初中数学竞赛知识点归纳
一、数的整除（一）
如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.
一些数的整除特征
除 数
能被整除的数的特征
2或5
末位数能被2或5整除
4或25
末两位数能被4或25整除
8或125
末三位数能被8或125整除
3或9
各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)
11
奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除
(如143,1859,1287,908270等)
7,11,13
从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)
能被7整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除
如 1001 100－1＝99（能11整除）
又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
二、倍数.约数
1、 两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2、 因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。
3、 整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4 、整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5、 通常在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6、 公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7 、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数 若用字母
表
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示可记作：
A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除
例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除。
三、质数.合数
1、正整数的一种分类：
质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
2、根椐质数定义可知
1 质数只有1和本身两个正约数，
2 质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，
如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，
3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。
四、零的特性
一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。 零是自然数，是整数，是偶数。
1， 零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支衡可记作结存0元。
2， 零是判定正、负数的界限。
3， 在一切非负数中有一个最小值是0。
例如 绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，
a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。
4， 在一切非正数中有一个最大值是
0。
例如 －|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），
－（X－2）2
0，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。
二，零具有独特的运算性质
1， 乘方：零的正整数次幂都是零。
2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；
零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。
3， 乘法：零乘以任何数都得零。 即a×0＝0，
反过来 如果 ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4， 加法 互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。
即a、b互为相反数
a+b=0
5， 减法 两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，
若a-b=0,则a=b; 若a-b＞0,则a＞b; 若a-b＜0,则a＜b。
反过来也成立，当
a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a
公式
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时，一般左边作为题设，所用的字母是使左边代数式有意义的，所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。
例如用字母表示：①分数的基本性质 ②分数除法法则
解：①分数的基本性质是
(m≠0)，
(m≠0)
a作为左边的分母不另说明a≠0，
②
(d≠0) d在左边是分子到了右边变分母，故另加说明。
5， 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式，不仅可从左到右顺用，还可从右到左逆用；公式可以变形，变形时字母取值范围有变化时应加说明。例如：
乘法分配律，顺用a(b+c)=ab+ac,
2
=
逆用5a+5b=5(a+b), 6.25×3.14－5.25×3.14=3.14(6.25－5.25)=3.14
路程S=速度V×时间T， V=
(T≠0)， T=
(V≠0)
6， 用因果关系表示的性质、法则，一般不能逆用。
例如：加法的符号法则 如果a>0，b>0， 那么 a+b>0，不可逆
绝对值性质 如果a>0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a则a≥0)
7， 有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。
例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n位数呢？
解：不同的五位数可从最大 五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数，即99999-9999=90000.
推广到n位正整数，则要观察其规律
一位正整数,从1到9共9个， 记作9×1
二位正整数从10到99共90个， 记作9×10
三位正整数从100到999共900个， 记作9×102
四位正整数从1000到9999共9000个， 记作9×103 (指数3=4-1)
…… ……
∴n位正整数共9×10 n-1个
例2 _____________________________________________________
A C D E B
在线段AB上加了3个点C、D、E后，图中共有几条线段？ 加n点呢？
解：以A为一端的线段有： AC、AD、AE、AB 共4条
以C为一端的线段有：(除CA外) CD、CE、CB 共3条
以D为一端的线段有：(除DC、DA外) DE、DB 共2条
以E为一端的线段有：(除ED、EC、EA外) EB 共1条
共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意：3个点时，是从1加到4， 因此
如果是n个点，则共有线段1+2+3+……+n+1=
=
条
八、抽屉原则
1， 4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即等于或多于2个）；如果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即的等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。
2， 如果用
表示不小于
的最小整数，例如
＝3，
。那么抽屉原则可定义为：m个元素分成n个集合（m、n为正整数m>n）,则至少有一个集合里元素不少于
个。
3， 根据
的定义，己知m、n可求
；
己知
，则可求
的范围，例如己知
＝3，那么2＜
≤3；己知
＝2，则 1＜
≤2，即3＜x≤6，x有最小整数值4
九、一元一次方程解的讨论
1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x＋6＝0， x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解
分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。
2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，
讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=
；
当a=0且b≠0时，无解；
当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）
3, 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解
当a｜b时，方程有整数解；
当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；
当a、b同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b
十、二元一次方程的整数解
1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即
如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，
∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。
2， 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x=
=
(1) ,
设
是整数），则y=1-5k (2) ,
把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2
∴原方程所有的整数解是
（k是整数）
方法二，公式法：
设ax+by=c有整数解
EMBED Equation.3 则通解是
（x0,y0可用观察法）
3， 求二元一次方程的正整数解：
1 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值
2 用观察法直接写出。
十一、二元一次方程组解的讨论
1． 二元一次方程组
的解的情况有以下三种：
1 当
时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）
2 当
时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）
3 当
（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：
（这个解可用加减消元法求得）
2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
十二、用交集解题
1． 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。
2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。
3． 几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合，
右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆
的公共部分，是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组
解的集合就是
不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3.
