空间解析几何课件

空间解析几何课件null第七章第七章数量关系 —第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式 — 点, 线, 面基本方法 — 坐标法; 向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数第一节第一节四、利用坐标作向量的线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影机动目录上页下页返回结束向量及其线性运算第七章一、向量的概念一、向量的概念表示法:向量的模 :向量的大小,向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢...

null第七章第七章数量关系 —第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式 — 点, 线, 面基本方法 — 坐标法; 向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数第一节第一节四、利用坐标作向量的线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影机动目录上页下页返回结束向量及其线性运算第七章一、向量的概念一、向量的概念表示法:向量的模 :向量的大小,向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为 1 的向量,零向量:模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,机动目录上页下页返回结束 null规定: 零向量与任何向量平行 ;记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称两向量共线 .若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k 个向量共面 .机动目录上页下页返回结束二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 :交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .机动目录上页下页返回结束 null机动目录上页下页返回结束 2. 向量的减法2. 向量的减法三角不等式机动目录上页下页返回结束 3. 向量与数的乘法3. 向量与数的乘法 是一个数 ,规定 :可见总之:运算律 :结合律分配律因此机动目录上页下页返回结束定理1. 定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数), 取 ＝±且再证数  的唯一性 .则取正号, 反向时取负号,机动目录上页下页返回结束 null则例1. 设 M 为解:机动目录上页下页返回结束三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o , 坐标面卦限(八个)zox面1. 空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束在直角坐标系下在直角坐标系下向径坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点 M特殊点的坐标 :有序数组(称为点 M 的坐标)原点 O(0,0,0) ;机动目录上页下页返回结束 null坐标轴 : 坐标面 :机动目录上页下页返回结束 2. 向量的坐标表示2. 向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为机动目录上页下页返回结束四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:机动目录上页下页返回结束例2.例2.求解以向量为未知元的线性方程组解: ①②2×① －3×② , 得代入②得机动目录上页下页返回结束例3. 已知两点例3. 已知两点在AB直线上求一点 M , 使解: 设 M 的坐标为如图所示及实数得即机动目录上页下页返回结束说明: 由说明: 由得定比分点公式 :点 M 为 AB 的中点 ,于是得中点公式:机动目录上页下页返回结束五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与机动目录上页下页返回结束例4. 求证以例4. 求证以证:即为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点机动目录上页下页返回结束例5. 在 z 轴上求与两点例5. 在 z 轴上求与两点等距解: 设该点为解得故所求点为及思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 机动目录上页下页返回结束提示:提示:(1) 设动点为利用得(2) 设动点为利用得且例6. 已知两点和解:求机动目录上页下页返回结束 2. 方向角与方向余弦2. 方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点 O ,称  =∠AOB (0≤ ≤  ) 为向量的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 ,  ,  为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦. 机动目录上页下页返回结束 null方向余弦的性质:机动目录上页下页返回结束例7. 已知两点例7. 已知两点和的模、方向余弦和方向角 . 解:计算向量机动目录上页下页返回结束例8. 设点 A 位于第一卦限,例8. 设点 A 位于第一卦限,解: 已知作业 P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19角依次为求点 A 的坐标 . 则因点 A 在第一卦限 ,故于是故点 A 的坐标为向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹第二节目录上页下页返回结束备用题备用题解: 因1. 设求向量在 x 轴上的投影及在 y轴上的分向量.在 y 轴上的分向量为故在 x 轴上的投影为机动目录上页下页返回结束 2.2.设求以向量行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为对角线的长为解：为边的平机动目录上页下页返回结束第二节第二节*三、向量的混合积一、两向量的数量积二、两向量的向量积机动目录上页下页返回结束数量积向量积 *混合积第七章一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1. 定义设向量的夹角为 ,称数量积(点积) .机动目录上页下页返回结束 null故2. 性质为两个非零向量,则有机动目录上页下页返回结束 3. 运算律3. 运算律(1) 交换律(2) 结合律(3) 分配律事实上, 当时, 显然成立 ;机动目录上页下页返回结束例1. 证明三角形余弦定理例1. 证明三角形余弦定理证:则如图 . 设机动目录上页下页返回结束 4. 数量积的坐标表示4. 数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式 , 得机动目录上页下页返回结束例2. 已知三点例2. 已知三点 AMB . 解:则求故机动目录上页下页返回结束例3. 