金屬板材拉伸成形極限之研究

中國機械 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 學會第二十二屆全國學術研討會論文集 國立中央大學 臺灣、中壢 中華民國九十四年十一月二十五日、二十六日 論文編號：D2-006 金屬板材拉伸成形極限之研究 黃永明 私立聖約翰科技大學機械與電腦輔助工程系副教授 摘要 本研究之目的乃利用彈塑性增量理論有限元素 法解析板金在拉伸過程中所需之參數對製程之影 響。以拉伸試驗中試片之破斷面厚度為數值計算的破 裂判定基準。藉由有限元素法的數值模擬可得到拉伸 製程中之變形履歷、衝頭負載、板材厚度變化、加工 除荷後工件最後形狀之預估及破裂極限等資料，並與 實驗結果作比較，以驗證本研究所發展的彈塑性有限 元素法程式之可信度及準確度。 關鍵字：彈塑性，有限元素，拉伸製程，成形極限 1. 前言 拉伸成形是板金成形過程中最重要的成形方法 之一，在拉伸過程中，料片是夾緊在模具與壓料板之 間，然後再利用一個移動的衝頭將料片拉伸至所需要 的形狀。在成形過程中所需要的衝頭負載、料片的厚 度變化，乃至於破裂的成形極限，這些資料都是從事 模具設計者所須預知的。 Kim、Oh 及 Kobayashi[1]以薄膜理論為基礎的有 限元素法，利用半球形衝頭對軸對稱板金做拉伸成形 模擬，其理論有考慮到幾何形狀對成形有所影響，但 其忽略了彈性變形對製程的影響。B. B. Yoon[2]採用 鋼、鋁及銅等三種板材，以半圓形衝頭做拉伸成形實 驗，分析板材厚度之變化，以驗證其理論之正確性。 W. Y. D. Yuen[3]建立條形材料受到拉長及彎曲非均 勻變形之模型，探討非均勻變形是由負載架構所引 起，或是由條形材料在彎曲時其不連續降伏特性所引 起，且將回彈變化予以量化並與實驗做比較。A. K. Ghosh[4]針對鋼、鋁、黃銅等不同材料於拉伸成形中 的破裂行為加以研究，在拉伸成形試驗中材料的擴散 式頸縮(diffuse necking)與局部頸縮(local necking)對 材料破裂行為的影響，而 A. K. Ghosh 認為局部頸縮 是造成材料破裂的主因。L. G. Hector[5]利用一般拉伸 試驗的結果建立成形極限應力曲線 (forming-limit stress curve)，並以低碳鋼為例說明此模式的可行 性，在與電腦分析結合應用上相當簡便。 本研究是採用彈塑性有限元素法，以update Lagrangian formulation之理論為基礎，並將決定增量 之rmin方法，擴充至包括元素的降伏，節點與工具的 接觸或脫離，最大應變及旋轉增量限制，用雙線性四 邊形一個積分點之選擇減少積分(selective reduced integration)法，來建立有限元素的電腦程式，以此程 式來模擬金屬板材拉伸成形製程，由模擬結果可得到 完整的變形履歷、衝頭負載、板材厚度的分佈及破裂 時的位置，並以低碳鋼板來進行實驗，以驗證有限元 素法模擬的正確性與可信度，進而可為製程改良或模 具設計的依據，對工業界實際之應用應有所助益。 2. 基本理論 2.1 有限元素法之公式 在金屬成形過程中，利用參考物體每一時刻變 形狀態為基準所建立增量形式的解析方法，由此所得 到的形式在邊界的處理較為簡單，因此採用 updated Lagrangian formulation (ULF)之增量形式以描述彈塑 性變形。而 updated Lagrangian 之虛功原理式為 ∫∫ +− V ijikjkijkjikijV dVLLdV δσεδεσσ &&o )2( ∫= fS ii dSvt δ& (1) 其中 是 Cauchy 應力之 Jaumann rate 張量，ij oσ jkσ 及 ijε& 係表示物體變形後內部節點所承受之 Cauchy 應 力及應變率張量， ijεδ & 、 ijLδ 及 ivδ 乃表示節點之虛 應變率張量、虛速度梯度張量及虛速度分量， it& 乃 表示作用在物體上單位面積之表面力變化率分量，而 乃節點之速度梯度張量。 ikL 有限元素法常用之關係式為 (2) }]{[}{ dNv &= (3) }]{[}{ dB && =ε - - 1 中國機械工程學會第二十二屆全國學術研討會論文集 國立中央大學 臺灣、中壢 中華民國九十四年十一月二十五日、二十六日 論文編號：D2-006 (4) }]{[}{ dEL &= 其中 為形狀函數(shape function)， 為節點速 度(nodal velocity)， 為應變率—速度關係矩陣 (strain rate-velocity matrix)， 為速度梯度—速度關 係矩陣(velocity gradient-velocity matrix)。 ][N }{d& ][B ][E 由於 virtual velocity 原理之方程式與材料之構成 關係式之變化率為線性方程式，故可以增量方式表示 之。