【2012考研必备资料】高数--习题集及其答案

【2012考研必备资料】高数--习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 集及其 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 第一章 函数·极限·连续 一. 填空题 1. 已知 定义域为___________. 解. , , 2．设 , 则a = ________. 解. 可得 = , 所以 a = 2. 3. =________. 解. < < 所以 < < , (n(() , (n(() 所以 = 4. 已知函数 , 则f[f(x)] _______. 解. f[f(x)] = 1. 5. =_______. 解. = 6. 设当 的3阶无穷小, 则 解. ( 1 ) ( 2 ) 由( 1 ): 由( 2 ): 7. =______. 解. 8. 已知 (( 0 ( (), 则A = ______, k = _______. 解. 所以 k－1=1990, k = 1991; 二. 选择题 1. 设f(x)和((x)在(－(, +()内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) ( 0, ((x)有间断点, 则 (a) ([f(x)]必有间断点 (b) [ ((x)]2必有间断点 (c) f [((x)]必有间断点 (d) 必有间断点 解. (a) 反例 , f(x) = 1, 则([f(x)]=1 (b) 反例 , [ ((x)]2 = 1 (c) 反例 , f(x) = 1, 则f [((x)]=1 (d) 反设 g(x) = 在(－(, +()内连续, 则((x) = g(x)f(x) 在(－(, +()内连续, 矛盾. 所以(d)是答案. 2. 设函数 , 则f(x)是 (a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数 解. (b)是答案. 3. 函数 在下列哪个区间内有界 (a) (－1, 0) (b) (0, 1) (c) (1, 2) (d) (2, 3) 解. 所以在(－1, 0)中有界, (a) 为答案. 4. 当 的极限 (a) 等于2 (b) 等于0 (c) 为 (d) 不存在, 但不为 解. . (d)为答案. 5. 极限 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在 解. = , 所以(b)为答案. 6. 设 , 则a的值为 (a) 1 (b) 2 (c) (d) 均不对 解. 8 = = = , , 所以(c)为答案. 7. 设 , 则(, (的数值为 (a) ( = 1, ( = (b) ( = 5, ( = (c) ( = 5, ( = (d) 均不对 解. (c)为答案. 8. 设 , 则当x(0时 (a) f(x)是x的等价无穷小 (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小 (c) f(x)比x较低价无穷小 (d) f(x)比x较高价无穷小 解. = , 所以(b)为答案. 9. 设 , 则a的值为 (a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解. , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案. 10. 设 , 则必有 (a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c 解. 2 = = , 所以a =－4c, 所以(d)为答案. 三. 计算题 1. 求下列极限 (1) 解. (2) 解. 令 = (3) 解. EMBED Equation.3 = = = . 2. 求下列极限 (1) 解. 当x(1时, , . 按照等价无穷小代换 (2) 解. 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 1： = = = = = = = = 方法2： = = = = = = = 3. 求下列极限 (1) 解. (2) 解. (3) , 其中a > 0, b > 0 解. = 4. 设 试讨论 在 处的连续性与可导性. 解. 所以 , 在 处连续可导. 5. 求下列函数的间断点并判别类型 (1) 解. , 所以x = 0为第一类间断点. (2) 解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点; 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; 不存在, 而 ,所以x = 0为第一类可去间断点; , (k = 1, 2, …) 所以x = 为第二类无穷间断点. 6. 讨论函数 在x = 0处的连续性. 解. 当 时 不存在, 所以x = 0为第二类间断点; 当 , , 所以 时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳跃间断点. 7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x1 < x2 < … < xn < b, ci (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个(, 使 . 