高考数学快速提升成绩题型训练——数列求和

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——数列求和 1. 求数列 , 的前 项和. 2 已知 ，求 的前n项和. 3. 求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a为常数)的前n项和。 4. 求证： 5. 求数列 ， ， ，…， ，…的前n项和S 6. 数列{an}： ，求S2002. 7. 求数5，55，555，…，55…5 的前n项和Sn 8. 已知数列 是等差数列，且 ，求 的值. 9. 已知数列 的通项公式为 求它的前n项的和. 10. 在数列 中， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 数列 是等差数列，并求出Sn的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式. 11. 数列 为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2 n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54. 求其首项a1及公比q. 12. 已知数列 求 . 13. 设 为等差数列，Sn 为数列 的前n 项和，已知S7 = 7, S15 = 75. 记Tn 为数列 的前n 项和，求Tn . 14. 求数列 的前项和 15. 已知： .求 . 16. 求和 . 17. ，求 。 18. 设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…． （Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式。 19. 已知数列 ： ，求 的值。 20. 求和: EMBED Equation.3 21. 求数列的前 项和： 22. 求数列 的前 项和。 23. 求证： 24. 求 的值。 25. 已知数列 的通项公式 ，求它的前n项和. 26. 已知数列 的通项公式 求它的前n项和. 27. 求和： 28. 已知数列 29. 求和 30. 解答下列问题： （I）设 （1）求 的反函数 （2）若 （3）若 31. 设函数 求和： 32. 已知数列 的各项为正数，其前n项和 ， （I）求 之间的关系式，并求 的通项公式； （II）求证 33.已知数列{ }的各项分别为 的前n项和 . 34．已知数列{ }满足： 的前n项和 . 35．设数列{ }中， 中5的倍数的项依次记为 ， （I）求 的值. （II）用k表示 ，并说明理由. （III）求和： 36．数列{ }的前n项和为 ，且满足 （I）求 与 的关系式，并求{ }的通项公式； （II）求和 37．将等差数列{ }的所有项依次排列，并如下分组：（ ），（ ），（ ），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有 项，记Tn为第n组中各项的和，已知T3=-48，T4=0， （I）求数列{ }的通项公式； （II）求数列{Tn}的通项公式； （III）设数列{ Tn }的前n项和为Sn，求S8的值. 38. 设数列 是公差为 ，且首项为 的等差数列， 求和： 39. （1）设 是各项均不为零的 （ ）项等差数列，且公差 ，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列． （i）当 时，求 的数值； （ii）求 的所有可能值． （2）求证：对于给定的正整数 ( )，存在一个各项及公差均不为零的等差数列 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 40. 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ （取 ） 答案： 1. 设 则 两式相减得 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∴ . 2. 解：由 由等比数列求和公式得 ＝ ＝ ＝1－ 3. 解：若a=0, 则Sn=0若a=1, 则Sn=1+2+3+…+n= 若a≠0且a≠1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan ∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1 ∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1= ∴Sn= 当a=0时，此式也成立。 ∴Sn= 解析：数列 是由数列 与 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况。 4. 证明： 设 ………………………….. ① 把①式右边倒转过来得 （反序） 又由 可得 …………..…….. ② ①+②得 （反序相加） ∴ 5. 解：∵ = ） Sn= = = 6. 解：设S2002＝ 由 可得 …… ∵ （找特殊性质项） ∴　S2002＝ （合并求和） ＝ ＝ ＝ ＝5 7. 解： 因为55…5= 所以 Sn=5+55+555+…+55…5 = = = 解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。 另外：Sn= 可以拆成：Sn=（1+2+3+…+n）+( ) 8. ∵ 为等差数列，且1+17=5+13， ∴ . 由题设易知 =117. 又 为 与 的等差中项，∴ . 9. (裂项) 于是有 方程组两边相加，即得 10. 【证明】∵ ∴. 化简，得 Sn-1－Sn= 2 Sn Sn-1 两边同除以. Sn Sn-1，得 ∴数列 是以 为首项，2为公差的等差数列. ∴ ∴ 11. ∵ ∴此数列为递增等比数列. 故q ≠ 1. 依题设，有 ②÷①，得 ④ ④代入①，得 ⑤ ⑤代入③，得 ⑥ ④代入⑥，得 , 再代入③，得a1 =2, 再代入⑤，得 q = 3. 12. 令 （裂项） 故有 = . 13. 设等差数列 的公差为d，则 ( I ) ∵ ∴ 解得 代入（I）得 EMBED Equation.3 （II） ∵ ∴数列 是首项为 －2，公差为 的等差数列，∴ 14. 解： Sn= 15. 当 为正奇数时， 当 为正偶数时， 综上知 ，注意按 的奇偶性讨论！ 16. 17. 解：因为 所以 18. 解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝ 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－ 于是(a2－ (Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， 即　　Sn2－2Sn＋1－anSn＝0． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得 Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　① 由(Ⅰ)知S1＝a1＝ 由①可得S3＝ 由此猜想Sn＝ 下面用数学归纳法证明这个结论． (i)n＝1时已知结论成立． (ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝ 当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝ 故n＝k＋1时结论也成立． 