离散元方法与有限元方法的比较

离散元 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 与有限元方法的比较 摘要 离散元方法是由分析离散单元的块间接触入手，找出其接触的本构关系，建立接触的物理力学模型，并根据牛顿第二定律，对非连续、离散的单元进行模拟仿真。而有限元方法是将介质复杂几何区域离散为具有简单几何形状的单元，通过单元集成、外载和约束条件的处理，得到方程组，再求解该方程组就可以得到该介质行为的近似表达。 本文中并介绍刚体－弹簧元法及极限平衡法，还有离散元法有限元法结合之应用，以及工程中的离散元方法的应用实例。本文中介绍的实例有：丽江地震区应力场研究及离散变量结构拓扑优化设计研究及基于混合离散复合形法的工程优化设计及离散元与壳体有限元结合的多尺度方法及其应用以及昌马水库枢纽工程右岸岩石边坡稳定性的离散元法分析。 关键词：离散元方法、有限元方法、刚体－弹簧元法、极限平衡法 1. 离散元方法 1.1 离散元方法的基本概念【1】 离散元方法也被称为散体单元法，最早是1971年由Cundall 提出的一种不连续数值方法模型，离散元理论是由分析离散 单元的块间接触入手，找出其接触的本构关系，建立接触的 物理力学模型，并根据牛顿第二定律建立力、加速度、速度 及其位移之间的关系，对非连续、离散的单元进行模拟仿真。 1.2 离散元方法的历史背景【2】 离散元法又称DEM（Discrete Element Method）法，它的思想源于较早的分子动力学（Molecular Dynamics）。1971年由Cundall最先提出，其研究对象是岩石等非连续介质的力学行为。1979年，Cundall和Strack又提出适于土力学的离散元法。国内出现了用于土木工程设计的块体离散元分析系统2D-Block和三维离散单元法软件TRUDEC；在冲击波研究方面，唐志平等建立了二维和三维细观离散元理论和DM2程序。 1.3 离散单元法的特点【3】 · 岩体或颗粒组合体被模拟成通过角或边的相互接触而产生相互作用。 · 块体之间边界的相互作用可以体现其不连续性和节理的特性。 · 使用显式积分迭代算法，允许有大的位移、转动和使用。 1.4 离散单元法的求解过程 离散元法具体的求解过程分为显式解法和隐式解法，下面分别介绍其适用范围。 显式解法【4】： 显式解法用于动力问题的求解或动态松弛法的静力求解，显式算法无须建立像有限元法那样的大型刚度矩阵，只需将单元的运动分别求出，计算比较简单，数据量较少，并且允许单元发生很大的平移和转动，可以用来求解一些含有复杂物理力学模型的非线性问题，时间积分采用中心差分法，由于条件收敛的限制，使得计算步长不能太大，因而增加了计算时间。 隐式解法【4】： 而隐式解法用于求解静力问题的静态松弛法，隐式解法的动态松弛法式直接找导块体失去平衡后达到再平衡的力－位移关系，建立隐式方法解联立方程组，并通过迭代求解以完全消除块体的残余力和力矩。 2. 有限元方法 2.1 有限元方法的基本概念【5】 将介质复杂几何区域离散为具有简单几何形状的单元，而单元内的材料性质和控制方程通过单元节点的未知量来进行表达，再通 过单元集成、外载和约束条件的处理，得到方程组，求解该方程组就可以得到该介质行为的近似表达。 2.2 有限元方法的历史背景【5】 Hrenikoff于1941年采用框架形变功法计算了弹性问题，Courant于1943年发表了采用三角形区域内的分片多项式来处理扭转问题的论文；Turner等人于1956年推导了杆、梁等单元的刚度矩阵；而 “有限单元”这一名称是Clough于1960年提出。第一本关于有限元方法的书是Zienkiewicz和Cheung于1967年完成的；1972年Oden完成了有关非线性介质方面的专着，如今，随着计算机的发展和普及，使得学生和工程师可以充分的使用有限元方法这一有力的工具。 2.3 有限元法的优点【3】 · 对于线弹性问题，当实际结构位移场函数连续光滑时，能够得到收敛解。 · 对于任意复杂结构，理论上总是可以通过细分单元的方法获得足够近似的模拟。 · 刚度矩阵系数带状，在结构不出现软化的时候还是对称正定的，求解方便。 · 长期大量工程应用，积累了丰富的经验。 3. 其它数值方法 3.1 刚体－弹簧元法 刚体弹簧元法【3】（Rigid Body Spring Method） 又称RBSM，最早由Kawai于1976年提出，当初提出的意图是以较少的自由度来求解结构问题。