經過標準的有限元素離散化步驟，可得大變形的 剛性統制方程式如下： }{}]{[ FuK ∆=∆ (5) 其中 ∑∫ >< −= >< e V pe T dVBQDBK e ]])[[]([][][ (6) ∑∫ >< −+ >< e V T dVBQE e ]])[[][ ∑∫ >< >< ∆=∆ e S T e tdStNF )}{][(}{ & (7) 一般將 稱為整體之彈塑性剛性矩陣， 為節點 位移增量， 為節點力的增量， 與 ][K u∆ }{ F∆ ][Q [ ]G 為應 力修正矩陣， 為彈塑性應力-應變矩陣。 ][ epD 2.2 選擇減少積分法 金屬在彈塑性大變形時，塑性變形部份隨著變形 的增加成為變形的主要部份，以致於體積應變率近似 於零之拘束條件必須加以考慮，否則在數值模擬時將 造成不正確之結果。在板金成形中，隨著板片厚度的 減少，剛性矩陣常造成 overstiff 的結果，此種現象稱 為 locking。為了克服上述之過拘束現象，因此本文 採用 Hughes[6]所提之選擇減少積分法，來構成 ][B 及 ][E 矩陣。 由於近似不可壓縮物體的緣故，可將 分解成 由dilation項的 及deviator項 的兩部份組 成，即 ][B dilB][ devB][ devdil BBB ][][][ += (8) 以上之 及 均以完全積分法求得，但在近 似不可壓縮之條件時， 項採用減少積分法，可 得改進之 dilB][ devB][ dilB][ dilB α][ ，再結合原先之 ，構成改進的 應變率—速度矩陣 devB][ ][B ，即 devdil BBB ][][][ += (9) devB][ 使用完全積分法，而 dilB ][ 採用減少積分法， 此 即 所 謂 選 擇 減 少 積 分 法 (selective reduced integration)。將(8)式代入(9)式，得到 )][][(][][ dildil BBBB −+= (10) 同理，速率梯度—速度矩陣 亦可改進為][E ][E 矩 陣，即 )][][(][][ dildil EEEE −+= (11) 2.3 摩擦的處理 金屬成形製程中，材料與工具接觸界面之摩擦現 象為一複雜問題，要做完整的模擬非常困難。本文對 於工具與料片之界面間摩擦作用的處理是採用 Saran 與Wagoner[7]及Oden與Pries[8]所使用的超正切函數 的修正庫倫摩擦法則，以便處理滑動與黏滯狀態相互 轉換的摩擦現象問題。首先考慮模具曲面上與工件接 觸的元素節點，其接觸的節點力可區分為兩分量 與 ， lf nf lfnfF ln rvv += (12) - - 2 中國機械工程學會第二十二屆全國學術研討會論文集 國立中央大學 臺灣、中壢 中華民國九十四年十一月二十五日、二十六日 論文編號：D2-006 其中 為模具曲面上法線方向之單位向量，切線分力 可以上述所提的修正庫侖摩擦法則而以下式表示 之 nr lf )( rellnl uff ∆±= φµ (13) 其中 定義為 )( rellu∆φ )tanh()( 3 VCRI rel lrel l uu ∆=∆φ (14) 而VCRI 為準黏滯(quasi-sticking)摩擦狀態時的最大 位 移 增 量 ， 為 相 對 滑 動 位 移 增 量 ，其中 rel lu∆ )sin( θUuu rell =∆ l −∆ θ 為 軸與水平軸 的夾角， 為接觸節點切線位移增量，U 為工具 位移增量。 −l lu∆ 上述所提的修正庫倫摩擦法則為一連續函數，可 處理一般不連續摩擦型式所不易描述的滑動與黏滯 現象。接觸節點力 的增量型式為 F r lflfnfnfF llnn rrrrr ∆+∆+∆+∆=∆ (15) 其中 n u ll u n rel l rel l rm rrr ρρ ∆=∆∆±=∆ ; (16) ) 3 tanh([ VCRI uff rel l nl ∆∆±=∆ µ ] )(cosh)3( )( 3 2 VCRI rel lu rel ln VCRI uf ∆ ∆∆+ (17) ρ 為模具半徑，上式 '符號依模具曲率而異。 '± 上述公式所描述的接觸摩擦作用，可合併入上整 體剛性矩陣中，如下式所示 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ∆+ ∆+±= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∆ ∆ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ± − − − − − )(sin )1(sin 2221 1211 )1( )1( )1( )1( i n Uf i l Uf n l f f f f u u kk kk k i l i n i l i n ρ θ ρ θ ρ ρ m L L mL L LL (18) 其中 nu∆ 為已知位移增量 )cos( θU= 。 