综上，由(i)、(ii)可知Sn＝ 于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ 又n＝1时，a1＝ ｛an｝的通项公式an＝ 19. 解：∵ （找通项及特征） （设制分组） （裂项） ∴ （分组、裂项求和） 20. 解:原式= = = 21. 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 当 时， ＝ 当 时， ＝ 22. 解：设 ∴ ＝ 将其每一项拆开再重新组合得 23. 证明： 设 ………………………….. ① 把①式右边倒转过来得 （反序） 又由 可得 …………..…….. ② ①+②得 （反序相加） ∴ 24. 解：设 …………. ① 将①式右边反序得 ……② （反序） 又 EMBED Equation.3 ①+②得 （反序相加） ∴ 25. = = 26. 27. 注意：数列的第n项“n·1”不是数列的通项公式，记这个数列为 ， ∴其通项公式是 28. 为等比数列，∴应运用错位求和方法： 29. 而 运用反序求和方法是比较好的想法， ①， ②， ①+②得 30. （1） （2） 是公差为9的等差数列， （3） 31. ①当n为偶数时 = ②当n为奇数时 32. （I） ①，而 ②， ①—②得 的等差数列， （II） 33. （1） （2）当 ① ②当 时，1）当n为奇数时 2）当n为偶数时 34．当 而 ②， ①－②得 35．（I） （II） （III） 36．（I） （II） 37．（I）设{ }的公差为d，则 ①， ②，解①、②得 （II）当 时，在前n－1组中共有项数为 ∴第n组中的 （III） 38. 解析：因为 ， EMBED Equation.3 ， 。 39. （1）①当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。 若删去 ，则 ，即 化简得 ，得 若删去 ，则 ，即 化简得 ，得 综上，得 或 。 ②当n=5时, 中同样不可能删去 ，否则出现连续三项。 若删去 ，则 ，即 化简得 ，因为 ，所以 不能删去； 当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列 中，由于不能删去首项或末项，若删去 ，则必有 ，这与 矛盾；同样若删去 也有 ，这与 矛盾；若删去 中任意一个，则必有 ，这与 矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项) 综上所述， 。 （2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列 ，其中 （ ）为任意三项成等比数列，则 ，即 ，化简得 （*） 由 知， 与 同时为0或同时不为0 当 与 同时为0时，有 与题设矛盾。 故 与 同时不为0，所以由（*）得 因为 ，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而 为有理数。 于是，对于任意的正整数 ，只要 为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。 例如n项数列1， ， ，……， 满足要求。 40. 解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， ①甲方案获利： （万元）， 银行贷款本息： （万元）， 故甲方案纯利： （万元）， ②乙方案获利： （万元）； 银行本息和： （万元） 故乙方案纯利： （万元）； 综上可知，甲方案更好。 � EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT ��� n n ① _1234568022.unknown _1234568086.unknown _1234568150.unknown _1234568182.unknown _1234568214.unknown _1234568230.unknown _1234568246.unknown _1234568254.unknown _1234568262.unknown _1234568266.unknown _1234568268.unknown _1234568270.unknown _1234568271.unknown _1234568272.unknown _1234568269.unknown _1234568267.unknown _1234568264.unknown _1234568265.unknown _1234568263.unknown _1234568258.unknown _1234568260.unknown _1234568261.unknown _1234568259.unknown _1234568256.unknown _1234568257.unknown _1234568255.unknown _1234568250.unknown _1234568252.unknown _1234568253.unknown _1234568251.unknown _1234568248.unknown _1234568249.unknown _1234568247.unknown _1234568238.unknown _1234568242.unknown _1234568244.unknown _1234568245.unknown _1234568243.unknown _1234568240.unknown _1234568241.unknown _1234568239.unknown _1234568234.unknown _1234568236.unknown _1234568237.unknown _1234568235.unknown _1234568232.unknown _1234568233.unknown _1234568231.unknown _1234568222.unknown _1234568226.unknown _1234568228.unknown _1234568229.unknown _1234568227.unknown _1234568224.unknown _1234568225.unknown _1234568223.unknown _1234568218.unknown _1234568220.unknown _1234568221.unknown _1234568219.unknown _1234568216.unknown _1234568217.unknown _1234568215.unknown _1234568198.unknown _1234568206.unknown _1234568210.unknown _1234568212.unknown _1234568213.unknown _1234568211.unknown _1234568208.unknown _1234568209.unknown _1234568207.unknown _1234568202.unknown _1234568204.unknown _1234568205.unknown _1234568203.unknown _1234568200.unknown _1234568201.unknown _1234568199.unknown _1234568190.unknown _1234568194.unknown _1234568196.unknown _1234568197.unknown _1234568195.unknown _1234568192.unknown _1234568193.unknown _1234568191.unknown _1234568186.unknown _1234568188.unknown _1234568189.unknown _1234568187.unknown _1234568184.unknown _1234568185.unknown _1234568183.unknown _1234568166.unknown _1234568174.unknown _1234568178.unknown _1234568180.unknown _1234568181.unknown _1234568179.unknown _1234568176.unknown _1234568177.unknown _1234568175.unknown _1234568170.unknown _1234568172.unknown _1234568173.unknown _1234568171.unknown _1234568168.unknown _1234568169.unknown _1234568167.unknown _1234568158.unknown _1234568162.unknown _1234568164.unknown _1234568165.unknown _1234568163.unknown _1234568160.unknown _1234568161.unknown _1234568159.unknown _1234568154.unknown _1234568156.unknown _1234568157.unknown _1234568155.unknown _1234568152.unknown _1234568153.unknown _1234568151.unknown _1234568118.unknown _1234568134.unknown _1234568142.unknown _1234568146.unknown _1234568148.unknown _1234568149.unknown _1234568147.unknown _1234568144.unknown _1234568145.unknown _1234568143.unknown _1234568138.unknown _1234568140.unknown _1234568141.unknown _1234568139.unknown _1234568136.unknown _1234568137.unknown _1234568135.unknown _1234568126.unknown _1234568130.unknown _1234568132.unknown _1234568133.unknown _1234568131.unknown _1234568128.unknown _1234568129.unknown _1234568127.unknown _1234568122.unknown _1234568124.unknown _1234568125.unknown _1234568123.unknown _1234568120.unknown _1234568121.unknown _1234568119.unknown _1234568102.unknown _1234568110.unknown _1234568114.unknown _1234568116.unknown _1234568117.unknown _1234568115.unknown _1234568112.unknown _1234568113.unknown _1234568111.unknown _1234568106.unknown _1234568108.unknown _1234568109.unknown _1234568107.unknown _1234568104.unknown _1234568105.unknown _1234568103.unknown _1234568094.unknown _1234568098.unknown _1234568100.unknown _1234568101.unknown _1234568099.unknown _1234568096.unknown _1234568097.unknown _1234568095.unknown _1234568090.unknown _1234568092.unknown _1234568093.unknown _1234568091.unknown _1234568088.unknown _1234568089.unknown _1234568087.unknown _1234568054.unknown _1234568070.unknown _1234568078.unknown _1234568082.unknown _1234568084.unknown _1234568085.unknown _1234568083.unknown _1234568080.unknown _1234568081.unknown _1234568079.unknown _1234568074.unknown _1234568076.unknown _1234568077.unknown _1234568075.unknown _1234568072.unknown _1234568073.unknown _1234568071.unknown _1234568062.unknown _1234568066.unknown _1234568068.unknown _1234568069.unknown _1234568067.unknown _1234568064.unknown _1234568065.unknown _1234568063.unknown _1234568058.unknown _1234568060.unknown _1234568061.unknown _1234568059.unknown _1234568056.unknown _1234568057.unknown _1234568055.unknown _1234568038.unknown _1234568046.unknown _1234568050.unknown _1234568052.unknown _1234568053.unknown _1234568051.unknown _1234568048.unknown _1234568049.unknown _1234568047.unknown _1234568042.unknown _1234568044.unknown _1234568045.unknown _1234568043.unknown _1234568040.unknown _1234568041.unknown _1234568039.unknown _1234568030.unknown _1234568034.unknown _1234568036.unknown _1234568037.unknown _1234568035.unknown _1234568032.unknown _1234568033.unknown 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