证明: 令M = , m = 所以 m ( ( M 所以存在(( a < x1 ( ( ( xn < b), 使得 8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个(, 使f(() = (. 证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个(, 使f(() = (. 9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ( f(x) ( 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个(, 使f(() = (. 证明: (反证法) 反设 . 所以 恒大于0或恒小于0. 不妨设 . 令 , 则 . 因此 . 于是 , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个(, 使f(() = (. 10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个(, 使 f(() = g((). 证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个(, 使f(() = (. 11. 证明方程x5－3x－2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x5－3x－2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以 在(1, 2)内至少有一个(, 满足F(() = 0. 12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且 , 求 及 . 解. . 所以 . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以 在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为 , 所以 , 所以 = 由 , 将f(x)台劳展开, 得 , 所以 , 于是 . (本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题) 第二章 导数与微分 一. 填空题 1 . 设 , 则k = ________. 解. , 所以 所以 2. 设函数y = y(x)由方程 确定, 则 ______. 解. , 所以 3. 已知f(－x) =－f(x), 且 , 则 ______. 解. 由f(－x) =－f(x)得 , 所以 所以 4. 设f(x)可导, 则 _______. 解. = + = 5. , 则 = _______. 解. , 假设 , 则 , 所以 6. 已知 , 则 _______. 解. , 所以 . 令x2 = 2, 所以 7. 设f为可导函数, , 则 _______. 解. 8. 设y = f(x)由方程 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______. 解. 上式二边求导 . 所以切线斜率 . 法线斜率为 , 法线方程为 , 即 x－2y + 2 = 0. 二. 选择题 1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且 , 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是 (a) (b) (c) (d) 解. , 假设 = , 所以 = , 按 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 归纳法 = 对一切正整数成立. (a)是答案. 2. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且 b, 其中a, b为非零常数, 则 (a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且 a (c) f(x)在x = 1处可导, 且 b (d) f(x)在x = 1处可导, 且 ab 解. b = = , 所以 ab. (d)是答案 注: 因为没有假设 可导, 不能对于 二边求导. 3. 设 , 则使 存在的最高阶导数n为 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解. . 所以n = 2, (c)是答案. 4. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + (x时, 记(y为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于 (a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ( 解. 由微分定义(y = dy + o((x), 所以 . (b)是答案. 5. 设 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数 解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以 , 所以b = 0. , , 所以 0 = a. (c)是答案. 三. 计算题 1. 解. 2. 已知f(u)可导, 解. EMBED Equation.3 = 3. 已知 , 求 . 解. 4. 设y为x的函数是由方程 确定的, 求 . 解. , 所以 四. 