nullnull 传染病模型
王秀莲一、问题一、问题在人类的生活中，一直受传染病的困绕，尽管诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的疾病已经得到有效的控制，但是一些新的、不断变异着的传染病却悄悄向人类袭来，如20世纪80年代开始的十分险恶的爱滋病；21世纪第一个在世界范围内传播的SARS（俗称非典型肺炎）等等，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病模型，描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国专家和官员关注的课题 。null研究传染病模型，不可能通过实验获取数据，而从医疗部门得到的资料也是不完全和不充分的，同时不同的传染病的传播过程各有不同的特点，所以，我们在这里只能是按照机理分析的
方法
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，按一般的传播机理建立几种简单的模型。null *机理分析法 根据对现实对象特性的认识，
分析其因果关系，找出反映内部机理的规律.１、模型的假设 １、模型的假设 1、在疾病传播期内，所考察地区的总人数N不变。人群分为健康人（易感染者Susceptible）和病人（已感染者Infective）。设在t时刻它们所占总人数的比例分别为s（t）和i（t）
2、每个病人在t时刻有效接触的人数为 ，在较短时间内，可以设为常数（成为日接触率）。
3、在开始时刻病人数为null模型1（SI模型）（控制前自然传播）每个病人每天可使 个健康人变为病人，所以有： （此模型为阻滞增长
logistic）模型）null解此微分方程组得
null
此式中当 时， ，
说明
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在不进行控制的情况下，最终所有人全变为病人。同时由（1）式知，当 时， 达到最大，这个时刻为null
这时病人增加得最快，预示着传染病高潮的到来， 是医疗部门关注的时刻。 与 成反比。说明 的值越大，该地区的卫生水平越高，传染病高峰期的到来越迟。 null模型2（SIS模型）（控制后的传播模型）有些传染病如伤风、痢疾等，病人治愈后又成为病人，所以应考虑治疗情况。设每天治愈的病人数占病人总数的比例为
（称为日治愈率）。显然， 为这种传染病的平均传染期。于是模型变为： null（2）null此微分方程的解为（3）null定义 （整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数）。此时方程组（2）的第一、二式可以改写为（4）null此时（3）式变为：null当 时，由（4）可 以 看出， 时， 达到最大，预示着传染病高潮的到来；同时 当 时，病 人 比 例 越 来 小 。可见 是一个阈值。null模型3（SIR模型）有一些传染病如天花、肝炎等治愈后具有很强的免疫能力，所以治愈的人既非健康人又非病人，他们已经退出了传染系统，此时，人群分为三类，健康人、病人和治愈后的移出者。设他们所占总人数的比例分别为s（t）、i（t）、r（t）。又设开始时病人数 ，移出者数为 ，于是所建立模型为：null
方程（5）无法求出相应的解析解，我们利用相轨线讨论解的性质。平面 称为相平面，相轨线在相平面上的定义域为 （5）
若微分方程组其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶n维驻定系统(自治系统、动力系统). null一般二维驻定系统形式为 null存在且唯一，则在三维空间(x, y, t)中有且仅有一条解曲线通过点(x0, y0, t0). 基本思想 将空间曲线投影到平面上进 行分析. null 定义：称平面 (x, y )为相平面，称解曲线
在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为相位图.nullxytot0(x, y, t)解曲线投影曲线
相轨线 轨线方程 由原方程（2）消去 t 而得到, 相
点的运动方向由原方程确定. null使 P(x0, y0)= Q(x0, y0)=0 的 (x0, y0)称为方程(2)的平衡点.null在（5）式中消去 ，并注意到 的定义，得：
解得：
1、可以证明极限 都存在，并且 ，即病人最终全部消失。（6）null2、最终未被感染的健康人数的比例 满足（在（6）式中，令 ）：
（7）
该方程在 内有根，即 取值在
内。 null3、当 时， 达到最大
4、当 时，传染病会蔓延 时，传染病不会蔓延， 是一个阈值。于是提高阈值 ，减少接触数，即日接触率减小，日治愈率增大，也即提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。null5、（群体免疫和预防）当 时，传染病不会蔓延，所以除了提高卫生水平和医疗水平外，另一控制传染病蔓延的途径是降低 ，从而提高 ，即通过群体免疫，使开始时的移出者增大。 null6、实际中， 的值很难估计，在（7）式中求得：
可以通过此式来分析传染病的蔓延过程。null7、（被传染比例的估计）令，则由（6）式得：
取对数函数泰勒展开的前两项，并忽略得：
即得 null 为该地区人口比例中超过阈值 的部分，当这个值充分小时
当阈值 提高时，这个比例会降低。nullnull
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