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4 空间问题

wangsp26
2012-04-05 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《4 空间问题pdf》,可适用于高等教育领域

有限元分析及应用FiniteElementAnalysisandApplication本章内容•、轴对称问题有限元法•、空间问题的有限元法(四面体单元)•、等参单元•、数值积分•、薄板弯曲问题的有限元法空间问题简介工程实际中的很多问题难于简化为平面问题如受任意空间载荷作用的任意形状几何体受对称于轴线载荷作用的回转体本章简单介绍两类问题:轴对称问题和空间问题的有限元计算。空间问题的主要困难:()离散化不直观(网格自动生成)()未知量的数目剧增。(对某些问题简化)(轴对称问题)空间分析的优点:精确。实例轴对称问题•、基本方程•位移分量•应力分量•应变分量•虚功方程{}{}=Truwuθδ=∵{}{}Trzrzθσσσστ={}{}={}TrzrzTrrruuuwwrrzzrθεεεεγ=∂∂∂∂∂∂∂∂**{}{}{}{}TTdFRrdrdzπθπδπεσ==∫∫∫∵则轴对称问题zrxp(,,)rzθ•、结构离散•对于轴对称问题的离散,通常在子午面roz上进行,其形状常为三角形和四边形,实际上子午面上的每个三角形(或四边形)单元表示的是一个绕z轴一周的三棱(或四棱)环单元。因此,有限元轴对称问题的离散就是将连续体离散成由有限个圆环组成的离散体,单元与单元间通过环线(称为节线)相连接,作用于单元上的载荷,也作用于节线上。如图•实际分析时考虑到轴对称问题位移与周向无关故可只需取一个截面,按平面情况进行分析。轴对称问题•、单元位移函数•利用节线位移待定系数可得rurzwrzαααααα==ririjrjmrmiijjmmuNuNuNuwNwNwNw==zroi(rz)rmurjuriumwjwiwiim(rz)mmj(rz)jj()i,j,miiiiNabrczA=轮换单元类型:三角形单元轴对称问题•、应变矩阵•其中为r的函数故B的元素不是常量与平面三角形单元有区别。当r》时f不存在即奇异需近似处理。•、刚度矩阵{}{}{}=ijmririjmiijmziijjmmmrzeeijmbbbufffwcccAcbcbcbwBBBBθεεεεγδδ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥==⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎣⎦⎡⎤=⎣⎦#i,j,miiiiacfbzrr=轮换TeKBDBrdrdzπ×=∫∫轴对称问题•、轴对称单元的特点(与平面三角形单元的区别)•)轴对称单元为圆环体单元与单元间为节圆相连接•)节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力•)单元边界是一回转面•)应变分量中出现了即应变不是常量且应变矩阵在r》时存在奇异点需特殊处理通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。{}εrur实例封头作为压力容器中的重要受力部件用户对其质量、强度、安全性等有很高的要求。带裙座封头的结构如图其优点是可以避免直接在封头壁上进行焊接提高了封头的可靠性但也增加了成形过程的难度。)如何保证锻件的厚度)如何保证成形后的裙座位置。厚壁封头在热冲压成形过程中还会出现明显的局部减薄或增厚现象严重的会导致封头撕裂、起皱、模具涨裂等问题。实例•制造带裙座封头关键之一是如何设计出一个特殊形状的坯料。普通的半球形封头采用圆饼形坯料制造带裙座封头要采用如图所示的坯料。•分析整个成形过程可以发现封头的底部明显变薄会使封头的最小壁厚达不到设计要求。在制作坯料时要在坯料的中心部分加厚。封头边缘部分在成形过程中明显增厚壁厚的增加量会超过制作坯料时要在坯料的边缘部分减薄。图示为一个心部增厚边缘减薄的坯料。•坯料上预制的凸台位置与成形后的裙座位置密切相关由于成形过程中封头的底部变薄导致凸台外移合理的凸台位置可通过有限元分析来选择。实例成形初期的等效应力分布成形中间阶段的等效应力分布成形结束阶段的等效应力分布如果坯料上的凸台尺寸过大会在封头的内壁上产生右图中所示的凹限导致封头内表面尺寸超出设计要求空间问题•、基本方程{}xyzxyyzzxuxvywzuvyxvwzyuwzx∂⎧⎫∂⎪⎪ε⎪⎪⎧⎫∂∂⎪⎪⎪⎪ε⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪ε∂⎪⎪⎪⎪ε==⎨⎬⎨⎬∂∂γ⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪γ∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂γ⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎩⎭{}xyzxyyzzxσ⎧⎫⎪⎪σ⎪⎪⎪⎪σ⎪⎪σ=⎨⎬τ⎪⎪⎪⎪τ⎪⎪τ⎪⎪⎩⎭对于实际工程中不能简化的空间问题弹性力学是无法求解的有限元法是解决此问题的有力工具。