如数轴所示：
0 2 3
4．一类问题，它的
答案
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要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，得答案。
十三、用枚举法解题
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意：
1 按一定的顺序，有系统地进行；
2 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
3 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。
十四、经验归纳法
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如
①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，……，
归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。
②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），
三位数从 100 到 999 共900个（9×102），
四位数有9×103＝9000个（9×103），
…………
归纳出n 位数共有9×10n-1 (个)
3 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）
十五、乘法公式
1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,
平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2
立方和（差）公式：(a±b)(a2
ab+b2)=a3±b3
三项立方和式:
3.公式的推广：
1 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
2 二项式定理：
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）
（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）
…………
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
3 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式
（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4
(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6
…………
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数
(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n
(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1
类似地：
（a－b）(an－1+an－2b+an－3b2+…＋abn－2+bn－1)=an－bn
4. 公式的变形及其逆运算
由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2－2ab
由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)
由公式的推广③可知：当n为正整数时
an－bn能被a－b整除,
a2n+1+b2n+1能被a+b整除,
a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
十六、整数的一种分类
1． 余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。
即：在整数集合中 被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数<除数)
例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1
（∵－1＝5（－1）＋4。 －9＝5（－2）＋1。）
2． 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。
例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。
3． 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：
m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝ （k为整数）
m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.
或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。
m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝
或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝， 其中5k－2表示除以5余3。
4． 余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。
举例如下：
①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2）
②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数1×3＝3）
③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 （余数22＝4）
以上等式可叙述为：
1 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。
2 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。
3 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。
余数的乘方，包括一切正整数次幂。
如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64）
5． 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。
十七、奇数.偶数
1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数是奇数，如－1，1，3。
如果n 是整数，那么2n是偶数，2n－1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。
2． 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为：
整数
或 整数集合
这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。
3． 奇数偶数的运算性质：
奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数
奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数
奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，
两个連续整数的和是奇数，积是偶数。
十八、式的整除
1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，
那么 式的整除的意义可以表示为：
若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除
例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）,
∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。
显然当 x=4或x=－1时x2－3x－4＝0，
3． 一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,
则x－a能整除f(x)。
4． 在二次三项式中
若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab
在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。
十九、因式分解
我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法
1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式
例1因式分解：①x4+x2+1 ②a3+b3+c3－3abc
①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式
解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)
②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2
解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2
＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)
例2因式分解：①x3－11x+20 ② a5+a+1
1 分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。
（注意这里16是完全平方数）
2 解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)
=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)
3 分析：添上－a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式
解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1
=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)
2． 运用因式定理和待定系数法
定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a
⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x3－5x2+9x－6 ②2x3－13x2+3
①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x －2，
∴x3－5x2+9x－6＝（x －2）（x2－3x+3,）
②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数
±1，±3得商±1，±2，±
，±
，再分别以这些商代入原式求值，
可知只有当x=
时，原式值为0。故可知有因式2x-1
解：∵x=
时，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1，
设2x3－13x2+3＝（2x－1）（x2+ax－3）， （a是待定系数）
比较右边和左边x2的系数得 2a－1＝－13， a=－6
∴2x3－13x+3＝（2x－1）（x2－6x－3）。
例4因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20
解：∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）(x+3y), 用待定系数法，可设
2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a）（x+3y＋b），a,b是待定的系数，
比较右边和左边的x和y两项 的系数，得
解得
∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20) 这是关于x的二次三项式
常数项可分解为－（3y－4）（3y+5）,用待定系数法，可设
2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］
比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1
∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
二十、代数恒等式的证明
证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，
二十一、比较大小
1． 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：
当a－b＞0时，a＞b； 当a－b＝0时，a=b； 当a－b＜0时a＜b。
2． 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。
3． 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。
4． 实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a是实数，则a2≥0，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如
(a－b)2≥0， a2+1＞0， a2+a+1=(a+
)2+
＞0
－a2≤0， －（a2+a+2）＜0 当a≠b时，－（a－b）2＜0
二十二、分式
1． 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。
(1)分式
中，当B≠0时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。
(2)若A、B及
都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数。
(3)一切有理数可用
来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质。
2． 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。
二十三、递推公式
1.先看一例：a1=b,a2=
,a3=
…… an+1=
EMBED Equation.3
这里a1,a2,a3……an,an+1是对应于正整数1，2，3……n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。
例如: 若 a1=10, 则a2=
=
,a3=10,a4=
,a5=10……
2. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式，这可用经验归纳法。 例如：把递推公式an+1=an+5改为用a1 和n来表示
∵a2=a1+5, ∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5， a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5
…… ∴an=a1+(n-1)5
如果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+19×5=105
3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。
二十四、连续正整数的性质
一.两个连续正整数
1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。
2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。
3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40，
111＝55＋56。
二.计算连续正整数的个数
例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999－10000＋1＝90000（个）
1. n位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n为正整数，100＝1)
例如一位正整数从1到9共9个（9×100），
二位数从10到99共90个 （9×101）
三位数从100到999共900个（9×102）……
2.连续正整数从n 到m的个 数是 m－n+1
把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：
3. 从13到49的连续奇数的个数是
＋1＝19
从13到49的连续偶数的个数是
＋1＝18
4. 从13到49能被3整除的正整数的个数是
＋1＝12
从13到49的正整数中除以3余1的个数是
＋1＝13你能从中找到计算规律吗？
三.计算连续正整数的和
1. 1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）
（n是正整数）
连续正整数从a到b的和 记作(a+b)
把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：
2. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×
＝759 （∵从11到55有奇数
＋1＝23个）
3. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×
＝480 （∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共
＋1＝15）
四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和
1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）
＝9×5＝45
2. 1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），
（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1
∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901
五. 连续正整数的积
从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n！，读作n的阶乘
1. n个连续正整数的积能被n！整除，
如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；
a（a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。
2. n！含某因质数的个数。举例如下：
1 1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个
其中2，4，6，8，10都含质因数2 暂各计1个，共5个
其中4＝22 含两个质因数2 增加了1个
其中8＝23 含三个质因数2 再增加2个
2 1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法
5，10，15，…125，130 均含质因数5 暂各计1个，共26个
其中25，50，75，100均含52有两个5 各加1个， 共4个
其中125＝53 含三个5 再增加2个
∴积中含质因数5的个数是32
二十五、十进制的记数法
1. 十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：
100=1(个位数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，
102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1位上的数)
例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100
2. 十进制的n位数(n为正整数)，
记作：
10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an
其中最高位a1≠0，即0
标准
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把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。
2. 概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m的余数分类。
分别表示如下：
整数
整数
整数
整数
3. 一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。
例如 正整数按下列分类是正确的
正整数
正整数
如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。
又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
所以三角形按边的大小分类
应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形， 而不能是三类：（不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边），所以概念的分类与概念的定义有直接联系。
4. 二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。
例如三角形
EMBED Equation.3 平面内两条直线位置
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。
5. 从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。
例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形
又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：
6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念）。
例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:
7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。
一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系
可能就有交叉关系的概念。
例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；
等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。图示如下:
EMBED PBrush
三十一、勾股定理
1、勾股定理及逆定理：△ABC中 ∠C＝Rt∠
a2＋b2=c2
2、勾股定理及逆定理的应用
1 作已知线段a的
，
，
……倍
2 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题
3 证明线段的平方关系等。
3、勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.
4、勾股数的推算公式
（1）罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。
（2）如果k是大于1的奇数，那么k,
,
是一组勾股数。
（3）如果k是大于2的偶数，那么k,
,
是一组勾股数。
（4）如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。
5、熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。
三十二、中位线
1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形
浙公网安备 33021202002483