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合情推理PK演绎推理.pdf

合情推理PK演绎推理

柚子蟹
2012-04-03 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《合情推理PK演绎推理pdf》,可适用于高等教育领域

台情推理PK演绎推理口李代国周广黎数学推理是从一个或几个已知判断得出一个新判断的思维过程而合情推理与演绎推理是数学发现过程和数学体系建构过程中的两种重要思维形式.本文着重介绍这两种推理形式的联系与不同.我们先从三个例题入手.f例f已知数列(a}的通项公式为口一南(∈N)记()一(一n)(一a)⋯(一日)试通过计算厂()厂()()的值推测出厂(z)的值.分析计算得厂()一}厂()一专()一号.由此猜想厂()一.例l小光和小明是一对孪生兄弟刚上小学一年级.一次他们的爸爸带他们去密云水库游玩看到了野鸭子.小光说:“野鸭子吃小鱼.”小明说:“野鸭子吃小虾.”哥俩说着说着就争论了起来非要爸爸给评评理.爸爸知道他们俩说得都没错但没有直接告诉他们俩而是用例子来进行比喻.爸爸说完后哥俩都服气了.以下哪一项最可能是爸爸讲给儿子们听的话A.一个人的爱好是会变化的.爸爸小时候很爱吃糖你奶奶管也管不住.但现在你让爸爸吃爸爸都不吃了.B.凡事都有两面性.咱们家养了猫耗子就没了.但是如果猫身上长了跳蚤也是很讨厌的.C.动物有时也通人性.若是主人喂它某种饲料则吃得很好若是陌生人喂则怎么也不吃.D.你们兄弟俩的爱好几乎一样只是对饮料的爱好有所不同一个喜欢可乐一个喜欢雪碧.你妈妈就不在乎可乐、雪碧都行.分析在题干中兄弟俩说的“野鸭子吃小鱼”和“野鸭子吃小虾”都没错.因为可能是一部分野鸭子吃小鱼另一部分野鸭子吃小虾也可能是野鸭子既吃小鱼又吃小虾所以两个孩子的话并不矛盾.他们只是片面地看到了野鸭子的某一种行为然后各执一词争论不休.选项A虽然用了比喻但是说的是小孩和大人的区别而题干中并未讨论小鸭子和大鸭子的区别.在选项D中爸爸用哥俩对可乐、雪碧各有偏好和妈妈既喝可乐又喝雪碧的例子进行类比说明同一个群体中的不同个体可能有不同偏好同一个体也可以有不同行为.由于比喻恰当哥俩便服气了.选B项讲的是事物的两面性含有人的主观评价与题干内容相去甚远.选项C用的不是比喻与题干内容不符.故正确答案为Dl例l用三段论的形式写出命题“函数Ylg(x~/z)是奇函数”的演绎推理过程.分析若对V∈R有厂(一)一一厂(z)则称厂()是奇函数(大前提)函数厂()一lg(x~/,)满足对V∈R有厂(一z)一一厂()(小前提)所以函数ylg(x,/z。)是奇函数.(结论)例是通过求一个数列(或定义域是正整数集的函数)的前几项的值去猜想它的通项公式这个过程是一个推理过程它是由特殊到一般的推理即在研究事物的特殊情况下的结论的基础上得出有关事物的一般情况下的结论的推理方法这种推理叫做归纳推理归纳推理也称为归纳法.根据所研究的是否是事物的一切特殊情况归纳推理一般又可分为完全归纳推理和不完全归纳推理也称为完全归纳法和不完全归纳法.责编/顾俊邮箱/jt,TGore年第~期I例实际上是用比喻进行说理在数学上叫做用类比进行推理.类比推理是根据两个对象都具有一些相同或类似的属性并且其中一个对象还具有另外某一属性从而推出另一个对象也具有与该属性相同或类似的属性的推理方法它是从特殊到特殊的推理.以上两种推理有一个共同的性质它们都是根据已有的事实、正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验或实践的结果以及个人的经验或直觉等推测某些新结果的推理过程这样的推理叫做合情推理.合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用.例实际上是一个证明过程证明过程本身就是一个推理过程是从一般到特殊的推理它是以某类事物中一般(普遍)事物的判断为前提作出这类事物中个别(特殊)事物的判断的推理方法我们称之为演绎推理.演绎推理的过程刚好与归纳推理的过程相反.它是逻辑论证和数学证明中常用的推理方法.三段论是演绎推理的主要形式指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理形式.三段论的三个简单判断中共只包含三个不同的概念每个概念都只重复出现一次.