{}{}Dσ=ε四面体单元•)单元类型:四面体单元节点位移向量•)位移函数线性位移函数{}{}euvwuvwuvwuvwδ=(,,)(,,)(,,)uxyzaaxayazvxyzaaxayazwxyzaaxayaz===四面体单元利用节点位移可待定系数并整理为如下形式•其中•这些系数为四面体体积V各行各元素的代数余子式xyzxyzVxyzxyz=xyzaxyzxyz=yzbyzyz=−xzcxzxz=xydxyxy=−(,,)(,,)(,,)uxyzNNNNuvxyzNNNNwxyzNNNNw−−⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎢⎥=−−⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥−−⎩⎭⎣⎦⎩⎭#()()i,,,iiiiiiNabxcydzV=−=四面体单元•)应变矩阵•其中•显然B为常量矩阵故四面体单元为常应变单元{}N{}N{}NxyzeexyyzzxuxvywzBBBBBvuxyvwzywuxz×××∂⎧⎫∂⎪⎪ε⎪⎪⎧⎫∂∂⎪⎪⎪⎪ε⎪⎪⎪⎪∂⎡⎤⎪⎪⎪⎪ε∂⎪⎪⎪⎪ε===δ=δ⎢⎥⎨⎬⎨⎬∂∂γ⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦∂∂⎪⎪⎪⎪γ∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂γ⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎩⎭iiiiiiiiiibcdBcbVdcdb⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦四面体单元•)刚度矩阵类似平面问题利用虚功方程可得单元刚阵其中各子块阵为eTVkBDBdV=∫∫∫NeTkBDBV×=eKKKKKKKKKKKKKKKKK×⎡⎤−−⎢⎥−−⎢⎥=⎢⎥−−⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦TrsrsVKBDBdV=∫∫∫等参数单元•从前可知矩形单元比三角形有更高的精度而三角形有较矩形单元更好的边界适应性。实际工程中往往更希望有单元精度高、边界适应性好的单元。本章将介绍的等参单元具有此特点。所谓等参单元:即以规则形状单元(如正四边形、正六面体单元等)的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数进行坐标变换所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数故称由此获得的单元为等参单元。借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有限元离散。等参数单元实例任意直边四边形任意六面体等参数单元•由于工程实际中问题的边界通常很复杂使用前述的规则单元(如矩形或正六面体等)难于逼近几何形状不规则的原始边界(如曲边等)而只能采用不规则的单元(如任意直四边形、任意直六面体、或曲四边形、曲六面体)。但是如果直接研究这些不规则单元的有限元计算格式(如单刚阵)则非常困难。•问题:能否利用规则单元的结果来研究这些不规则单元的计算格式?•思路:任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形由于正四边形(母元)的位移函数、单刚矩阵均已得到则可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。•重点:)构造任意四边形与母元间的坐标(形状)变换关系•)利用坐标变换关系和母元的计算公式推导任意四边形的单刚矩阵(主要涉及母元位移函数、应变矩阵、刚度矩阵转换过程中的导数、积分计算)等参数单元(,)(,)(,)(,)ξηξηyη=η=η=ξ=(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)uvP(x,y)f•变换实例xyzξtζξηηζ等参数单元•、等参变换•为了建立两者的关系将局部坐标附在任意四边形上原点在单元中心两坐标轴可不正交但必须使四个角点和边界限制在~之间。整体坐标如前图•设变换函数f为:•利用任意四边形与母元的坐标值待定系数:并将其整理为插值函数形式:xyfzξηζ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭局部坐标总体坐标变换函数xyααξαηαξηααξαηαξη==,iiα="()()()()()()()()()()()()()()()()xxxxxyyyyyξηξηξηξηξηξηξηξη=−−−−=−−−−等参数单元•记为•m为单元节点数Ni为局部坐标下表示的形函数xi为总体坐标下的节点坐标mmmiiiiiiiiixNxyNyzNz======∑∑∑()()()()()()()()NNNNξηξηξηξη=−−=−==−将上述坐标变换式与正四边形单元的位移函数相比较可知函数形式和阶次完全相同即任意四边形与正四边形的变换采用了与正四边形位移函数相同参数变换故称这样的单元为等参单元等参数单元形函数•、形函数的性质同前•在矩形单元上的变化如图注意:不是直线等参数单元形函数•形函数N的正确表示直线直线(,)不是平面等参数单元位移函数•、等参单元位移函数:从坐标变换可知,等参单元位移与母元间位移仅相差坐标变换式,而母元单元内任意点p的位移函数(D):•其中:Ni和坐标变换式的形函数相同。