3. 實驗及數值分析 3.1 實驗 拉伸成形實驗之主要目的乃驗證所推導之彈塑 性有限元素模式及程式之可靠性及信賴度。實驗設備 包含一具兩個液壓缸之 500 kN 液壓式壓床(hydraulic press)、一臺電腦及一 PLC-718 介面卡提供 RS-232 將成形機之類比信號轉為數位信號，以記錄成形製程 中衝頭負載與衝頭位移間之關係，其設備之示意圖如 圖 1 所示。 其主要實驗步驟如下： 1. 實驗所用模具包含一衝頭、母模及壓料板，其 詳細尺寸如圖 2 及圖 3 所示。 2. 將料片利用壓料板上升使其夾固在壓料板與 母模間，再啟動衝頭液壓缸作拉伸成形至衝頭 預定行程或開始破為止。 3. 本實驗擬採用硬脂酸鋅粉(Zn(O18H35O2))為 潤滑劑，。 4. 安裝模具組於壓床上。 5. 料片定位以三點定位方式將料片中心定位於 衝頭軸心線上。 6. 設定壓料板壓力大小：調整壓床上之壓料板 控制鈕至 170kN，以阻止料片於實驗中在壓 料板與母模間發生滑動。 7. 選擇衝頭移動速度為 1mm/s。 8. 啟動 PCL-718 介面卡：在 MS-DOS 環境下， - - 3 中國機械工程學會第二十二屆全國學術研討會論文集 國立中央大學 臺灣、中壢 中華民國九十四年十一月二十五日、二十六日 論文編號：D2-006 進入 AQ 次目錄，執行 GO.EXE，待螢幕出現 壓料板壓力、衝頭壓力及衝頭位移分別與時間 構成的三個之二維座標圖時，表示電腦已待 機，準備接受壓床之類比信號。 9. 儲存資料：將所需資料 force.prm 儲存於磁碟 片上。 10. 取出成品，並標注記號。 11. 切割試片：利用線切割機將試片沿其中心線切 割成二半。 12. 量測料片厚度變化 當衝頭行程為 30 mm 時所完成完好的拉伸成 形製品如圖 4 所示，當衝頭行程為 31 mm 時所完成 的製品在距離中心軸 19.6 mm 處破裂，如圖 5 所示。 3.2 有限元素分析 本研究所進行之拉伸成形製程乃屬於一軸對稱 模式，故分析時僅需考慮整個料片的一半部分以作為 模擬分析模式。本文所建立的有限元素模式中，包含 料片係用四節點雙線性四邊形之選擇減少積分有限 元素法來分析此拉伸製程成形加工。圖 6(a)顯示分別 表示衝頭、壓料板及母模之外形輪廓與料片上網格分 割後狀態之初始模擬系統(initial simulated system)。 金屬板件之有限元素分割，係以程式作自動分割處 理。在座標的處理方面，是同時採用固定座標(r,z)與 局部座標(l,n)兩種。不與工具接觸的節點以固定座標 (r,z)表示，而與工具接觸的節點以局部座標(l,n)表 示。上述的座標是採用右手定則，在局部座標中 l 軸 為板材與工具接觸的切線方向，而 n 軸為板材與工具 接觸的法線方向。實驗與數值模擬板材之尺寸及材料 性質如下： 板材厚度： mm 20.1=t 板材直徑： mm 0.140=D 降伏應力： MPa 5.138=ypσ 應力-應變曲線關係： 2635.0)0041.0(03.619 += εσ 蒲松比(Poisson’s ratio)：0.30 彈性模數(Young’s modulus)： MPa 510*1.2=E 平面異向性之平均值： 10.1=γ 平均破裂厚度 mm 55.0=t f 圖 6(b)表示拉伸成形時，某一變形階段的變形形 狀，其邊界條件如下所述： (a) AB、CD 和 FG 線段範圍之邊界條件： nnnl uuff ∆=∆≠∆≠∆ ,0,0 其中 lf∆ 為接觸節點切線摩擦力增量， nf∆ 為接 觸節點正向力增量， nu∆ 為接觸節點在模具表面 上法線方向的位移增量，為一已知量其大小為 nu∆ 。 (b) BC，EF 線段範圍之邊界條件： 0,0 =∆=∆ zr FF 上述條件表示自由節點狀態。 (c) DE 線段範圍之邊界條件：由於是考慮軸對稱的關 係，節點 E 之邊界條件為： 0,0 =∆=∆ zr Fu 節點 D 之邊界條件為： ,,0,0 nnnl uuff ∆=∆≠∆≠∆ 和 0=∆ lu (d) GA 線段之邊界條件： 0,0 =∆=∆ zr uu 表示料片沿此邊界之節點為固定端，故其分別沿 r-軸及 z-軸之速度分量設定為零。 4. 結果與討論 圖 7 顯示為數值模擬所得之衝頭負荷分佈與實 驗值作比較。在有限元素數值模擬中，分別假設三種 不同摩擦係數值為 0.05、0.12 及 0.20。由圖可知，當 摩擦係數值為 0.12 時之計算值與實驗所用MOS2潤滑 劑時之值接近。摩擦係數值較高的話，其對應之工具 負荷分佈值亦較高，因此，若欲降低衝頭負荷值使成 形容易的話，則工具與板材界面間的潤滑狀態須良 好。 