这三个概念都有专门的名称:结论中的宾词叫“大词”结论中的主词叫“小词”结论不出现的那个概念叫“中词”.在两个前提中包含大词的叫“大前提”包含小词的叫“小前提”.习题}设fo(z)一sinxf(z):fo(z)f()一f(z)⋯()一()∈N求厂oo(z).答案一COST.I习题I类比正三角形的性质:三边长相等三内角相等可推知正四面体的下列一些性质:①各棱长相等各共顶点的两条棱的夹角相等②各个面都是全等的正三角形各相邻两个面所成的二面角相等③各个面都是全等的正三角形各共顶点的两条棱的夹角相等.你认为其中比较恰当的性质是.(填序号)答案③.>题l指出下列推理中的错误.()自然数是整数(大前提)一是整数(小前提)所以一是自然数.(结论)()中国的(一个)大学分布于中国各地(大前提)清华大学是中国的(一个)大学(小前提)所以清华大学分布于中国各地.(结论)答案()小前提错误()大前提错误.由上述例题及习题我们可以看出合情推理与演绎推理都是数学推理过程中常见的一些方法它们之间联系紧密、相辅相成同时我们又可以看到合情推理仅仅是一种猜想它的结论不一定正确还需要我们进一步去研究、论证而这个过程正好就是演绎推理.因此我们在解题时往往先用合情推理猜想一个结论然后再用演绎推理进行证明.一l例t已知:sino。sin。。sin。一芸.一sin。sin。sin。一芸I.观察上述两个等式的规律请你写出一般性的等式:=要.并证明该等式.分析一般性的等式为:sinasin(O。)sin(a号.证明如下:左边:.cosacos(a~)cos(a~):专一丢c。sa十c。s(a’noqL⋯⋯⋯⋯。)c。s(ao。)一号一专(c。sacoscosl。一sin口sin。cosdcos。一sinasino。)=号一丢(cosffc。sa一譬sinac。sa譬sina)=号一右边所以原式得证.直竖将一般性的等式写成sin(a一。)sinasitl(口O。)或sin(a一O。)sin(al。)sinz口:等均正确.这里先利用归纳推理猜热一般性的结论再利用演绎推理证明该结论.年第~期责编/顾俊邮箱/mJtm~.corn观察以下各等式:sinO。cosO。sin。cos。一昔sin。cos。n~cos。一号sin。。cos。sin。cos。一{.分析上述各等式的共同特点猜想反映一般规律的等式并对其正确性作出证明.解一般等式为:sinCOS。(a。)sinacos(d。)一昔.证明过程略.圃已知数)一,a一an(=⋯)试归纳出这个数列的通项公式并证明.分析。一一⋯.一般地有n”一·证明如下:由n叶一得一一上即一所以数列{÷}是首项为公差为的等差数Ija列则一一t("一)所以an一n一则n一二.一点翌实际上这里的证明通项公式的过程及方法也就是求通项公式的过程及方法.由例以及后面的习题你能总结出什么规律若数列{“)满足a,rbl=L(ab≠)则采用取倒数的方法即可得口十一oa出数列{an}是等差数列再根据等差数列的通项公式即可求出数列{a)的通项公式.圜设数}一l一(=⋯)试归纳出这个数列的通项公式并证明.解n。一詈蛹一手⋯.I一般地有口n一nLr·本题也可以直接求出通项公式.证明(求法)如下:由n井一a.得上~M一一去~II。.一一所以数列{}是首项为去公差为÷的等差数歹Ⅱ则一一(一)x所以a一则n:.圃将平面内的三角形和空间中的四面体进行类比.分析这里的类比可分为以下两类(这里分别列举部分性质请同学们自己完成证明):()平面内的直角三角形与空间中的直角四面体的性质类比.平面内的直角三角形空间中的直角四面体的性质的性质三丑c在AABC中BCA在四面体SABC中:。点C在斜边AB上平面SAB平面SBC平的射影为D则有结论:面SAC两两垂直点S在()点D在线段AB上.底面ABC上的射影为()AB>ACAB>BC则有类似结论:即直角三角形的三边中()点在AABC内.斜边最长.()直角四面体的四面()射影定理:AC一AD中底面面积最大.·ABCB一DB·AB()一△s△^BcCD=AD·DB.S~sac=S△mcSAAgC㈤一击.SSBc=S△BcS△ABc.():壶.十‘()平面内的一般三角形与空间中的一般四面贵编/顾俊邮箱/m.Gore年第~期体的性质类比.三角形四面体三角形中任意两边之和四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面大于第三边.的面积.