已知当x ( 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时 二阶可导. 解. F(x)连续, 所以 , 所以c = f(－0) = f(0); 因为F(x)二阶可导, 所以 连续, 所以b = , 且 存在, 所以 , 所以 , 所以 五. 已知 . 解. , k = 0, 1, 2, … , k = 0, 1, 2, … 六. 设 , 求 . 解. 使用莱布尼兹高阶导数公式 = 所以 第三章 一元函数积分学(不定积分) 一. 求下列不定积分: 1. 解. EMBED Equation.3 2. 3. 解. 4. 解. 方法一: 令 , = 方法二: = = 5． 二. 求下列不定积分: 1. 解. = 2. 解. 令x = tan t, = 3. 解. 令 = 4. (a > 0) 解. 令 = 5. 解. 令 = = = = 6. 解. 令 EMBED Equation.3 = 7. 解. 令 三. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 解. 令 , = 四. 求下列不定积分: 1. 解. = = 2. 解. 五. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 解. = 3. 解. EMBED Equation.3 4. 解. ( 5. 六. 求下列不定积分: 1. 解. = = = = = 2. 解. = 3. 解. EMBED Equation.3 七. 设 , 求 . 解. 考虑连续性, 所以 c =－1+ c1, c1 = 1 + c EMBED Equation.3 八. 设 , (a, b为不同时为零的常数), 求f(x). 解. 令 , , 所以 = 九. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 解. 3. 解. 4. 解. 十. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 解. 令 3. 解. 4. 解. 十一. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 解. 3. 解. 4. (a > 0) 解. = = = = = = 十二. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 解. = 3. 解. = = = 十三. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 解. 3. 解. 令 第三章 一元函数积分学(定积分) 一．若f(x)在[a，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数((x), 均有 , 则f(x) ( 0. 证明: 假设f(()( 0, a < ( < b, 不妨假设f(() > 0. 因为f(x)在[a，b]上连续, 所以存在( > 0, 使得在[(－(, ( + (]上f(x) > 0. 令m = . 按以下方法定义[a，b]上((x): 在[(－(, ( + (]上((x) = , 其它地方((x) = 0. 所以 . 和 矛盾. 所以f(x) ( 0. 二. 设(为任意实数, 证明: = . 证明: 先证: = 令 t = , 所以 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 于是 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = 所以 = . 所以 EMBED Equation.3 同理 . 三．已知f(x)在[0，1]上连续, 对任意x, y都有|f(x)－f(y)| < M|x－y|, 证明 证明: , EMBED Equation.3 四. 设 , n为大于1的正整数, 证明: . 证明: 令t = , 则 因为 > 0, (0 < t < 1). 所以 于是 立即得到 . 五. 设f(x)在[0, 1]连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足0 < ( < ( < 1的任何 (, (, 有 证明: 令 (x ( (), . EMBED Equation.3 , (这是因为t ( (, x ( (, 且f(x)单减). 所以 , 立即得到 六. 设f(x)在[a, b]上二阶可导, 且 < 0, 证明: 证明: (x, t([a, b], ( 令 , 所以 二边积分 = . 七. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给( ( (0, 1), 有 证明: 方法一: 令 (或令 ) , 所以F(x)单增; 又因为F(0) = 0, 所以F(1) ( F(0) = 0. 即 , 即 方法二: 由积分中值定理, 存在(([0, (], 使 ; 由积分中值定理, 存在(([(, 1], 使 因为 . 所以 八. 设f(x)在[a, b]上连续, 在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证: , (a < x < b) 证明: , 所以 , 即 ; 即 所以 即 , (a < x < b) 九. 