设均匀流速为例3. 设均匀流速为为  ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积的夹角为且机动目录上页下页返回结束二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为符合右手规则机动目录上页下页返回结束 1. 定义1. 定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,引例中的力矩思考: 右图三角形面积S＝机动目录上页下页返回结束 2. 性质2. 性质为非零向量, 则3. 运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)证明:机动目录上页下页返回结束 4. 向量积的坐标表示式4. 向量积的坐标表示式设则机动目录上页下页返回结束向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法( 行列式计算见 P339～P342 ) 机动目录上页下页返回结束例4. 已知三点例4. 已知三点角形 ABC 的面积解: 如图所示,求三机动目录上页下页返回结束例5. 设刚体以等角速度  绕 l 轴旋转, 例5. 设刚体以等角速度  绕 l 轴旋转, 一点 M 的线速度导出刚体上的表示式 . 解: 在轴 l 上引进一个角速度向量使其在 l 上任取一点 O,作它与则点 M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为 , 方向与旋转方向符合右手法则 ,向径机动目录上页下页返回结束 *三、向量的混合积*三、向量的混合积1. 定义已知三向量称数量混合积 .几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其机动目录上页下页返回结束 2. 混合积的坐标表示2. 混合积的坐标表示设机动目录上页下页返回结束 3. 性质3. 性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)机动目录上页下页返回结束例6. 已知一四面体的顶点例6. 已知一四面体的顶点4 ) , 求该四面体体积 . 解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故机动目录上页下页返回结束例7. 证明四点例7. 证明四点共面 .解: 因故 A , B , C , D 四点共面 .机动目录上页下页返回结束内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动目录上页下页返回结束混合积:混合积:2. 向量关系:机动目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .答案:2. 用向量方法证明正弦定理:机动目录上页下页返回结束证: 由三角形面积公式证: 由三角形面积公式所以因机动目录上页下页返回结束 null 作业 P310 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12第三节目录上页下页返回结束备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：机动目录上页下页返回结束 2.在顶点为三角形中, 求 AC 边上的高 BD .解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有机动目录上页下页返回结束第三节第三节四、二次曲面一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面机动目录上页下页返回结束曲面及其方程第七章一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程. 机动目录上页下页返回结束定义1. 定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.两个基本问题 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 机动目录上页下页返回结束例1. 求动点到定点例1. 求动点到定点故所求方程为方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解: 设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面 .机动目录上页下页返回结束例2. 研究方程例2. 研究方程解: 配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. 表示怎样半径为的球面.球心为一个球面, 或点, 或虚轨迹.机动目录上页下页返回结束二、旋转曲面二、旋转曲面定义2. 一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 .例如 :机动目录上页下页返回结束建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C: 则有则有该点转到机动目录上页下页返回结束思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？机动目录上页下页返回结束例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动目录上页下页返回结束例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动目录上页下页返回结束三、柱面三、柱面引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束定义3.定义3.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.z 轴的平面.表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l 叫做母线.机动目录上页下页返回结束一般地,在三维空间一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线机动目录上页下页返回结束四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 )机动目录上页下页返回结束 1. 椭球面1. 椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动目录上页下页返回结束 null与的交线为椭圆：(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c 时为球面.(3) 截痕:为正数)机动目录上页下页返回结束 2. 抛物面2. 抛物面(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)机动目录上页下页返回结束 3. 双曲面3. 双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时, 截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面上的截痕情况:机动目录上页下页返回结束双曲线: null虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴;机动目录上页下页返回结束相交直线: 双曲线: (2) 双叶双曲面(2) 双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18 目录上页下页返回结束图形4. 