三角形的三条内角平分四面体的六个二面角的线交于一点且该点是三平分面交于一点且该点角形内切圆的圆心.是四面体内切球的球心。四面体中过任意顶点的三三角形中任意两边中点条棱的中点连成的三角形的连线平行于第三边且的面积等于第四个面面积等于第三边的一半.的寺且该三角形所在平面平行于第四个面.三角形的三条中线交于将四面体的每一个顶点一点且三角形的每一条和对面的重心相连接所中线被该点分成的两段得四条线段交于一点且其中每一条线段被交点的比为:.分成的两段的比是:.在四面体ABCD中二面在AABC中若A的平角CABD的平分面交分线交边(于点D则棱(D于点E则一AB~.ACDC。.SZ~aBD’在四面体ABCD中设棱在△ABc中有sinLAAB与面ACDBCD的夹bc角分别为a则S~NDsinBsinC‘一sine’设AABC的三边长分别设四面体ABCD的四个为abc面积为S内切面的面积分别为Ssz圆的半径为r外接圆的sS体积为内切球半径为R则有:的半径为r外接球的半㈩r:径为R则有、V一SSS’()R≥r.()R≥r.直竖这里是将三角形与三棱锥进行类比.事实上平面几何与立体几何之问有许多类似的类比比如说平面中的点与空间中的线平面中的线与空间中的面平面中的圆与空间中的球等都可以建立这样的类比.同学们不妨对三角形与三棱柱进行类比.总之就数学其公理化的严谨体系而言它是演绎性的科学而从数学的发现过程和研究方法来说它又是归纳的科学.只有把合情推理与演绎推理、猜想与证明辨证地结合起来才能在较高的层次上认识数学的本质把握数学的思维也才能有效地增强创新意识提高创新能力.巩固练习.平面几何中有结论“周长一定的所有矩形中正方形的面积最大”类比到立体几何中可得的结论是“”..将全体正整数排成一个三角形数阵:O.按照以上排列的规律第行(z≥)从左向右数的第个数为..为确保信息的安全信息需加密传输发送方由明文一密文(加密)接收方则由密文一明文(解密).已知加密规则为:明文nfd对应密文bccdd.例如:明文对应密文l.当接收方收到密文时则解密得明文为..已知厂(z):(≠一盘>o)且厂()一log。厂(一)=.()求函数厂(z)的解析式()已知数列{)的通项一一厂()一厂()⋯E~f(n)J试求z()猜想{工}的通项公式.(参考答案见第页)年第~期责编/顾俊邮箱/guimcom函数的零点与不动点的关系口刘伟f例已知函数(z)=÷一眦在区间()内有一个零点X。若用二分法求。的精确度为.的近似值则需要将区间()对分的次数为()A.B.C.D.解析由与的平均数为要不妨设零点z。在(专)内由l与的平均数为{不妨设零点在(百)内由与的平均数为.昙不妨设零点在(詈)内由与的平均数为不妨设零点在()内.而<.所以需要将区间()对分的次数为选B.垩洼通过每次把厂(z)的零点所在的区间收缩一半的方法使区间的两个端点逐步逼近(z)的零点以求得零点的近似值这种方法叫做二分法.对于函数f(x)若存在z。∈R使f(x。):X。成立则称z。为函数厂(z)的不动点.已知函数厂()一般()zb一(口≠O).()当n:b一一时求函数厂(z)的不动点()若对任意实数b函数厂()恒有两个相异的不动点求实数a的取值范围.解析()根据函数不动点的定义当n=b一一时令厂(z)一z有z一~得~x一解得()的不动点为~和.()令g(z)一厂(z)一z则由题设知对任意实数方程g(工)一恒有两个不等的实根即O()b一~z一即甜bx()=恒有两个不等的实根.所以对任意实数b判别式A:b一(一)>恒成立即b一aba>恒成立所以判别式A一(~a)一×a<即a。一a<解得<口<即为所求.评注实际上函数的不动点与函数的零点是相通的f(x)的不动点就是厂(z)一的零点.巩固练习参考答案《“利用不等式”求最值归类探究》z.(一专÷)《含绝对值的不等式问题的求解策略》.{<<或<z<)..{I一<<O}..由意题可知△一(Jn一{Iln)≥o可得n的取值范围为o..()I(O)lJff≤.()提示由于g()一甜为单调函数其图像是一条直线故要证一≤≤时}g()l≤只须证lg(±)l≤.《扑朔迷离的几何概型》.().()专..(()詈()..{.《合情推理PK演绎推理》.表面积一定的所有长方体中正方体的体积最大..'l.()f(x)=.(={=号z。=专幽一詈一.年第~期责编/顾俊邮箱/uncorn

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