设f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数 , 且 , 试证: 证明: 因为（0，1）上f(x) ( 0, 可设 f(x) > 0 因为f(0) = f(1) = 0 (x0 ( (0,1)使 f(x0) = EMBED Equation.3 (f(x)) 所以 > （1） 在（0，x0）上用拉格朗日定理 在（x0, 1）上用拉格朗日定理 所以 （因为 ） 所以 由（1）得 十. 设f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且f(1)－f(0) = 1, 试证: 证明: EMBED Equation.3 十一. 设函数f(x)在[0, 2]上连续, 且 = 0, = a > 0. 证明: ( ( ( [0, 2], 使|f(()| ( a. 解. 因为f(x)在[0, 2]上连续, 所以|f(x)|在[0, 2]上连续, 所以( ( ( [0, 2], 取(使|f(()| = max |f(x)| (0 ( x ( 2)使|f(()| ( |f(x)|. 所以 第三章 一元函数积分学(广义积分) 一. 计算下列广义积分: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解. (1) (2) (3) 因为 , 所以 积分收敛.所以 =2 (4) (5) (6) 第四章 微分中值定理 一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且 , 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x. 证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)－x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0, 所以存在( ( (0, 1), 使F(() = 0. 假设存在(1, (2 ( (0, 1), 不妨假设(2 < (1, 满足f((1) = (1, f((2) = (2. 于是 (1－(2 = f((1)－f((2) = . ((2 < ( < (1). 所以 , 矛盾. 二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且 . 证明: 在(0, 1)内存在一个(, 使 . 证明: , 其中(1满足 . 由罗尔定理, 存在(, 满足0 < ( < (1, 且 . 三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x－1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个(, 使 . 证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在(1, 1 < (1 < 2, 满足 . 所以 .所以存在(, 满足1 < ( < (1, 且 . 四. 设f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个(, 使 . 证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理 , ( ( (0, x) 所以 , 即 . 五. 设f(x)在[a, b]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个( ( (a, b), 使 证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令 . 在[a, b]上使用拉格朗日定理 六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个( ( (a, b), 使 证明: 令 , 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个( ( (a, b), 使 七. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个(, 使 证明: 令 , 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个(, 满足 EMBED Equation.3 . 八. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个( ( (x1, x2)或(x2, x1), 使 证明: 不妨假设0 < x1 < x2. 令 , 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个(, 满足 立即可得 . 九. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x) ( 0, 试证: 至少存在一个( ( (a, b), 使 证明: 令 , 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个( ( (a, b), 使 , 于是 . 十. 设f(x) 在[a, b]上连续 ,在(a, b)内可导, 证明在(a, b) 存在 . 解. 对 使用柯西定理: 所以 对左端使用拉格朗日定理: 即 第五章 一元微积分的应用 一. 选择题 1. 设f(x)在(－(, +()内可导, 且对任意x1, x2, x1 > x2时, 都有f(x1) > f(x2), 则 (a) 对任意x, (b) 对任意x, (c) 函数f(－x)单调增加 (d) 函数－f(－x)单调增加 解. (a) 反例: , 有 ; (b) 反例: ; (c) 反例: , 单调减少; 排除(a), (b), (c)后, (d)为答案. 