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精算师考试__数学内容提要.doc

精算师考试__数学内容提要.doc

上传者: 山大浪子 2012-04-02 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《精算师考试__数学内容提要doc》,可适用于工程科技领域,主题内容包含第章随机事件与概率、全概率公式:对于两个事件A、B有:即:对于多个事件:、贝叶斯公式:注释:B的发生是由导致的概率。、事件两两独立不一定相互独立第章符等。

第章随机事件与概率、全概率公式:对于两个事件A、B有:即:对于多个事件:、贝叶斯公式:注释:B的发生是由导致的概率。、事件两两独立不一定相互独立第章随机变量与分布函数、帕斯卡分布:(得到r次成功时所需要的“等待时间”的分布)、二维条件分布:()离散:()连续:因此在给定的的条件下Y的分布密度函数为:其中在给定的条件下X的分布密度函数为:其中、如果随机变量X与Y相互独立则他们各自的函数也相互独立、卷积公式:、极大值极小值分布:()极大值:()极小值:第章随机变量的数字特征、注意例题(P)及课后、题(P)、柯西施瓦茨不等式:、方差:、协方差:、相关系数:、相互独立不相关反之则不一定但是对于二维正态分布相互独立不相关、条件期望:()离散:()连续:、条件方差全期望公式()对所有随机变量X和Y:若Y是离散随机变量则若Y是密度为的连续随机变量则:、两个特殊形式的全概率公式:、矩X分布关于c的k阶矩c=时为k阶原点距若c=E(X),则称为K阶中心矩前四阶中心矩用原点矩表示为、变异系数:(无单位的量取值大的方差也较大)、分位数:若满足则称为X分布的分位数或下侧分位数。(转化为上侧分位数)第章大数定律与中心极限定理、切比雪夫不等式:、辛钦大数定理:另:、伯努利大数定理:、中心极限定理:()独立同分布下的中心极限定理:对任意X分布当n足够大总可近似为或等价于:()德莫弗拉普拉斯中心极限定理:X服从分布B(P)则对任意一个x,总有:(与二项分布近似正态分布的有区别)第章统计量及其分布、样本的数值特征()、反应中心趋势的样本的数值特征eqoac(,)样本均值)、点数据)、区间数据eqoac(,)样本中位数eqoac(,)样本众数()反映离散程度的样本特征:eqoac(,)样本方差和标准差eqoac(,)样本极差:eqoac(,)样本四分位差:(注意不能整除时的情况)()反映形状特点的样本特征值eqoac(,)偏态:eqoac(,)峰态:、统计量满足:()统计量中不含未知参数()统计量是样本的函数、抽样分布:无论总体X服从任何分布只要该总体均值方差已知则样本均值的渐进分布为:、三大检验分布:)、分布())、t分布())、F分布第章参数估计矩法估计()基本思想:用样本矩代替总体矩。总体k阶原点矩:总体k阶中心矩:样本k阶原点矩样本k阶中心矩()常用的矩估计等式一个未知参数时矩等式为:矩估什法两个未知参数时矩等式为:其中其中.极大似然法设总体X的分布律中含有未知参数来自该总体的n个样本为样本值为xx…xn()构造似然函数:X为连续型随机变量时为样本的概率密度函数X为离散型随机变量时EMBEDEquation()求使得取得最大值的记为为极大似然估计量。(常用到对数似然函数然后对求导找到驻点即为)点估计的评价标准:()无偏性:设=(xx…xn)为未知参数的估计量.若E()=则称为的无偏估计量.  ()有效性:设(xx…xn)和(xx…xn)是未知参数的两个无偏估计量.若则称比有效.()相合性:设是的一串估计量如果对于任意的正数都有  则称为的相合估计量(或一致估计量).、均值的区间估计参数条件抽样分布置信区间已知未知小样本大样本的差已知未知小样本大样本注意中的顺序EMBEDEquationDSMT注:、、例设总体X~P()求对的矩估计量.(矩估计法)解:考虑到E(X)=由方程=解得.例设总体X服从区间()上的均匀分布xx…xn是来自总体X的样本为样本均值为未知参数则的矩估计=(矩估计法)解:一个未知参数矩等式为:则可得的矩估计。例.设总体X服从均匀分布U()xx…xn是来自该总体的样本则的矩估计=.(矩估计法)解:一个未知参数矩等式为:则可得的矩估计。例设总体X的分布为:,其中<<现观测结果为{}则的极大似然估计=(极大似然估计)解:()构造似然函数()取自然对数()求导找驻点得。例设有一组来自正态总体N()的样本值:.  ()已知=求的%置信区间.(对估计方差已知)  ()未知求的%置信区间.