椭圆锥面4. 椭圆锥面椭圆在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到, 见书 P316 )机动目录上页下页返回结束内容小结内容小结1. 空间曲面三元方程球面旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面: 柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .机动目录上页下页返回结束 2. 二次曲面2. 二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面: 机动目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于 y 轴的直线平行于 yoz 面的平面圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面1. 指出下列方程的图形:机动目录上页下页返回结束 null2. P318 题3 , 10机动目录上页下页返回结束题10 答案: 在 xoy 面上第四节第七章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节机动目录上页下页返回结束空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C. 机动目录上页下页返回结束又如,方程组又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 机动目录上页下页返回结束二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度, 称为螺距 .机动目录上页下页返回结束例1. 将下列曲线化为参数方程表示:例1. 将下列曲线化为参数方程表示:解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为故所求为得所求为机动目录上页下页返回结束例2. 求空间曲线 :例2. 求空间曲线 :绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程 .解:点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点则机动目录上页下页返回结束这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例如, 直线例如, 直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为消去 t 和  , 得旋转曲面方程为机动目录上页下页返回结束又如, xoz 面上的半圆周又如, xoz 面上的半圆周绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如机动目录上页下页返回结束三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程机动目录上页下页返回结束例如,例如,在xoy 面上的投影曲线方程为机动目录上页下页返回结束又如,又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .机动目录上页下页返回结束内容小结内容小结空间曲线三元方程组或参数方程求投影曲线 (如, 圆柱螺线)机动目录上页下页返回结束思考与练习 P324 题 1，2，7（展示空间图形）答案:答案:P324 题1 (2)(1)机动目录上页下页返回结束 null(3)机动目录上页下页返回结束 nullP324 题2 (1)机动目录上页下页返回结束 P324 题2(2)P324 题2(2)思考:交线情况如何?交线情况如何?机动目录上页下页返回结束 nullP325 题 7机动目录上页下页返回结束备用题备用题求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 解：交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 ,它与所给平面的机动目录上页下页返回结束第五节第五节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角机动目录上页下页返回结束平面及其方程第七章一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程①设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故机动目录上页下页返回结束例1.求过三点例1.求过三点即解: 取该平面 的法向量为的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程机动目录上页下页返回结束说明:说明:此平面的三点式方程也可写成一般情况 :过三点的平面方程为机动目录上页下页返回结束特别,当平面与三坐标轴的交点分别为特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程. 时,平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即机动目录上页下页返回结束二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价, ②的平面, 因此方程②的图形是法向量为方程.机动目录上页下页返回结束特殊情形特殊情形• 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面;• 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴;• A x+C z+D = 0 表示• A x+B y+D = 0 表示• C z + D = 0 表示• A x + D =0 表示• B y + D =0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面的平面;平行于 yoz 面的平面；平行于 zox 面的平面.机动目录上页下页返回结束例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解:因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程(P327 例4 , 自己练习) 机动目录上页下页返回结束三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为平面∏2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.机动目录上页下页返回结束特别有下列结论：特别有下列结论：机动目录上页下页返回结束例4. 一平面通过两点例4. 一平面通过两点因此有垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .解: 设所求平面的法向量为即的法向量约去C , 得即和则所求平面故方程为且机动目录上页下页返回结束例5. 设例5. 