(,)(,)(,)uNNNNuNNNNvvξηξηξη⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎩⎭#等参数单元刚度矩阵•、等参单元刚阵•)应变矩阵•注意:应变为位移对xy的导数如四节点四边形单元计算式如右:•)复合求导•利用xyz与局部坐标系的关系有{}uxvyuvyxε⎧⎫∂⎪⎪∂⎪⎪∂=⎨⎬∂⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎩⎭iiiiiiiiiiiiNNNxyxyNNNNzzNzzNNNNxyzyxyxyxzξξξηζζξηηζηζ∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂用于二维等参元等参数单元刚度矩阵iiiiiiNxyNNxxJNNNxyyyξξξηηη∂∂∂⎧⎫⎡⎤∂∂⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥==⎨⎬⎨⎬⎨⎬∂∂∂∂∂⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎩⎭⎩⎭⎣⎦⎩⎭•)复合求导•记为矩阵(如四节点四边形单元)•J称为Jacobi矩阵由坐标变换式确定当J的逆存在时则形函数对xy的导数可求即应变阵可求。iiiiNNxJNNyξη−∂⎧⎫∂⎧⎫⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬∂∂⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪∂⎩⎭⎩⎭等参数单元刚度矩阵•应变矩阵{}(,)(,)exyxyNDyyuxxvJxxyyδ′⎡⎤∂∂∂∂−⎢⎥∂η∂ξ∂ξ∂η⎢⎥⎧⎫εξη⎧⎫⎢⎥∂∂∂∂⎪⎪ε=−⎨⎬⎨⎬⎢⎥ξη∂ξ∂η∂η∂ξ⎩⎭⎪⎪⎢⎥γ⎩⎭⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂−−⎢⎥∂ξ∂η∂η∂ξ∂η∂ξ∂ξ∂η⎣⎦����������������等参数单元刚度矩阵•)刚度矩阵•一般而言等参单元的刚度积分很难有解析式必须进行数值积分目前普遍采用高斯数值积分法。(略)===TVTATATKBDBdVBDBtdxdyBDBtJddtBDBJddξηξη−−=∫∫∫∫∫∫∫∫∫空间六面体单元ηξζ(,,)(,,)(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)xzy空间六面体单元)形函数∑=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧iiiiiiizyxNNNzyx))()((ζηξ=iN))()((ζ−ηξ=N例ζζ=ζηη=ηξξ=ξiii(i=,,…):其中:等参数单元说明•等参单元的几点说明:•)等参单元为协调元满足有限元解收敛的充要条件。证明略。•)等参单元存在的充要条件是:•为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一一对应)通常要求总体坐标系下的单元为凸即不能有内角大于或等于或接近度情况。J≠等参数单元说明•)等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时容易用很少的单元去逼近曲线边界。•)上述等参单元的理论公式可适应三次以上的曲线型等参元只是阶次提高单元自由度相应增加计算更复杂积分更困难实际中很少超过次曲线型。•)上述推导要求:保持坐标变换中几何模式阶次与描述单元位移函数中形函数的阶次相同。如取坐标变换的几何模式阶次较单元的位移函数的阶次高则称此单元为超单元反之为亚单元。这两类单元的收敛性也可得到满足。略•)当然也可取描述单元几何形状的几何模式不是形函数的如pelement薄板弯曲问题•力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板且能承受横向或垂直于板面的载荷。如板不是平板而为曲的(指一个单元)则称为壳问题。如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷则称为平面应力问题如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷则称为板的弯扭问题常简称板的弯曲问题。ttbtbtb≤−≤≤≥−∼∼∼∼薄膜厚度薄板厚板b板长宽最小值薄板弯曲问题xyzt•、基本假设(克希霍夫假设)•)直线假设:即变形前垂直于板中面的直线在弯曲变形后仍为直线且垂直于弯曲后的中面。说明在平行于中面的面上没有剪应变即zxzyγγ==变形前的直线变形后的直线zxywxθ∂=∂yuzθ=−z薄板弯曲问题•)厚度不变假设:即忽略板厚变化。即。由于板内各点的扰度与z坐标无关只是xy的函数即•)中面上正应力远小于其它应力分量假设:平行于中面的各层相互不挤压不拉伸沿z向的正应力可忽略即•)中面无伸缩假设:弯曲过程中中面无伸缩即zε=()()zzuv====zσ=(,)wwxy=薄板弯曲问题•、基本方程•)几何方程{}{}wuxxvwzzyyuvwyxxyεχ⎧⎫⎧⎫∂∂−⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪==−=⎨⎬⎨⎬∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂−⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎩⎭⎩⎭分别表示薄板弯曲曲面在xy方向的曲率表示薄板弯曲曲面在xy方向的扭率zxzyuwzxvwzyγγ∂∂==∂∂∂∂==∂∂(,)(,)wuzfxyxwvzfxyy∂=−∂∂=−∂wuzxwvzy∂=−∂∂=−∂zε=∵()()zzuv====绕x轴转角绕y轴转角薄板弯曲问题•)应力应变关系(HOOK定律)•记为矩阵形式:{}{}wxEzwzDywxyµσεµµ⎧⎫∂−⎪⎪⎡⎤∂⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪=−=⎨⎬⎢⎥−∂⎪⎪⎢⎥−⎪⎪⎢⎥∂⎣⎦−⎪⎪∂⎪⎪⎩⎭zzxzyσττ===∵()()()xxyyyxxyxyEEEσεµεµσεµεµτγµ=−=−=()()xyxyEwzwyw∂∂xEwzyxEwzxyσµµσµµτµ∂∂=−−∂∂∂=−−∂∂=−∂薄板弯曲问题•)内力矩公式•单位宽度上垂直xy轴的横截面上弯矩、扭矩yσxyztyxτxσxyτttxxttyyttxyyxxyMzdzMzdzMMzdzσστ−−−====∫∫∫薄板弯曲的矩形单元•用有限元法求解薄板弯曲问题常在板中面进行离散常用的单元有三角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩节点当作刚性节点即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度即一个扰度和分别绕xy轴的转角。如右图矩形单元xiθmjilyiθiwxjθyjθjwxmθymθmwxlθylθlw{}{}{}{}TeixiyilxlylTezixiyizlzlylwwFFMMFMMδθθθθ==""节点位移向量和节点力向量薄板弯曲的矩形单元•、位移函数•薄板弯曲时只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数而其它量如u,v等都是w(x,y)的函数故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y)的选取。注意单元有个自由度则•另两个转角为:(,)wxyxyxxyyxxyxyyxyxyαααααααααααα=()xywxyxxyyxxyywxyxxyyxyyxθααααααααθαααααααα∂==∂∂==−∂薄板弯曲的矩形单元•待定系数:利用个节点位移值可待定个系数整理w(x,y)为插值函数形式:•其中形函数:{}(,)iixixiyiyillxlxlylylewxyNwNNNwNNNθθθθδ=="()()()()()()()()()(),,,rrrrrrrxrrrrryrrrrrxyxxyyNxyxxyyxyyNyxyyxyxNxxyxrijml=−−=−−=−−=薄板弯曲的矩形单元•单元收敛性分析:•)位移函数中包含有常量项反映了刚体位移如为扰度常量为转角常量。•)位移函数中包含了常量应变项•如形变分量为:•表明薄板处于均匀弯扭变形状态即常应变状态。这里的常应变为扰度的二次函数而在平面单元中为位移的一次式这是因为板有厚度其形变是指不同厚度上的。•)相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续。•设边界ij边y=b则有位移•四个系数刚好通过ij两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定同时相邻单元在此边界上也能通过ij的值唯一确定故连续。•如对于绕x轴的转角:•四个系数不能通过ij的两个已知转角值唯一待定同理相邻单元在此边界上也不能唯一确定四个系数。故转角不连续。•所以薄板矩形单元是非协调单元。但实践表明当单元细分其解完全能收敛真实解。α,αα{}{}TTwwwxyxyχααα⎧⎫∂∂∂=−−−⎨⎬∂∂∂⎩⎭=−−−(,)wxyccxcxcx=(,)xxyddxdxdxθ=(,),(,),(,)xywxyxyxyθθ薄板弯曲的矩形单元刚阵•刚度矩阵•)应变矩阵•其中:B为xy的函数与z无关{}{}eijmlwuxxvwzyyuvwyxxyzBBBBεδ⎧⎫⎧⎫∂∂−⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪==−⎨⎬⎨⎬∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂−⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦,,,yrxrryrxrrryrxrrNNNxxxNNNBrijmlyyyNNNxyxyxy⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=−=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦薄板弯曲的矩形单元刚阵•)单元刚阵eTiiijimiljjjmjlmmmlllKBDBdVKKKKKKKKKK=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫∫∫TersrstTabtrsabTabrsabKzBDBdVzBDBdxdydztBDBdxdy−−−−−===∫∫∫∫∫∫∫∫薄板弯曲矩形单元算例•计算边界支撑方板的最大变形边界条件)四边固定:)四边简支:)对称边界条件YmaxPLDwb=,maxqLDwa=X四边固定四边简支均布载荷集中载荷均布载荷aba×××××级数解单元数(四分之一板)

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