具体证明如下: 令F(x) = －f(－x), x1 > x2, －x1 < －x2. 所以F(x1) =－f(－x1) > －f(－x2) = F(x2). 2. 曲线 的渐近线有 (a) 1条 (b) 2条 (c) 3条 (d) 4条 解. 为水平渐近线; 为铅直渐近线; EMBED Equation.3 所以只有二条渐近线, (b)为答案. 3. 设f(x)在[－(, +(]上连续, 当a为何值时, 的值为极小值. (a) (b) (c) (d) 解. 为a的二次式. 所以当a = , F(a)有极小值. 4. 函数y = f(x)具有下列特征: f(0) = 1; , 当x ( 0时, ; , 则其图形 (a) (b) (c) (d) 1 1 1 1 解. (b)为答案. 5. 设三次函数 , 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是 (a) 关于y轴对称 (b) 关于原点对称 (c) 关于直线y = x轴对称 (d) 以上均错 解. 假设两个极值点为x = t及 x = －t (t ( 0), 于是f(t) =－f(－t). 所以 , 所以b + d = 0 的根为 x = ( t, 所以 b = 0. 于是d = 0. 所以 为奇函数, 原点对称. (b)为答案. 6. 曲线 与x轴所围图形面积可表示为 (a) (b) EMBED Equation.3 (c) EMBED Equation.3 (d) 解. 0 1 2 由图知(c)为答案. 二. 填空题 1. 函数 (x > 0)的单调减少区间______. 解. , 所以0 < x < . 2. 曲线 与其在 处的切线所围成的部分被y轴分成两部分, 这两部分面积之比是________. 解. , 所以切线的斜率为k = 切线方程: , 曲线和切线的交点为 . (解曲线和切线的联立方程得 , 为其解, 所以可得 , 解得 .) 比值为 3. 二椭圆 , ( a > b > 0)之间的图形的面积______. 解. 二椭圆的第一象限交点的x坐标为 . 所以所求面积为 = = = 4(ab( = 4. x2 + y2 = a2绕x =－b(b > a > 0)旋转所成旋转体体积_______. 解. －b a 由图知 = = (5) 求心脏线( = 4(1+cos()和直线( = 0, ( = 围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____. 解. 极坐标图形绕极旋转所成旋转体体积公式 所以 = 三. 证明题 1. 设f(x)为连续正值函数, 证明当x ( 0时函数 单调增加. 证明. 上述不等式成立是因为 f(x) > 0, t < x. 2. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内 , 证明 在(a, b)内单增. 证明. 假设a < x1 < x2 < b, (a < (1 0, 又 . 证明: i. ii. F(x) = 0在(a, b)内有唯一实根. 证明. i. ii. F(a) = , F(b) = . 因为f(x) > 0, 所以F(a)和F(b)异号, 所以在(a, b)中存在(, 使得F(() = 0. 又因为 , F(x)单增, 所以实根唯一. 5. 证明方程 在(0, 1)内有唯一实根. 证明. 令 . F(0) =－1 <0, F(1) = tan1 >0, 所以在(0, 1)中存在(, 使F(() = 0. 又因为 (0 < x < 1), 所以F(x)单增, 所以实根唯一. 6. 设a1, a2, …, an为n个实数, 并满足 . 证明: 方程 在(0, )内至少有一实根. 证明. 令 EMBED Equation.3 则 F(0) = 0, EMBED Equation.3 . 所以由罗尔定理存在( (0 < ( < ), 使 . 即 四. 计算题 1. 在直线x－y + 1=0与抛物线 的交点上引抛物线的法线, 试求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积. 解. 由联立方程 解得交点坐标 , 由 求得二条法线的斜率分别为 , . 相应的法线为 , . 解得法线的交点为 . 已知三点求面积公式为 所以 . 2. 求通过点(1, 1)的直线y = f(x)中, 使得 为最小的直线方程. 解. 过点(1, 1)的直线为 y = kx + 1－k 所以 F(k) = = = = k = 2 所求直线方程为 y = 2x－1 3. 求函数 的最大值与最小值. 解. , 解得 x = 0, x = , , =1 所以, 最大值 , 最小值 . 4. 已知圆(x－b)2 + y2 = a2, 其中b > a > 0, 求此圆绕y轴旋转所构成的旋转体体积和表面积. 解. 体积 = 表面积: y = f(x)绕x轴旋转所得旋转体的表面积为 S= (x－b)2 + y2 = a2绕y轴旋转相当于(y－b)2 + x2 = a2绕x轴旋转. 该曲线应分成二枝: 所以旋转体的表面积 = . 第六章 多元函数微分学 一. 考虑二元函数的下面4条性质 ( I ) 在点 处连续; ( II ) 在点 处的两个偏导数连续; ( I II) 在点 处可微; ( IV ) 在点 处的两个偏导数存在; 若用 表示可由性质P推出性质Q, 则有 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 在点 处的两个偏导数连续, 则 在点 处可微, 在点 处可微, 则 在点 处连续. 