(对估计方差未知)()求的%置信区间.(对估计均值未知)解:()分析:对估计方差已知,置信区间为样本容量n==.查表得u=.计算于是得到的%置信区间-+  即.()分析:对估计方差未知,置信区间为已知n==S=-查表得t()=.计算  于是得到的%置信区间-+  即.()分析:对估计均值未知置信区间为查表得于是得到的%置信区间  即例某生产车间随机抽取件同型号的产品进行直径测量得到结果如下:,,,,,,,,根据长期经验该产品的直径服从正态分布N()试求出该产品的直径的置信度为的置信区间(u=,u=)(精确到小数点后三位)(对估计方差已知)解:分析:对估计方差已知置信区间为计算得故置信区间为:得的置信度为的置信区间例.设某批建筑材料的抗弯强度X~N()现从中抽取容量为的样本测得样本均值=求的置信度为的置信区间.(附:u=)(对估计方差已知)解:分析:对估计方差已知置信区间为计算得故置信区间为:得的置信度为的置信区间例.设某行业的一项经济指标服从正态分布N(μ,σ)其中μ,σ均未知今获取了该指标的个数据作为样本并算得样本均值=样本方差s=()求的置信度为的置信区间(附:t()=)(对估计方差未知)解:分析:对估计方差未知置信区间为计算得故的置信度为的置信区间为:即。第章假设检验、两类错误:、、二项分布参数的假设检验检验类型拒绝域的临界值K满足条件注意:在大样本场合下其拒绝域为:、泊松分布参数的假设检验(P)泊松分布近似正态分布求拒绝域的临界值由于则其拒绝域为:、拟合优度检验()构造统计量其中为观察频数为理论观察频数拒绝域而EMBEDEquationDSMT()若总体含有未知参数时(为未知参数个数)第章常用统计方法、单因素方差分析表方差来源平方和自由度均方误F比组间(因素影响)SSArEMBEDEquationDSMTF服从F(r,nr)组内(随机影响)SSEnr总和SSTn、当时拒绝原假设、(误差平方和用计算器可算)、(也好算)、SSE不好算可以用SSTSSE可得、两因素方差分析表方差来源平方和自由度均方误F比组间(因素A)SSAr组间(因素B)SSBk组内(随机影响)SSE(r)(k)总和SSTrk、拒绝原假设、拒绝原假设、一元回归分析()相关系数:(计算器可算)()回归模型()参数的最小二乘()最小二乘估计量的性质()参数的显著性检验:eqoac(,)检测:(其中)当时拒绝原假设认为显著不为eqoac(,)检测:(其中:)当时拒绝原假设认为显著不为()参数置信区间:()模型拟合检验构造统计量:当:拒绝原假设认为显著不为一元回归模型显著成立。方差来源平方和自由度均方误F比组间(因素影响)SSRF服从F(r,nr)组内(随机影响)SSEn总和SSTn、相关系数检验当显著性水平为时相关系数检验的临界值为:当拒绝原假设认为该模型显著成立。、回归预测,对因变量的推断()对的点估计:()对的区间估计:则其区间估计为其中:第章时间序列分析、AR模型:()平稳性判断:eqoac(,)AR()的平稳性:特征根:平稳域:eqoac(,)AR()的平稳性:平稳域:()平稳AR模型的均值:()平稳AR模型的方差:其中满足:如:AR()模型的方差:()平稳AR模型的协方差函数:递推公式:如:AR()模型的协方差函数:()平稳AR模型的自相关系数:()平稳AR模型的自相关系数的性质:()平稳AR模型的偏自相关系数:对于AR():对于AR():、MA模型:()均值与方差()自协方差与自相关系数()MA模型的可逆条件()逆函数的递推公式:()、(1)、平稳时间序列的的拟合()参数估计:(矩估计)eqoac(,)AR(p)模型参数的矩估计对于:有:于是可得如下的YuleWalk方程:根据自协方差公式有:于是可得到的矩估计eqoac(,)MA(q)模型参数的矩估计第三章已经推导出MA(q)的自协方差结果将代替代替(i=,…q),得如下方程组:上式是含有q个参数的非线性方程组解此方程组即可以求出各参数:方程组可以直接求解也可以用迭代法求解。、平稳时间序列的预测:()简单移动平均()指数平滑法(单指数)或()ARMA预测法:(P)()ARIMA模型的预测(详见P)若总体X的均值E(X)和方差D(X)存在则样本均值EMBEDEquationDSMT和样本方差S分别为E(X)和D(X)的无偏估计即  E(EMBEDEquationDSMT)=E(X)E(S)=D(X).unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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