设外一点,求解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为(点到平面的距离公式)机动目录上页下页返回结束例6.例6.解: 设球心为求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而机动目录上页下页返回结束内容小结内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式机动目录上页下页返回结束 null2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:机动目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习P330 题4 , 5, 8第六节目录上页下页返回结束作业 P330 2 , 6 , 7 , 9备用题备用题求过点且垂直于二平面和的平面方程.解: 已知二平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得机动目录上页下页返回结束第六节第六节一、空间直线方程二、线面间的位置关系机动目录上页下页返回结束空间直线及其方程第七章一、空间直线方程一、空间直线方程因此其一般式方程1. 一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)机动目录上页下页返回结束 2. 对称式方程2. 对称式方程故有说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如, 当和它的方向向量机动目录上页下页返回结束 3. 参数式方程3. 参数式方程设得参数式方程 :机动目录上页下页返回结束例1.用对称式及参数式表示直线例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .机动目录上页下页返回结束 null故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.机动目录上页下页返回结束二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角则两直线夹角  满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为机动目录上页下页返回结束 null特别有:机动目录上页下页返回结束例2. 求以下两直线的夹角例2. 求以下两直线的夹角解: 直线直线二直线夹角 的余弦为(参考P332 例2 )从而的方向向量为的方向向量为机动目录上页下页返回结束 2. 直线与平面的夹角2. 直线与平面的夹角当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为平面  的法向量为则直线与平面夹角  满足直线和它在平面上的投影直机动目录上页下页返回结束例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面特别有:解: 取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 垂机动目录上页下页返回结束 1. 空间直线方程1. 空间直线方程一般式对称式参数式内容小结机动目录上页下页返回结束 2. 线与线的关系2. 线与线的关系直线直线夹角公式:机动目录上页下页返回结束 3. 面与线间的关系3. 面与线间的关系平面  :L⊥ L // 夹角公式：直线 L :机动目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习作业 P335 3，4，5，7，9 P335 题2, 10习题课目录上页下页返回结束备用题备用题解：相交,求此直线方程 .的方向向量为过 A 点及面的法向量为则所求直线的方向向量方法1 利用叉积. 所以一直线过点且垂直于直线又和直线机动目录上页下页返回结束 null设所求直线与的交点为待求直线的方向向量方法2 利用所求直线与L2 的交点 .即故所求直线方程为则有机动目录上页下页返回结束 null代入上式 , 得由点法式得所求直线方程而机动目录上页下页返回结束习题课习题课一、内容小结二、实例分析机动目录上页下页返回结束空间解析几何第七章一、内容小结一、内容小结空间平面一般式点法式截距式三点式1. 空间直线与平面的方程机动目录上页下页返回结束空间直线空间直线为直线的方向向量.一般式对称式参数式为直线上一点; 机动目录上页下页返回结束 2.线面之间的相互关系2.线面之间的相互关系面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:机动目录上页下页返回结束线与线的关系线与线的关系直线直线垂直:平行:夹角公式:机动目录上页下页返回结束面与线间的关系面与线间的关系平面:垂直：平行：夹角公式：直线:机动目录上页下页返回结束 3. 相关的几个问题3. 相关的几个问题(1) 过直线的平面束方程机动目录上页下页返回结束 (2)点(2)点的距离为到平面  ：A x+B y+C z+D = 0机动目录上页下页返回结束 (3) 点(3) 点到直线的距离为机动目录上页下页返回结束二、实例分析二、实例分析例1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线提示: 所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行, 且过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程. 机动目录上页下页返回结束例2. 求直线例2. 求直线与平面的交点 . 提示: 化直线方程为参数方程代入平面方程得从而确定交点为（1，2，2）.机动目录上页下页返回结束例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线垂直相交的直线方程.提示: 先求二直线交点 P. 化已知直线方程为参数方程, 代入 ①式, 可得交点最后利用两点式得所求直线方程的平面的法向量为故其方程为①过已知点且垂直于已知直线机动目录上页下页返回结束例4. 求直线例4. 求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程机动目录上页下页返回结束例5. 设一平面平行于已知直线例5. 设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法线的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量机动目录上页下页返回结束所求为例6. 求过直线L:例6. 求过直线L:且与平面夹成角的平面方程.提示:过直线 L 的平面束方程其法向量为已知平面的法向量为选择使从而得所求平面方程机动目录上页下页返回结束例7. 求过点例7. 求过点思路: 先求交点且与两直线都相交的直线 L.提示:的方程化为参数方程设 L 与它们的交点分别为再写直线方程.机动目录上页下页返回结束 null三点共线机动目录上页下页返回结束例8.直线例8.直线绕 z 轴旋转一周, 求此旋转转曲面的方程. 提示:在 L 上任取一点旋转轨迹上任一点,则有得旋转曲面方程机动目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习机动目录上页下页返回结束 P338 题21 画出下列各曲面所围图形:

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