所以 . ( A )为答案. 二. 二元函数 在点(0, 0) 处 ( A ) 连续, 偏导数存在; ( B ) 连续, 偏导数不存在; ( C ) 不连续, 偏导数存在; ( D ) 不连续, 偏导数不存在. 解. 所以 不存在, 所以 在点(0, 0) 处不连续, 排除 ( A ), (B); . (C )为答案. 三. 设f, g为连续可微函数, , 求 . 解. , . 所以 四. 设 , 其中(为可微函数, 求 . 解. 原式两边对y求导. . 所以 五. 设 . 解. 由上述表达式可知x, z为自变量, 所以 六. 求下列方程所确定函数的全微分: 1. ; 2. . 解. 1. , 所以 , 所以 所以 2. , 所以 , 所以 所以 七. 设 , 其中f具有二阶连续偏导数, 求 . 解. = 八. 已知 . 解. = 九. 已知 . 解. = = = 十. 设 确定, 求 . 解. 以上两式对x求导, 得到关于 的方程组 由克莱姆法则解得 , 十一. 设 解. = 于是 = = 0 十二. 设 , 其中f(u, v)具有二阶连续偏导数, 二阶可导, 求 . 解. = 十三. 设 , 其中出现的函数都是连续可微的, 试计算 . 解. , 所以 于是 第七章 二重积分 一. 比较积分值的大小: 1. 设 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 其中 , 则下列结论正确的是 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 区域D位于直线 之间, 所以 所以 所以 . (A)为答案. 2. 设 , 其中: , , 则下列结论正确的是 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 因为 , 所以 , (C) 为答案. 3.设 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 其中 , 则下列结论正确的是 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 在区域D中, , 所以 .( A )为答案. 二. 将二重积分 化为累次积分(两种形式), 其中D给定如下: 1. D: 由 与 所围之区域. 2. D: 由x = 3, x = 5, x－2y + 1 = 0及x－2y + 7 = 0所围之区域. 3. D: 由 , y ( x及x > 0所围之区域. 4. D: 由|x| + |y| ( 1所围之区域. 解. 1. 2. 3. 4. 三. 改变下列积分次序: 1. 2. 3. 解: 1. 2. 3. = 四. 将二重积分 化为极坐标形式的累次积分, 其中: 1. D: a2 ( x2 +y2 ( b2, y ( 0, (b > a > 0) 2. D: x2 +y2 (y, x ( 0 3. D: 0 ( x +y ( 1, 0 ( x ( 1 解. 1. 2. 3. + 五. 求解下列二重积分: 1. 2. 3. , D: 由y = x4－x3的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形 4. , D: y ( x及1 ( x2 + y2 ( 2 解. 1. = = = 2. = = 3. , D: 由 的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形. 解. , . 解得 . 此时图形在x轴下方. 所以 4. , D: y ( x及1 ( x2 + y2 ( 2. 解. 使用极坐标变换 = 0 六. 计算下列二重积分: 1. , D: . 解. 令 , .雅可比行列式为 2. , D: , 并求上述二重积分当 时的极限. 解. = 所以 EMBED Equation.3 . 3. 解. = = 4. , D: x2 + y2 ( 1, x ( 0, y ( 0. 解. EMBED Equation.3 = . 七. 求证: , 其中D是由xy = 1, xy = 2, y = x及y = 4x(x > 0, y > 0)所围成之区域. 证明: 令u = xy, y = vx. 即 , . . 所以 八. 求证: 证明: 令 , . . 所以 = 九. 设f(t)是半径为t的圆周长, 试证: 证明: 左 = EMBED Equation.3 =右 十. 设m, n均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明: 证明: 区域 D既对x轴对称, 又对y轴对称. 当m为奇数时 为对于x的奇函数, 所以二重积分为0; 当n为奇数时 为对于y的奇函数, 所以二重积分为0. 十一. 设平面区域 , 是定义在 上的任意连续函数试求: 解. 作曲线如图. 令 围成; 围成. 按y轴对称, 按 轴对称. 令 显然 所以 又因为 所以 第八章 无穷级数 一. 填空题 (1) 设有级数 , 若 , 则该级数的收敛半径为______. 解. 收敛半径R = . 答案为 . (2) 幂级数 的收敛半径为______. 解. , 所以 . 收敛半径为 . (3) 幂级数 的收敛区间为______. 解. , 所以收敛半径为1. 当x = 1时, 得级数 发散, 当x = －1时, 得级数 收敛. 于是收敛区域为[－1, 1). (4) 幂级数 的收敛区间为______. 解. , 所以收敛半径为2. 当x = 2时, 得级数 发散, 当x = －2时, 得级数 收敛. 于是收敛区域为[－2, 2). (5) 幂级数 的和函数为______. 