析 我们根据最后树上剩下的 4个桃子，可以一步一步地倒推出原来树上有 多少个桃子．第三只猴子吃了 3个桃子并摘下了剩下桃子的一半，我们应该先 倒推摘桃子的过程还是倒推吃桃子的过程？ 有一个数，把它加上 37，再乘以 18，减去 323，得到的 结果用 23去除，商是 16，余数是 11．这个数是多少？ 例题 1 ˛ ˛ ˛ ˛ަ౨ 37 ѐྻ 18 ߈௠ 323 ౥ 16ဥ 11҂ྻ 23 果园里有一棵桃树．有一天，三只猴子来偷吃桃子．第一 只猴子吃了 1个桃子并摘下了剩下桃子的一半，然后第二只猴子吃了 2个 桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了 3个桃子并摘下了剩 下桃子的一半．这时树上刚好还有4个桃子，请问原来树上一共有几个桃子？ 例题 2 9 还原问题 课 本 练习 2.田地里种着一些玉米．一天晚上，田鼠一家来偷玉米．田鼠爸爸偷走了所有玉米 的一半多一个，田鼠妈妈偷走了剩下玉米的一半多一个，最后田鼠宝宝偷走了剩下玉米 的一半多一个．这时所有玉米恰好被田鼠一家偷光了．请问原来田地里一共有多少个玉 米？   李白买酒  朱世杰是我国宋元时期杰出的数学家，他的《四元玉鉴》中，有许多精辟的数学创 作．流传极广的数学名题“李白买酒”，就出现在《四元玉鉴》中．题目是这样的： 无事街上走，提壶去买酒， 遇店加一倍，见花喝一斗． 三遇店和花，喝光壶中酒． 诗的意思是说，李白一日闲来无事，在街市上游走，忽然闻到不远处香气扑鼻，单 凭嗅觉他就断定那必是清香爽口、绵柔顺和的醇酒，便忍不住要前去打酒．他的壶中本 来就有酒，每次遇到有卖如此醇酒的小店时再打的酒都与壶中的酒一样多，壶中酒便也 因此增加一倍；每次看到花，他就不禁饮酒作诗，喝上一斗．这样边打边饮，三次之后， 壶中的酒就全部被喝光了． 这是一道典型的还原问题，聪明的同学们，你知道李白的酒壶中原来有多少酒吗？ 当题目中有两个或两个以上的量在变化时，只是画出示意图有时不能把中间步骤表 示清楚，这时我们可以采用列表格的方法依次记录每一个变化过程． 分析 你能算出最后哥哥和弟弟各挑多少块砖吗？在倒推的过程中，哥俩挑的砖 的数量都在变化，一个示意图就显得力不从心了．我们可以列表来倒推分析两人 挑的砖的数量变化． 地上有 26块砖，兄弟二人争着去挑．弟弟抢在前面，刚 挑起一些砖，哥哥赶到了，挑了剩下的砖．哥哥看弟弟挑得太多，就从弟 弟那儿抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半．哥哥不服，弟弟只 好再给哥哥 5块，这时哥哥比弟弟多挑 2块．请问：最初弟弟准备挑多少块 砖？ 例题 3 10 四 年 级 上册第 2 讲 练习 3.王刚和李强手中各有若干枚硬币．开始时李强给王刚一些硬币，让王刚手中的硬 币数量增加一倍；然后，王刚给李强一些硬币，让李强手中的硬币数量增加一倍．这样 交换后，每人手中各有 20枚硬币．请问：原来两人各有多少枚硬币？ 分析 每操作一次，两人的糖的数量都在变化，大家可以像例题 3那样自己列 表分析．每次都是糖多的人给糖少的人一些糖，让糖少的人的糖数加倍，那么 在最后一步操作中是甲给乙一些糖呢？还是乙给甲一些糖呢？ 练习 4.甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的 人的糖数增加一倍．经过四次这样的操作以后，甲有 7块糖，乙有 12块糖．两个人原来 的糖数分别是多少？ 哥哥挑的砖 弟弟挑的砖 开始时 弟弟减半后 哥哥减半后 弟弟给哥哥 5块后 甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的 人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍．经过三次这样的操作以后，甲 有 5块糖，乙有 12块糖．两个人原来的糖数分别是多少？ 例题 4 11 还原问题 课 本 分析 大家能算出最后三人各有多少钱吗？试着列表倒推分析吧． 练习 5.三堆苹果共有 48个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相同的苹果并入第二堆，再 从第二堆里拿出与第三堆个数相同的苹果并入第三堆，最后再从第三堆里拿出与这时第 一堆个数相同的苹果并入第一堆，结果三堆苹果数完全相同．问：原来这三堆苹果各有 多少个？ 甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些 钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了 2倍，结果乙的钱最多；接着 乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加 2倍，结果丙的钱最多；最 后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加 2倍，结果三人的钱数 一样多．