它把体系分解为一些由均布在接触面上的弹簧系统联系起来的刚性元，刚性元本身不发生弹性变形，因此结构的变形能仅能储存在接触面的弹簧系统中，由于刚体弹簧元单元间的作用力通过单元界面上弹簧传递，故可直接得到界面的作用力，因此在极限分析等领域也有着较好的应用。 3.2 极限平衡法 极限平衡法【1】是一种近似的计算方法，采用此方法只能求得一种粗略的综合性近似解答。其是将边坡稳定性问题作为刚体平衡问题来研究，它仅研究滑动面上的抗滑力(矩)与下滑力(矩)的关系，不研究滑动体内部各点的受力状态。 3.3 工程中的离散元方法的应用实例 离散元方法在工程中的应用实例，有由苏生瑞【6】等人发表的丽江地震区应力场研究中，其研究依据对丽江地区震源机制解资料的研究成果，确定边界最大主应力方向为南北向。地应力场的离散元模拟结果与现场地质研究结果具有良好的一致性，模拟结果真实地再现了1 9 9 6 年丽江地震主震发生的位置和强余震发生的位置。 以及由王跃方【7】等人发表的离散变量结构拓扑优化设计研究，其研究中提出截面设计变量的离散程度和全局约束影响最优拓扑，是优化中不可忽略的因素。 由王晨曦【8】发表的基于混合离散复合形法的工程优化设计，研究中提出了以连续变量及非均匀离散变量的均匀离散化处理方法 ,并借鉴离散变量的搜索优化法 ,在连续变量的复合形法基础上 , 探讨了一种求解有约束非线性混合离散变量的优化设计问题的方法 ———混合离散复合形法。 由张丙印【9】等人发表的昌马水库枢纽工程右岸岩石边坡稳定性的离散元法分析中指出，在离散元法中，判断体系稳定的方法主要利用位移收敛、速度回零以及整个系统的不平衡力值为零三个判据。安全系数则常用临界位移法确定。在该法中，通过改变影响系统稳定的主要因素摩擦系数及粘着系数的值，可以找到使边坡处于临界稳定状态的临界值，边坡的临界稳定安全系数k为： 本研究采用离散元方法研究了昌马水库排沙泄洪洞大规模塌方对右岸岩石边坡稳定性所造成的影响，分析了右岸岩石边坡在施工期和蓄水期的静、动力稳定性及岩石边坡可能的破坏形式。 由唐志平【10】等人发表的离散元与壳体有限元结合的多尺度方法及其应用的研究中指出，本文尝试建立三维离散元与壳体有限元结合的多尺度方法，处理充内压圆柱壳在激光辐照下的响应 ,得到了不同工况下圆柱壳的三种不同的破坏形式:裂纹扩展破坏 ,穿孔破坏和粉碎性破坏，该方法采用三维离散元对感兴趣的局域进行局部模拟，利用平板壳体有限元进行整体模拟 ,采用一种特殊的过渡层使离散元区和有限元区能很好的衔接。并将这一方法应用于激光辐照下充压柱壳的热/力耦合冲击破坏响应 ,得到的模拟结果与文献报道有较好的吻合。 参考文献： 1. 苏堆田，侯克鹏，朱国辉， “边坡稳定性分析中极限平衡法、三维有限元法和离散元法的联合应用研究”。 湖南有色金属，Vol. 19，No. 6，2003年12月，pp：49 2. 傅华，刘仓理，王文强，李涛， “冲击动力学中离散元与有限元相结合的计算方法研究”。 高压物理学报，Vol.20，卷第4期，2006年12月， pp：379 3. 江见鲸，陆新征， “钢筋混凝土有限元”。 网上资料，清华大学土木工程系研究生课程 2005年. 4. 刘凯欣，高凌天， “离散元法研究的评述”。 力学进展，Vol.33 No. 4，2003年11月25日，pp：486 5. Tirupathi R. Chandrupatla ,and Ashok D Belegundu. Introduction to Finite Elements in Engineering. 3rd Edition,2006.11 p.1 6. 苏生瑞，王运生，王士天， “丽江地震区应力场研究”。 地质论评，Vol.5，No. 1，2 0 0 4年1月，pp：63 7. 王跃方，孙焕纯，黄丽华， “离散变量结构拓扑优化设计研究”。 固体力学学报，Vol.19，No. 1，1998年3月，pp：59 8. 王晨曦， “基于混合离散复合形法的工程优化设计”。 长安大学学报 （自然科学版），Vol.24，No. 4，2004年7月，pp：91 9. 张丙印，师瑞锋，侯瑜京， “昌马水库枢纽工程右岸岩石边坡稳定性的离散元法分析” 水力发电学报，总第76期，2002年第一期（专刊），pp：75 10. 唐志平，胥建龙 “离散元与壳体有限元结合的多尺度方法及其应用” 计算力学学报，Vol. 24 ,No.5，2007年10月，pp：591－595