解. . 该等式在(－1, 1)中成立. 当x = (1时, 得到的数项级数的通项不趋于0. 所以 , (－1, 1). 二. 单项选择题 (1) 设 收敛, 常数 , 则级数 (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与(有关 解. 因为 收敛, 所以 收敛. . 所以 和 有相同的敛散性. 所以原级数绝对收敛. (2) 设 , 则 (A) 与 都收敛. (B) 与 都发散. (C) 收敛, 而 发散. (D) 发散, 收敛. 解. 由莱布尼兹判别法 收敛, . 因为 , 发散, 所以 发散. ( C)是答案. (3) 下列各选项正确的是 (A) 若 与 都收敛, 则 收敛 (B) 若 收敛, 则 与 都收敛 (C) 若正项级数 发散,则 (D) 若级数 收敛, 且 , 则级数 收敛. 解. . 所以(A)是答案. (4) 设(为常数, 则级数 (A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与(取值有关. 解. 绝对收敛, 发散, 所以 发散. (B)是答案 三. 判断下列级数的敛散性: (1) 解. 因为 , 所以 和 有相同的敛散性. 又因为 发散, 由积分判别法知 发散. 所以原级数发散. (2) 解. 因为 , 所以 和 有相同的敛散性. 收敛, 所以原级数收敛. (3) 解. , 所以级数发散. (4) 解. , 所以级数收敛. (5) 解. ， 所以级数收敛. (6) 解. 考察极限 令 , = 所以 , 即原极限为1. 原级数和 有相同的敛散性. 原级数发散. 四. 判断下列级数的敛散性 (1) 解. 因为 , 所以 收敛, 原级数绝对收敛. (2) 解. , 令 当x > 0时, , 所以数列 单减. 根据莱布尼兹判别法级数收敛. 因为 , 而 发散, 所以 发散. 原级数条件收敛. (3) 解. . 因为 , 又因为 , 条件收敛, 所以原级数条件收敛. (4) 解. EMBED Equation.3 =1, 收敛, 原级数绝对收敛. 五. 求下列级数的收敛域: (1) 解. , 当x =－1, 0时, 都得数项级数 , 收敛, 所以原级数的收敛域为[－1, 0]. (2) 解. , 于是 . 当 时, 得 , 收敛;当 时, 得 , 收敛. 于是原级数的收敛区域为[－1, 1]. (3) 解. . 当 时, 得数项级数 及 , 通项都不趋于0, 发散. 该级数的收敛区域为 . (4) 解. . 当 时得数项级数 , 发散. 该级数的收敛区域为(－2, 4). 六. 求下列级数的和: (1) 解. 级数收敛, 所以收敛半径为1. 当 时都得到交错级数. 由莱布尼兹判别法知收敛. 所以收敛区域为[－1, 1].令 EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 所以 , [－1, 1]. (2) 解. 收敛. 当 得 及 都发散. 所以收敛区域为(－1, 1). EMBED Equation.3 ,(－1, 1) (3) 解. , 所以当 时收敛. 当 时得数项级数 , 发散; 当 时得数项级数 , 收敛. 于是收敛区域为[－3, 1). = , [－3, 1). 七. 把下列级数展成x的幂级数: (1) 解. 由第六题第3小题知 所以 = , (－1, 1) (2) 解. = , (－1, 1] 由于 收敛, 所以当 时上述级数都收敛. 所以 , [－1, 1] 第九章 常微分方程及差分方程简介 一. 填空题 1. 微分方程 的通解为_________. 解. 先解 , 解得 使用常数变易法. 令 . 所以 代入原方程, 得 , 所以 . 所以通解为 2. 微分方程 的通解为________. 解. , 于是 . 积分得 . 化简后得 3. 微分方程 的通解为________. 解. 特征方程 , ( = (i 于是齐次方程通解为 用算子法求非齐次方程特解 . 所以 4. 微分方程 的通解为________. 解. 特征方程 , ( = 1(i 于是齐次方程通解为 用算子法求非齐次方程特解 . 所以 5. 已知曲线 过点(0, ), 且其上任一点(x, y)处的切线斜率为 , 则 =_______. 解. 由题设得微分方程: . . 所以 . 代入初始条件, 得 , 于是c = 0. 得特解 二. 单项选择题 1. 若函数 满足关系式 , 则 等于 (A) (B) (C) (D) 解. 由原式两边求导, 并以x = 0代入原式, 可得以下微分方程 解得 . (B)是答案. 2. 微分方程 的一个特解应具有形式(式中a、b为常数) (A) (B) (C) (D) 解. 将 看成 和1两个非齐次项. 因为1是特征根, 所以对应于 特解为 , 对应于1的特解为b. 因此原方程的特解为 . (B)为答案. 三. 解下列微分方程: 1. 解. , , 所求特解为 2. 解. . 两边积分立即可得 3. 解. 令 , 则 所以 四. 解下列微分方程: 1. 解. 令 . 于是 . 所以 , 即 2. 解. . ( ) i) 令 . 于是 .所以 , 所以 , 得解 ii) 令 . 于是 .所以 , 所以 , 得解 3. 令 . 于是 .所以 , 两边积分, 得 五. 解下列微分方程: 1. 解. 这是一阶线性方程. 2. 解. 由原方程可得 . 3. 解. 由原方程可得 . 4. 解. 由原方程可得 . 六. 解下列微分方程: 1. 解. 这是一阶线性方程. , 所以 2. 解. 这是一阶线性方程. , 所以 3. 解. , 令 , 于是可得方程 . 所以 即 . , 所以 七. 解下列