如果他们三人共有 81元，那么三人原来分别有多少钱？ 例题 5 甲、乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次糖多的人给糖少的人一些糖， 使其糖数增加 1倍；经过 2010次这样的操作以后，甲有 16块糖，乙有 2块糖． 求两个人原来的糖数分别是多少？ 思考题 12 四 年 级 上册第 2 讲 本 讲 知 识 点 汇 总 一、在倒推求解问题时，常常通过逆运算来还原：加法用减法还原，减法用加法还原， 乘法用除法还原，除法用乘法还原． 二、当题目中有两个或两个以上的量在变化时，可以采用列表格的方法依次记录每 一个变化过程． 作 业 1.某数加上 2，除以 5，加上 5，除以 2，其结果等于 10，那么这个数是多少？ 2.袋子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，一共这样做了 4次 之后，袋子里还有 3个球．请问：原来袋子里有多少个球？ 3.猴子淘淘和奇奇结伴去摘桃子，摘了一个下午，一共摘了 40个桃子．奇奇看到淘 淘摘的桃子比它多得多，不高兴了，把淘淘摘的桃子的一半抢了过来，和自己摘的放在 一起；淘淘也不甘示弱，抢走了奇奇现有桃子的一半；最后奇奇又从淘淘那里抢了 7个桃 子，这时淘淘和奇奇的桃子一样多．请问：开始时奇奇摘了多少个桃子？ 4.在电脑里输入一个数，它会按既定的指令进行如下运算：如果是偶数，就把它除 以 2；如果是奇数，就把它加上 3．这样进行了 3次运算之后，得到的结果为 27．请问： 原来输入的数可能是多少？ 5.有甲、乙、丙三袋水果糖，先取出甲袋的一半，平均放入乙、丙两袋中；再取出 乙袋的一半，平均放入甲、丙两袋中；最后取出丙袋的一半，平均放入甲、乙两袋中， 这时三袋糖正好都是 32块．请问：原来甲、乙、丙三袋中各有多少块水果糖？ 1 例题详解 四年级上册 第 1 讲  整数计算综合 例题 1. 答案：4． 解答：根据运算“”的定义，我们有：( ) ( )6 1 5 2 91+ ×  −  = □ ，即 5 15=□ ．再用一次运算“” 的定义，有 ( ) ( )+1 5 2 15× − =□ ，所以 4=□ ． 例题 2.答案：（1）144；（2）2420． 解答：（1）原式 6 12 3 9 8 11 9 11 12 6 3 8 144= × × × × × ÷ ÷ ÷ = × × = ． （2）原式 ( )31 121 11 8 125 1000 121 31 121 11 121 31 11 121 20 121 2420= × − × × ÷ × = × − × = − × = × = ． 例题 3.答案：（1）111；（2）13748． 解答：（1）原式 ( ) ( )555 445 555 1 444 555 445 555 444 1 444 555 445 444 444 555 444 111= × − + × = × − × − × = × − − = − = ( ) ( )555 445 555 1 444 555 445 555 444 1 444 555 445 444 444 555 444 111= × − + × = × − × − × = × − − = − = ． （2）原式 ( ) ( ) ( )42 137 58 137 1 80 70 15 42 137 58 137 58 10 42 58 137 48 13748= × + × + − + ÷ = × + × + − = + × + = ( ) ( ) ( )42 137 58 137 1 80 70 15 42 137 58 137 58 10 42 58 137 48 13748= × + × + − + ÷ = × + × + − = + × + = ． 例题 4.答案：1584． 解答：每三个数分成一组计算： 原式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 9 97 98 99 0 3 6 96 3 96 32 2 1584= + − + + − + + − + + + − = + + + + = + × ÷ =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 9 97 98 99 0 3 6 96 3 96 32 2 1584= + − + + − + + − + + + − = + + + + = + × ÷ =  ． 例题 5.答案：5000． 