圖 8 係在不同衝頭行程時板金料片之變形狀 態。由圖可知，隨著衝頭行程之增加，自由節點與衝 頭之接觸判定獲得相當理想的模擬。衝頭行程達 30 mm 時，發現已有頸縮現象，由於材料與衝頭接觸面 上有摩擦力存在，抑制節點的移動，故頸縮位置隨著 - - 4 中國機械工程學會第二十二屆全國學術研討會論文集 國立中央大學 臺灣、中壢 中華民國九十四年十一月二十五日、二十六日 論文編號：D2-006 衝頭行程之增加而逐漸偏離中心軸的位置產生。當頭 行程達 31 mm 時，料片因頸縮而破裂(如箭頭所示)。 圖 9 為圖 8 所對應衝頭行程下之節點速度分佈圖，由 此速度分佈可知拉伸成形過程的正確變形步驟。 圖 10 表當衝頭行程達 31 mm 時之加載及除荷 的變形形狀及其對應之節點速度分佈圖。由圖 10(a) 及圖 10(b)知其最大回彈(springback)量約 0.08 mm， 所以回彈在拉伸成形製程中並不明顯。由圖 10(c)及 圖 10(d)知其在除荷前後的節點速度分佈不同，此模 擬結果顯示工件最後會發生微量之回彈。 圖 11表在幾個衝頭行程下板材厚度分佈與其相 對位置之關係，料片厚度分佈與前述之模擬及實驗的 現象一致。由圖可知，當衝頭行程逐漸增加時，料片 厚度最薄處則逐漸偏離中心軸。當衝頭行程達 31 mm 時，厚度最薄處與中心軸相距 19 mm，此與實驗所得 之值 19.6 mm 非常接近，此現象亦可由圖 8 相互印 證。當衝頭行程在 30 mm 時，模擬所得最薄厚度值 大於在拉伸試驗對試片所量測之破裂厚度(fracture thickness) 0.55 mm；反之，當衝頭行程在 31 mm 時， 模擬厚度值則小於此實驗所得之 0.55 mm 值。由此證 明採用拉伸試驗的破斷面厚度作為數值解析拉伸成 形過程破裂的準則是可以接受的。 5. 結論 本文採用 Prandtl-Reuss 之塑流法則(flow rule)和 von Mises 降伏條件，結合有限變形理論及 ULF 的觀 念建立一增量型彈塑性大變形有限元素法分析模 式。將建立之有限元素程式應用於模擬複雜邊界條件 之金屬板金拉伸成形的變形，從模擬結果可得負荷分 佈、加工除荷後工件最終形狀與各加工參數對拉伸成 形的影響，此有限元素模擬程式，將可作為製造生產 時的缺陷預估、製程改良與模具設計的依據。綜合前 述之分析與討論，可獲得下列之結論： (1) 擴張的 方法及利用選擇減少積分法偶合入有 限元素之數值解析中來模擬拉伸成形，其結果與 實驗值非常一致，能夠精確的將整個成形的變形 履歷詳細的加以預估。 minr (2) 模擬所得板金之厚度分佈及衝頭負荷分佈等與實 驗所得之趨勢非常一致，而破裂位置及衝頭行程 也與實驗所得的結果非常接近。 (3) 由模擬與實驗結果比較，可由拉伸試驗所得破斷 面厚度來判斷由數值模擬成形的料片破裂極限。 參考文獻 [1] J. 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Mech., Vol.50, pp. 67-76, 1983. - - 5 中國機械工程學會第二十二屆全國學術研討會論文集 國立中央大學 臺灣、中壢 中華民國九十四年十一月二十五日、二十六日 論文編號：D2-006 圖 1 實驗設備及資料傳輸之示意圖 個人電腦 資料擷取器 位移 負載 模具蓋 電 源 箱 50kN油壓式壓床 內含PCL-718 介面卡 輸出 輸出 220 圖 2 實驗用衝頭之詳細尺寸圖 135 30 86.08) 0.20 +0.05 0.000 HR 圖 3 實驗用衝模之詳細尺寸圖 圖 4 完好之製品 圖 5 破裂之製品 P u 圖 6 (a)模具及料片之初始網格。 (b)邊界條件及相關 尺寸。 + + R30 0.02 0.01 C 100 (80) 180 22(18)-0.02 0.00 O 59 B 0. 01 A M 18 O 20 -0 .0 10 -0 .0 05 C1.5C1 C 3 0.01 B O 18 C1 0.01 A A Cylindrical Punch Quenching Hardness HRC62 1 SKD11 Material +_ O 60 0 . 01 Quenching Hardness Die Material Die Holder Punch r z ln AB C D E F GR6 R35.0 R30.0Holder Tr av el Punch Travel U=15.0 mm Punch Travel U=0.0 mm Die n ch Punch (a) (b) C62 1_+ SKD11 M100 P=4 O140 O 4 55 (1 5) 40 29 .5 0. 02 _ + 2(1 0. 