有限元法2011-应力张量

nullnull 第3讲 应力张量非线性有限元基础3.1　外力与应力矢量3.2　应力张量3.3　平衡方程与运动方程3.4 主应力3.5 最大剪应力3.6 球应力张量和偏应力张量null外力:体力、面力（材力：集中力、分布力。）体力—— 弹性体内单位体积上所受的外力—— 体力分布集度（矢量）f1、f2、f3为体力矢量在坐标轴上的投影单位：N/m3kN/m3　说明：(1) f 是坐标的连续分布函数；(2) f 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等)(3) f1、f2、f3的正负号由坐标方向确定。（1）null面力—— 作用于物体 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面单位面积上的外力单位：1N/m2 =1Pa (帕)1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)说明：(1) T 是坐标的连续分布函数；(2) T 的加载方式是任意的;null3 、应力(1) 一点应力的概念内力(1) 物体内部分子或原子间的相互作用力;(2) 由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑)P(1) P点的内力面分布集度(2) 应力矢量.----P点的应力的极限方向由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度应力分量应力的法向分量—— 正应力应力的切向分量—— 剪应力单位:与面力相同MPa (兆帕)应力关于坐标连续分布的（3）null应力矢量T(n)的下标n表示微分面的外法线方向，它用于反映应力作用面的方向。(5)式中n和s分别为微分面的单位法向量和单位切向量(6)T为应力矢量T(n)的大小，称为总应力分别为应力矢量T(n)沿三个坐标方向的分量（4）(7)null3.2 应力张量通过一点P 的各个面上应力状况的集合—— 称为一点的应力状态x面的应力：y面的应力：z面的应力：i,j,k为x,y,z轴的单位矢量,则各面的应力矢量可表示为nulle1面的应力：e2面的应力：e3面的应力：三个微分面的外法向单位矢量e1, e2,e3.对应的应力矢量为（8）null以上9个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的分量张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，（9）null过一点任意微分面上的应力矢量可由三个相互垂直的微分面上的应力矢量表示出来，也即可由应力张量表示出来。故应力张量完全确定了一点的应力状态。 应力张量也满足张量的变换规律null弹性体的应力边界条件：当面abc为物体的边界面时，则其应力分量成为面力分量由其中：null3.3　平衡方程和运动方程运动方程 应力的变化并不是任意的，应力张量的变化必须满足平衡条件或动量定理和动量矩定理。 对任一块体积V,表面为S,作用在V上的体积力、惯性力和面力的合力必须为零。即（10） V的任意性 （11a） 分量形式 （11b） 矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分 。 null作用在V上的动量矩之和为零，即 （12） 0 V的任意性null应力张量是对称的，九个应力分量中只有六个是独立的。这一结论称为剪应力互等定理。 剪应力互等定理：过物体内任意一点的两个相互垂直的微分面上，和这两个微分面的交线垂直的两个剪应力相等。 即（13)独立的应力分量有六个，而运动方程或平衡方程只有三个。所以在一般的情况下，弹性力学问题是超静定的，要确定应力分量必须补充其它条件。null在主平面上，正应力取极值、剪应力为零。3.4　主应力如果作用在某一微分面上的应力矢量和这一微分面垂直，即这一微分面上只有正应力而无剪应力，则这一微分面称为主平面，其法线方向称为应力主方向，其上的应力称为主应力。如果三个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系为主坐标系。（14)n主平面上的单位法向量，σ主应力，主平面上的应力矢量主应力σ是应力张量σ的特征值， n是σ的特征矢量null设主平面存在，其外法线为n， 方向余弦：n1，n2，n3则：其上应力：在x，y，z轴上的投影为：代入主应力的确定：null有：方向余弦的关系：故n1，n2，n3不同时为零，有非零解的条件：(15)其中：该求解主应力的方程 为应力状态的特征方程或：可以表示为矩阵形式，三个矩阵相加null求解（15）式：由代数方程理论：设方程有实根，为σ1、σ2、σ3，则方程可写为：展开比较后：用主应力表示的 应力不变量(物体内任一点由应力分量所组成的不随坐标变换而改变的量)（16）应力张量不变量及其应用应力张量不变量及其应用由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由此定义了应力的状态。 判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应的三个主不变量是否相同来实现。null例 题null两个应力张量表示同一应力状态。例 题 解 答null3.5　最大剪应力（1）三个主应力相等 由(4.26)得τn=0,过Ｍ点上的任何微分面上均无剪应力。任何方向都是主方向.(17)由谱定理在法向单位矢量为n的微分面上(18)(19)(20)求一点处的最大剪应力及其作用的微分面null（3）当τn是ni的函数,三个ni不独立(a)令得由最大剪应力null(b)(c)（对j不求和）（对j不求和）式(c)为即null(d)n是单位矢量, 若ni全不为零与假设矛盾ni中只能有一个为零且必须一个为零若由(d)null代入(4.25),得同理得相应的正应力与剪应力null规定 故最大剪应力是 如图4.7所示 null3.6　球应力张量和偏应力张量球应力张量若设球应力张量的三个主值相等,任意方向都是它的主方向应力张量的第一不变量球应力张量偏应力张量（4.27a）或（4.27b）null即应力张量分解为偏应力张量或应力偏量null若n是应力主方向的单位矢量,由(4.20)得（4.28）用S表示偏应力张量的主值,则（4.29）偏应力张量的主方向和应力主方向一致,偏应力张量的主值为（4.30）偏应力张量的特征方程null偏应力张量的三个不变量主应力空间中的偏应力张量的三个不变量(4.31)也可表示为(4.32)null为偏应力张量的主值，其方向与应力张量的主方向一致应力张量分解的意义经常用到的其它表达式对金属材料，球形应力张量与塑性变形无关，塑性变形是由偏应力张量引起的null应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此时的应力称为主应力。本质上与矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准形的问题相同。 可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。1）主应力3.7 几个重要的应力计算　null2）最大剪应力与正应力一样，剪应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值最大的剪应力为最大剪应力，记为 。 塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与剪应力有关。取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为最大切应力计算公式null以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作与三个应力主轴等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等。在主轴坐标系空间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体。正八面体的每个平面 称八面体平面，八面体平面上的应力称为八面体应力。 八面体平面是一点应力状态的特殊平面，平面上的应力值对研究一个应力状态有重要作用。3）八面体应力null八面体平面的方向余弦null3）等效应力2）等效应力是一个不变量，是一个与材料塑性变形有密切关系的参数。等效应力定义式null对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为例 题画出该点的应力单元体；试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。null例 题 解 答画出该点的应力单元体null用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向例 题 解 答计算应力张量的三个主不变量null例 题 解 答齐次线性应力 平衡方程组方向余弦条件将各主应力代入方程组（1）可得对应的主方向null最大切应力八面体应力等效应力