解答：原式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )99 100 98 97 98 96 95 96 94 3 4 2 2 1 2 99 97 95 1 5000= × − + × − + × − + + × − + × = × + + + + =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )99 100 98 97 98 96 95 96 94 3 4 2 2 1 2 99 97 95 1 5000= × − + × − + × − + + × − + × = × + + + + =  ． 例题 6.答案：（1）210；（2）900003． 解答：（1） ( ) ( )2 220 19 20 19 20 19 20 19− = + × − = + ，一加一减分成一组，原式 20 19 18 17 2 1 210= + + + + + + = 20 19 18 17 2 1 210= + + + + + + = ． （2）原式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2950 1 950 1 50 2 50 2 950 1 50 2 950 50 950 50 3 900003= + × − − + × − = − − + = + × − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2950 1 950 1 50 2 50 2 950 1 50 2 950 50 950 50 3 900003= + × − − + × − = − − + = + × − + = ． 第 2 讲  还原问题 例题 1.答案：2． 解答：除以 23商 16余 11，这个数是 23 16 11 379× + = ；减 323得 379，这个数是 379 323 702+ = ； 乘以 18得 702，这个数是 702 18 39÷ = ；加上 37得 39，可得原数是 39 37 2− = ． 例题 2.答案：49个． 解答：第三只猴子吃之前，树上有4 2 3 11× + = （个）桃子；第二只猴子吃之前，树上有11 2 2 24× + = （个） 桃子；第一只猴子吃之前，树上有24 2 1 49× + = （个）桃子． 例题 3.答案：16块． 解答：最后哥哥准备挑( )26 2 2 14+ ÷ = （块）砖，弟弟准备挑 26 14 12− = （块）砖，先填出下表的最后一行； 2 例题详解 四年级上册 在弟弟给哥哥 5块之前，哥哥有14 5 9− = （块），弟弟有 26 9 17− = （块）；哥哥减半之前，哥哥有9 2 18× = （块），弟弟有 26 18 8− = （块）；弟弟减半之前，弟弟有8 2 16× = （块），哥哥有 26 16 10− = （块）． 例题 4.答案：甲 7块，乙 10块． 解答：最后甲有 5块，乙有 12（块），乙的块数是偶数，所以第三次操作一定是甲给乙糖让乙的糖加倍， 第三次操作前乙有12 2 6÷ = （块）糖，甲有 5 6 11+ = （块）糖；乙的块数是偶数，所以第二次操作是甲 给乙糖让乙的糖加倍，第二次操作前乙有 6 2 3÷ = （块）糖，甲有11 3 14+ = （块）糖；甲的块数是偶数， 所以第一次操作前甲有14 2 7÷ = （块）糖，乙有 3 7 10+ = （块）糖． 例题 5.答案：甲 55元，乙 19元，丙 7元． 解答：最后三人各有 81 3 27÷ = （元）；丙拿钱之前，甲有 27 3 9÷ = （元），乙 27 3 9÷ = （元），丙 有 81 9 9 63− − = （元）；乙拿钱之前，甲有 9 3 3÷ = （元），丙有 63 3 21÷ = （元），乙有 81 3 21 57− − = （元）； 甲拿钱之前，乙有 57 3 19÷ = （元），丙有 21 3 7÷ = （元），甲有 81 19 7 55− − = （元）． 第 3 讲  数阵图初步 例题 1.答案：如左图． 解答：在右图中，观察 A、5、6组成的三 角形可知 15 5 6 4A = − − = ，观察 5、9、B组 成的三角形可知 15 5 9 1B = − − = ．类似的方 法可知 15 9 4 2C = − − = ， 15 6 1 8D = − − = ， 15 2 6 7E = − − = ， 15 7 5 3F = − − = ． 例题 2.答案：如左图． 解答：如右图，比较上边三个数和右边三个数， 它们的和相等，A是公共部分，所以1 16 9 B+ = + ，即 8B = ．这时由下边三个数可以求出每条边上的三个数 之和是 7 6 8 21+ + = ，于是右上角填 21 1 16 4− − = ，左 边中间填 21 1 7 13− − = ． 例题 3.答案：如左图（或由左图翻转 得到的图形）． 解答：各有六条线段与中间两个圆圈 直接相连，即差不为 1．