数字信号处理试卷_B卷_数字信号处理

第 1 页 共 4 页 合肥工业大学试卷参考答案（B 卷） 2003~2004 学年第 二 学期 课程名称 数字信号处理 考试班级自动化 01-1~7 班 学生学号 学生姓名 成绩 一. 计算 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （共 60 分，12 分/题） 1. 设模拟信号 x(t)=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt，求： （1） 该信号的最小采样频率； （2） 若采样频率 fs=5000Hz，其采样后的输出信号； 解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是 f1=1000Hz，f2=3000Hz，f3=6000Hz ∴信号的最高频率 fm=6000Hz 由采样定理 fs≥2fm，得信号的最小采样频率 fs=2fm =12kHz （2）由于采样频率 fs=5kHz，则采样后的输出信号 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=== = nn nnn nnn nnn f nxnTxtxnx s snTt s 5 22sin5 5 12cos13 5 12cos10 5 22sin5 5 12cos3 5 112cos10 5 212sin5 5 12cos3 5 62cos10 5 32sin5 5 12cos3 )()()( ππ πππ πππ πππ 2. 设 x(n)的傅里叶变换为 X(ejω)，试利用 X(ejω)表示下列序列的傅里叶变换： （1） )1()1()(1 nxnxnx −−+−= （2） )]()([ 2 1)( nxnxnx −+= ∗ 解：（1）由于 )()]([ ωjeXnxDTFT = ， )()]([ ωjeXnxDTFT −=− 则 )()]1([ ωω jj eXenxDTFT −−=− )()]1([ ωω jj eXenxDTFT −=−− 故 ωωωωω cos)(2])[()]([ 1 jjjj eXeeeXnxDTFT −−− =+= （2）由于 )()]([ ωjeXnxDTFT ∗∗ =− 第 2 页 共 4 页 故 )](Re[ 2 )()()]([ 2 ω ωω j jj eXeXeXnxDTFT =+= ∗ 3. 已知两个有限长序列为 ⎩⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤−= ⎩⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤+= 651 401 )( 640 301 )( n n ny n nn nx ， ， ， ， 试作图表示 x(n)，y(n)以及 f(n) =x(n)○7 y(n)。 解：其结果如图所示。 4. 随机相位正弦波 )sin()( 0ϕω += tAtx 式中，A,ω均为常数，φ0 在 0~2π内随机取值，试求其自相关函数。 解：由自相关函数的定义式，得 [ ] ( ) ωτ αωτααωταπτ πωαω αϕω ϕτωϕω ττ cos 2 sincossincossin 2 lim)( 21 )(sin)sin(1lim )()(1lim)( 2 2/ 2/ 2 2 0 2/ 2/ 00 2 0 A dAR Tddt t dtttA T dttxtx T R T TTxx T TT T Txx = += == =+ +++= += ∫ ∫ ∫ −∞→ −∞→ ∞→ 故 且则 令 ， 5. 设模拟滤波器的系统函数为 22)( )( bas assH ++ += 试利用冲激响应不变法， 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 IIR 数字低通滤波器。 第 3 页 共 4 页 解：将 H(s)展开成部分分式，得 jbasjbasbas assH −++++=++ += 2/12/1 )( )( 22 对 H(s)取拉氏反变换，得 tjbatjba eeth )()( 2 1 2 1)( −−+− += 对 h(t)作周期为 T 的等间隔采样，得 [ ]nTjbanTjba nTt eethnh )()( 2 1)()( −−+−= +== 对 h(n)取 Z 变换，得 IIR 数字低通滤波器的系统函数为 221 1 1)(1)( 0 )cos2(1 )cos(1 1 1 1 1 2 1)()( −−−− −− −−−−+− ∞ = − +− −= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−== ∑ zezbTe zbTe zeze znhzH aTaT aT TjbaTjba n n 二. 简答题（共 21 分，7 分/题） 1. 利用循环卷积计算线性卷积的条件是什么？试用框图表明其实现过程。 答：设两个有限长序列 x(n)、h(n)的点数分别为 N 和 M，其循环卷积的长度为 L，则要用循 环卷积计算线性卷积的条件是：循环卷积的长度 L 必须不小于线性卷积的长度 N+M-1，即 L≥N+M-1 用循环卷积实现线性卷积的过程如图所示。 2. 经典谱估计法有哪两种方法？二者有何不同？ 答：经典谱估计法包括相关估计法和周期图法。 二者的不同在于：相关估计法是通过数据的自相关序列来求功率谱的，而周期图法则是 由数据直接用离散傅里叶变换来求功率谱的。 3. 数字滤波器从实现方法上可分为哪两类？从特点上看，二者的最大区别在于什么？ 答：数字滤波器从实现方法上可分为 IIR 滤波器和 FIR 滤波器。 二者的最大不同的特点在于：FIR 滤波器是具有严格线性相位的数字滤波器，而 IIR 滤 波器的相位特性是非线性的。 三. 作图题（共 7 分，7 分/题） 1. 试绘制出 N=8 时基-2 按时间抽取法（DIT）的 FFT 流图（时间抽取采用输入倒位序，输 出自然数顺序）。 解： L 点 DFT x(n) L 点 L 点 DFT h(n) L 点 相乘 X(k) H(k) X(k)H(k) L 点 IDFT y(n) x(n) N 点 h(n) M 点 补零扩展 补零扩展 第 4 页 共 4 页 四. 证明题（共 12 分，12 分/题） 1. 若 )(),( 21 nxnx 是因果稳定序列，求证： ∫∫∫ −−− = ππ ωππ ωππ ωω ωπωπωπ })(21}{)(21{)()(21 2121 deXdeXdeXeX jjjj 证：设 )()()( 21 nxnxny ∗= 则由时域卷积定理，得 )()()( 21 ωωω jjj eXeXeY = 即 ∫ ∫ − − = ==∗ π π ωωω π π ωω ωπ ωπ deeXeX deeYnynxnx njjj njj )()( 2 1 )( 2 1)()()( 21 21 令上式的左右两边 n=0，得 )0()0( )()()()()()( 2 1 21 00 2102121 xx knxkxnxnxdeXeX n n k n jj ⋅= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=∗= == =− ∑∫ππ ωω ωπ 又傅里叶反变换公式，得 ∫−= ππ ωω ωπ deeXnx njj )(21)( 11 ， ∫−= π π ωω ωπ deeXnx njj )( 2 1)( 22 则 ∫−= ππ ω ωπ deXx j )(21)0( 11 ， ∫−= π π ω ωπ deXx j )( 2 1)0( 22 所以 ∫∫∫ −−− = ππ ωππ ωππ ωω ωπωπωπ })(21}{)(21{)()(21 2121 deXdeXdeXeX jjjj