5) 20 10 圖 7 衝頭負荷與衝頭行程之關係。 _+ 0.20 B R8_+ 25 (3 0) A 0. 01 o +0.04 0.00 0. 01C1 6- O 9. 2 D ep th 1 4 10 A0.015 C1 (1 9. 5) C1 A C1 0.01 B O70. (O 0 10 20 30 4 Punch Strokel (mm) 0 30 40 50 60 70 Pu nc h F or ce ( kN ) 0 20 0 70 Experiment FEM FEM FEM 0 - - 6 中國機械工程學會第二十二屆全國學術研討會論文集 國立中央大學 臺灣、中壢 中華民國九十四年十一月二十五日、二十六日 論文編號：D2-006 圖 8 模擬變形形狀。 圖 9 節點速度分佈。 圖 10 除荷前後之變形形狀及節點速度分佈。 圖 11 料片厚度與相對位置關係圖(U: 衝頭行程) 。 10 -35 0 -40 -10 -30 -25 -20 -15 0 -5 5 30 20 15 25 10 3020 5040 60 Holder Die Punch Fra ctu re poi nt Relative Position (mm) Pu nc h T ra ve l ( m m ) 0 10 20 30 40 50 6 Relative Position (mm) 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 Th ic kn es s (m m ) 0 0 Fracture Thickness Initial Thickness EXP. U=25.0 mm FEM U=31.0 mm FEM U=30.0 mm FEM U=25.0 mm FEM U=15.0 mm >Fracture EXP. U=31.0 mm A study of limitation of sheet metal stretching process Yuung-Ming Huang Department of Mechanical Engineering, St. John’s University. Abstract The purpose of this study is to use the model of elasto-plastic incremental finite-element to analyze the influence of manufacturing parameters in asisymmetric sheet stretching process. The fractured thickness of speciment in the tension experiment is adopted as the criterion of fracture. Using the simulation of finite-element method, the data of the whole deformation history of stretching can br obtained. The data can be includes diagrams in deformation stages, relations of punch and stroke, thickness variation of sheet and limit of fracture. This simulation results agree with the results from experimental tests. This verifies the reliability and accuracy of the finite-element program developed in this study. 30 -35 0 -40 -25 -30 -15 -20 10 0 -5 -10 5 20 15 25 10 20 30 40 50 60 Punch Holder Die Pu nc h T r a ve l (m m ) Relative Position (mm) 0 Keywords: elasto-plastic, finite-element, stretching process, hole-flanging - - 7 Punch (c) Nodal velocity for unloading (d) Nodal velocity for loading Die (a) Final shape after unloading (b) Final shape for loading Holder Punch Holder Die0.0 8