在 1至 8中，1和 8都可以与六个数直接相连，而 2、3、4、5、6、 哥哥挑的砖 弟弟挑的砖 开始时 10 16 弟弟减半后 18 8 哥哥减半后 9 17 弟弟给哥哥 5块后 14 12 甲 乙 开始时 7 10 第一次给糖后 14 3 第二次给糖后 11 6 第三次给糖后 5 12 5 6 9 4 1 3 8 7 2 5 6 9 A B F D E C 1 16 9 6 7 4 8 13 1 16 9 6 7 A B 1 8 2 7 4 6 3 5 1 8 2 7 20 作业练习简答 讲第 1 整数计算综合 练习 1.答案：（1）10；（2）6．简答：（1） ( ) ( )6 5 4 2 6 5 4 7 4 2 7 4 10⊗ ⊗ = × − ⊗ = ⊗ = × − = ． （2） ( ) ( )6 5 4 6 2 5 4 6 6 2 6 6 6⊗ ⊗ = ⊗ × − = ⊗ = × − = ． 2.答案：（1）187；（2）270．简答：（1）原式 4 8 3 11 2 17 5 7 4 5 6 7 8 11 17 187= × × × × × × × ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = × = ． （2）原式 ( )27 24 3 9 4 25 100 14 27 24 27 14 27 24 14 270= × − × × × ÷ × = × − × = × − = ． 3. 答案：（1）333；（2）11200．简答：（1）原式 ( )654 (321 1) 654 1 321 654 321 333= × + − + × = − = ． （2）原式 ( ) ( ) ( )90 112 10 112 1 70 50 12 90 10 112 11200= × + × + − + ÷ = + × = ． 4.答案：50．简答：原式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )100 98 96 94 92 90 8 6 4 2 2 25 50= − + − + − + + − + − = × = ． 5.答案：20000．简答：与例题 5方法相同，原式 ( )198 4 194 4 190 4 6 4 2 4 4 198 194 190 2 20000= × + × + × + + × + × = × + + + + =  ( )198 4 194 4 190 4 3 4 2 4 4 198 194 190 2 20000= × + × + × + + × + × = × + + + + =  ． 6.答案：5250．简答：与例题 6方法相同，原式 ( ) ( ) ( ) ( )100 95 5 90 85 5 10 5 5 100 95 5 5 5250= + × + + × + + + × = + + + × =  ( ) ( ) ( ) ( )100 95 5 90 85 5 10 5 5 100 95 5 5 5250= + × + + × + + + × = + + + × =  ． 思考题 答案：252500． 简答：原式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2100 50 99 49 98 48 51 1 50 100 99 98 1 252500= − + − + − + + − = × + + + + =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2100 50 99 49 98 48 51 1 50 100 99 98 1 252500= − + − + − + + − = × + + + + =  ． 作业 1.答案：（1）987；（2）177．简答：（1）原式 98 7 987= ⊕ = ．（2）原式 9 87 177= ⊕ = ． 2.答案：（1）105；（2）2800．简答：（1）原式 5 25 3 9 7 11 25 11 9 105= × × × × × ÷ ÷ ÷ = ． （2）原式 738 7 7 25 8 100 169 738 7 7 338 2800= × − × × ÷ × = × − × = ． 3.答案：60．简答：原式 ( )2009 (1949 1) 2009 1 1949 2009 1949 60= × + − + × = − = ． 4.答案：893．简答：原式 ( ) ( ) ( )6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 96 97 98 99 100 2 7 12 92 893= + + − − + + + − − + + + + − − = + + + + =  ( ) ( ) ( )6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 96 97 98 99 100 2 7 12 92 893= + + − − + + + − − + + + + − − = + + + + =  ． 5.答案：4950．简答：原式 ( ) ( ) ( ) ( )100 99 99 99 98 98 98 97 97 2 1 1 99 98 97 1 4950= − × + − × + − × + + − × = + + + + =  ( ) ( ) ( ) ( )100 99 99 99 98 98 98 97 97 2 1 1 99 98 97 1 4950= − × + − × + − × + + − × = + + + + =  ． 讲第 2 还原问题 练习 1.答案：59．简答：7 23 3 164× + = ，164 4 41÷ = ， 41 18 59+ = ． 2.答案：14个．简答：( )0 1 2 2+ × = （个）， ( )2 1 2 6+ × = （个）， ( )6 1 2 14+ × = （个）． 3.答案：王刚 15枚，李强 25枚．简答：王刚给李强之前，李强有 20 2 10÷ = （枚），王刚有 20 10 30+ = （枚）；李强给王刚之前，王刚有 30 2 15÷ = （枚），李强有10 15 25+ = （枚）． 4.答案：甲 4块，乙 15块．简答：第四次操作前，乙有 12 2 6÷ = （块），甲有 7 6 13+ = （块）；第 三次操作前，乙有 6 2 3÷ = （块），甲有 13 3 16+ = （块）；第二次操作前，甲有 16 2 8÷ = （块），乙有 3 8 11+ = （块）；第一次操作前，甲有 8 2 4÷ = （块），乙有 4 11 15+ = （块）． 21 作业练习简答 5.答案：第一堆 22个，第二堆 14个，第三堆 12个．简答：最后三堆各有 48 3 16÷ = （个）苹果； 第三次操作前，第二堆有 16个，第一堆有16 2 8÷ = （个），第三堆有16 8 24+ = （个）；第二次操作前， 第一堆有 8个，第三堆有 24 2 12÷ = （个），第二堆有16 12 28+ = （个）；第一次操作前，第三堆有 12个， 第二堆有 28 2 14÷ = （个），第一堆有 8 14 22+ = （个）． 思考题 答案：甲 7块，乙 11块．简答：如下图，我们列表倒推．每 6次操作一个循环，则第 1次操作后的 结果与第 2005次操作后的结果相同，即第一次操作后，甲有 14块，乙有 4块．由于开始时甲的糖数比乙少， 则开始时甲有14 2 7÷ = （块），乙有 7 4 11+ = （块）． 作业 1.答案：73．简答：10 2 20× = ， 20 5 15− = ，15 5 75× = ， 75 2 73− = ． 2.答案：18个．简答：( )3 1 2 4− × = （个），( )4 1 2 6− × = （个），( )6 1 2 10− × = （个），( )10 1 2 18− × = （个）． 3.答案：12个．简答：最后淘淘和奇奇各有 40 2 20÷ = （个）桃子；第三次抢桃前，奇奇有 20 7 13− = （个） 桃子，淘淘有 20 7 27+ = （个）桃子；第二次抢桃前，奇奇有13 2 26× = （个）桃子，淘淘有 27 13 14− = （个） 桃子；第一次抢桃前，淘淘有14 2 28× = （个）桃子，奇奇有 26 14 12− = （个）桃子． 4.答案：102、105或 216．简答：第二次运算后可能是 54或 24，其中 24不合题意；第一次运算后 是 108和 51；最开始可能是 216、105、102或 48，其中 48不合题意． 5.答案：甲 16块，乙 28块，丙 52块．简答：取出丙袋之前，丙袋有 64块，甲袋有 16块，乙袋有 16块；取出乙袋之前，乙袋有 32块，甲袋有 8块，丙袋有 56块；取出甲袋之前，甲袋有 16块，乙袋有 28块，丙袋有 52块． 讲第 3 数阵图初步 练习 1.答案：如下图．简答：右上角填 20 4 9 7− − = ，左下角填 20 8 9 3− − = ，左上角填 20 7 7 6− − = ， 左边中间填 20 3 6 11− − = ． 甲 乙 …… … … …… … … 第 2004次操作后 16 2 第 2005次操作后 14 4 第 2006次操作后 10 8 第 2007次操作后 2 16 第 2008次操作后 4 14 第 2009次操作后 8 10 第 2010次操作后 16 2 6 7 4 8 9 7 3 11     学 奥 数 这里总有一本适合你             华东师范大学出版社             四年级奥数学习之还原问题 页面提取自－高思数学_4年级上（彩色）-3.pdf 页面提取自－4上黑白 2